第4章 截面的几何性质

第4章截面的几何性质目录4.1静矩和形心4.2惯性矩和惯性积4.3惯性矩和惯性积的平行移轴公式与转轴公式4.4截面的主惯性轴和主惯性矩4.1静矩与形心位置例4-2：试计算图示截面的形心位置。解：形心必在对称轴y轴上。选择参考轴z1,将T形截面分割成两个简单的矩形，面积、形心坐标如下：21122150012060000,5806064025058014500,290ccAmmymmAmmymm111221216000064014500029039260000145000niCiZiCCcniiAySAyAyyAAAAmm0CZ形心坐标例：求图示截面的Sy、Sx，及形心位置。y120o801010x解：将原截面化分为I、II两部分。12010560IIIAxy7010455IIIIIIAxyIIyyiIIIIIIiISSAxAx312010570104537500()mmy120o801010xIIIIIxxiIIIIIIiISSAyAy312010607010575500()mm37500x20()120107010ySmmA75500y40()120107010xSmmA1.定义2pAIdA截面对o点极惯性矩xyAIxydA截面对x、y轴的惯性积oxyxydA4.2惯性矩、惯性积、极惯性矩2xAIydA截面对x轴的惯性矩2yAIxdA截面对y轴的惯性矩定义oxyxydA极惯性矩，惯性矩和惯性积量纲均为[长度]4，常用单位为m4或(mm)42.基本结论①极惯性矩、惯性矩、惯性积与截面大小形状，以及原点或坐标轴的位置有关。②Ip恒大于零(A≠0)且任意截面对一点的极惯性矩的数值等于截面对以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。即pxyIII③当A≠0时，惯性矩恒大于零2yyyyIIiAiA2xxxxIIiAiAix，iy称为截面对x、y轴的惯性半径。④同一截面对不同的x、y轴的惯性积Ixy有不同的值，其值可正、可负、也可能为零。对于给定的O点，总可以找到一对正交轴xy使得0xyI则，x、y轴称为主轴。oxyxyAoxyxyA截面对主轴的惯性矩称为主惯性矩。若O点为截面形心，则x、y为形心主轴，Ix，Iy为形心主惯性矩。对于以同一个点为原点的所有正交轴中，截面对主轴的惯性矩Ix、Iy为极值惯性矩，其中一个为极大值，一个为极小值。⑤当坐标轴x，y中有一根为对称轴，则Ixy0，即：对称轴恒为主轴，反之不然。xyyydAdAxx1x例求图示矩形截面，对x、x轴惯性矩yxx2bb2b2h2h解：2232212hhxAbhIydAybdyydyyxx2bb2b2h2hy32203hxAbhIydAybdy(x、y为形心主惯性轴)例求圆形截面对其形心轴的惯性矩xyd解：2pxyxIIII44322264pxdIdI圆的任意一根形心轴均为形心主惯性轴。C点为截面的形心,xc、yc为一对正交的形心轴，x、y分别平行于xc、yC轴。yxdACOxcxyycabxcyc4.3惯性矩和惯性积的平行移轴定理平行移轴公式，讨论截面对x、y轴的Ix、Iy、Ixy和对xc、yc轴的ccxyIcxIcyI、、之间的关系。任意面积元素dA，在两坐标系中的坐标分别为(,)(,)和ccxyxycxxbcyya显然，yxdACOxcxyycbaxcyc由定义22()xcAAIydAyadA22(2)ccAyayadA222ccAAAydAaydAadA2ccxAydAIccxAydASAdAA0轴过形心ccxxS2cxxIIaA222xccAAAIydAaydAadA即2y同理有cyIIbAxyccxyIIabA①a、b为形心C在坐标系oxy中的坐标，因而有正负号之分。②对于所有的平行轴，截面对形心轴的惯性矩最小。例已知矩形截面对形心轴x的惯性矩为3,12求xbhIyxx2b2b2h2h2()2xxhIIA32()122bhhbh33bhyxx2b2b2h2h2.组合截面的惯性矩和惯性积2xAIydA1inAxiI121222nnAAAAAAydAydAydA各个分面积对某轴的惯性矩之和等于它们的组合截面对同一轴的惯性矩。1同理inAyyiII1inAxyxyiII例求图示工字形截面对x、y轴的惯性矩Ix、Iyxy2H2H2h2h2B2B2b2b解：将截面分成上翼缘、下翼缘和腹板三部分。xIIIIIIy2H2H2h2h2B2B2b2b三部分均为矩形截面，其对自身形心主惯性轴的惯性矩为已知，上、下翼缘自身的形心主惯性轴与x平行、腹板的形心主惯性轴即为x轴。下翼缘腹板上翼缘xxxxIIII12)42)(2(12)2(2323bhhHhhHBhHBIx12)(1233hbBBHxIIIIIIy2H2H2h2h2B2B2b2b下翼缘腹板上翼缘yyyyIIII12212122333BhHhbBhH1212)(33hbBhHxIIIIIIy2H2H2h2h2B2B2b2b将截面看成宽为B，高为H的矩形截面，减去阴影部分面积。1221232)(3hBHIbBx另法：12)(1233hbBBHxy2H2H2h2h2B2B2b2b233)42()2(12)2(212bBbbBhbBhHBIIIyyy阴影部分大矩形xy2H2H2h2h2B2B2b2b4.4转轴公式主惯性轴cossinsincos11yxyyxx一、惯性矩和惯性积的转轴定理dAxyyxx1y1x1y12sin2cos221xyyxyxxIIIIIIo2sin2cos221xyyxyxyIIIIII2cos2sin211xyyxyxIIIIyxyxIIII11二、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩1.主惯性轴和主惯性矩：坐标旋转到=0时；恰好有0)2cos2sin2(0000xyyxyxIIII与0对应的旋转轴x0y0称为主惯性轴；平面图形对主惯性轴之惯性矩称为主惯性矩。22)2(200xyyxyxyxIIIIIII主惯性矩：02tan2xyxyIII2.形心主轴和形心主惯性矩：主惯性轴过形心时，称其为形心主轴。平面图形对形心主轴之惯性矩，称为形心主惯性矩02tan2xCyCxCyCIII22)2(200xCyCyCxCyCxCyCxCIIIIIII形心主惯性矩：3.求截面形心主惯性矩的方法①建立坐标系②计算面积和面积矩③求形心位置④建立形心坐标系；求：IyC，IxC，IxCyC⑤求形心主轴方向—0⑥求形心主惯性矩AAyASyAAxASxiixiiy22)2(200xCyCyCxCyCxCyCxCIIIIIII02tan2xCyCxCyCIII[例]在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴。(b=1.5d)解：①建立坐标系如图。②求形心C的位置。③建立形心坐标系；求：IyC，IxC，IxCydddddAAyyAAAxxiiii177.0434200222Cdb2dxyOxCyCx1Cdb2dxyOxCyCx1])5.0([212ydAIyAIIIIxxxCxCxC圆圆矩矩圆矩4224223685.0])177.05.0(464[)177.0(312)2(5.1ddddddddd344(1.5)20.5131264yCxCxCdddIIId圆矩便是形心主惯性矩轴便是形心主轴yCxCCxCyCIIyxI、C0