【数学】2014年高考数学复习课件：函数的奇偶性与周期性

第四节函数的奇偶性与周期性考纲点击1.了解函数的奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法，并能运用函数的奇偶性解决一些问题.2.了解周期函数的意义，并能运用函数的周期性解决一些问题.热点提示1.以选择题或填空题的形式考查奇偶性在求函数值或函数解析式中的应用.2.与函数的单调性相结合综合考查函数的有关性质.1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有____________，那么函数f(x)是偶函数关于_____对称f(－x)＝f(x)y轴奇偶性定义图象特点奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都______________，那么函数f(x)是奇函数关于_____对称.有f(－x)＝－f(x)原点[思考探究](1)奇偶函数的定义域有何特点？(2)是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？提示：奇偶函数的定义域关于原点对称.提示：存在.该函数的特点是定义域关于坐标原点对称，且解析式化简后等于0.2．奇偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性______，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性______．相同相反(2)在公共定义域内，①两个奇函数的和函数是_______，两个奇函数的积函数是________；②两个偶函数的和函数、积函数是______；③一个奇函数，一个偶函数的积函数是________．(3)若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.（4）若f(x)是偶函数，则f(x)=奇函数偶函数偶函数奇函数)(xf(2)利用定理，借助函数的图象判定注意：当问题比较抽象时，不妨作出符合题意的图形，让图形来帮助“说话”3.函数奇偶性的判定方法(1)根据定义判定，首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，再判定f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x).有时判定f(-x)=±f(x)比较困难，可考虑判定f(-x)±f(x)=0或判定f(x)/f(-x)=±1(3)性质法判定①在定义域的公共部分内．两奇函数之积(商)为偶函数；两偶函数之积(商)也为偶函数；一奇一偶函数之积(商)为奇函数(注意取商时分母不为零)；②偶函数在区间(a，b)上递增(减)，则在区间(-b，-a)上递减(增)；奇函数在区间(a，b)与(-b，-a)上的增减性相同.（4）函数分类：奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既是奇函数又是偶函数（5）f(x)＝x＋20－x＋2(x＜－1)(|x|≤1)的奇偶性.(x＞1)(5)f(x)为偶函数．3．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()6.设偶函数f(x)满足7.已知值为8.的解集是则0)2(),0(8)(3xfxxxf56,12sin)(3上的最大值为在xbaxxf上有最，在则16)(xf为奇函数，则若)()(),0)(3cos()('xfxfxxf9.函数f(x)＝－x的图象关于()A.y轴对称B.直线y＝－x对称C.坐标原点对称D.直线y＝x对称解析：f(x)＝－x是奇函数，所以图象关于原点对称.答案：C10.已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)－g(x)＝()x，则f(1)，g(0)，g(－1)之间的大小关系是.解析：∵f(x)和g(x)分别为奇函数和偶函数，且f(x)－g(x)＝()x，①∴f(－x)－g(－x)＝()－x，即－f(x)－g(x)＝2x，∴f(x)＋g(x)＝－2x，②由①②得答案：f(1)g(0)g(－1)11.设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)＜f(m)，则实数m的取值范围是.解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|).∴不等式f(1－m)＜f(m)⇔f(|1－m|)＜f(|m|).又当x∈[0,2]时，f(x)是减函数.答案：解得3．函数的周期性(1)周期的定义若一个函数f(x)存在常数T(T≠0)，对于定义域内的任意一个自变量x，都有___________成立，则称f(x)为周期函数，T称为f(x)的周期．(2)最小正周期若函数f(x)为周期函数，且存在最小的正数T，则T叫做f(x)的___________，周期函数不一定有最小正周期．f(x＋T)＝f(x)最小正周期函数的周期性已知f(x)是实数集R上的函数，且对任意x∈R，f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)恒成立．(1)求证：f(x)是周期函数；(2)已知f(5)＝2，求f(2009)．【思路点拨】把f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)转化为f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，进行代换变形即可．【解析】(1)证明：∵f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，则f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝f(x＋1)－f(x)＝f(x)－f(x－1)－f(x)＝－f(x－1)．∴f(x＋3)＝f[(x＋1)＋2]＝－f[(x＋1)－1]＝－f(x)．∴f(x＋6)＝f[(x＋3)＋3]＝－f(x＋3)＝f(x)．∴f(x)是周期函数且6是它的一个周期．(2)f(2009)＝f(334×6＋5)＝f(5)＝2.对于这种抽象函数周期问题，在推导过程中应紧紧抓住题目中的已知关系式，若能画出示意图，可利用图形先试探，然后证明．2．f(x)是R上的偶函数，且f(x－32)＝f(x＋12)恒成立．当x∈[2,3]时f(x)＝x，求当x∈[－2,0]时f(x)的表达式．【解析】由条件可知f(x)＝f(x＋2)恒成立．当x∈[－2，－1]时，则x＋4∈[2,3]．∴f(x)＝f(x＋2)＝f(x＋4)＝x＋4；当x∈(－1,0]时，则－x∈[0,1),2－x∈[2,3)．∴f(x)＝f(－x)＝f(2－x)＝2－x，∴f(x)＝x＋4，(－2＜x≤－1)，2－x，(－1＜x≤0).1.已知函数f(x)是偶函数，并且对于定义域内任意的x，满足f(x＋2)＝若当2x3时，f(x)＝x，则f(2007.5)＝.2.f(x)是定义在Ｒ上的函数，且f(x+2)(1-f(x))=1+f(x).(1)求证：f(x)是周期函数（２）若(1)23f试求f(2001),f(2005)的值。2．(2009年江西高考)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2008)＋f(2009)的值为()A．－2B．－1C．1D．2【解析】∵f(x)是偶函数，∴f(－2008)＝f(2008)．∵f(x)在x≥0时f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)周期为2.∴f(－2008)＋f(2009)＝f(2008)＋f(2009)＝f(0)＋f(1)＝log21＋log22＝0＋1＝1，故选C.【答案】C3．(2009年陕西高考)定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有f(x2)－f(x1)x2－x1＜0，则()A．f(3)＜f(－2)＜f(1)B．f(1)＜f(－2)＜f(3)C．f(－2)＜f(1)＜f(3)D．f(3)＜f(1)＜f(－2)【解析】由已知f(x2)－f(x1)x2－x1＜0，得f(x)在x∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f(3)＜f(－2)＜f(1)，故选A.此类题能用数形结合更好．【答案】A4.(2009年山东高考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数．若方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.【解析】由已知，定义在R上的奇函数f(x)图象一定过原点，又f(x)在[0,2]区间上为增函数，所以方程f(x)＝m(m＞0)在[0,2]区间上有且只有一个根，不妨设为x1；∵f(x1)＝－f(－x1)＝－[－f(－x1＋4)]＝f(－x1＋4)，∴－x1＋4∈[2,4]也是一个根，记为x2，∴x2＝－x1＋4⇒x1＋x2＝4.又∵f(x－4)＝－f(x)，∴f(x)是周期为8的周期函数，∴f(x1－8)＝f(x1)＝m，不妨将此根记为x3，且x3＝x1－8∈[－8，－6]；同理可知x4＝x2－8∈[－6，－4]，∴x1＋x2＋x3＋x4＝x1＋x2＋x1－8＋x2－8＝－8.【答案】－8