第4章 控制系统的稳定性分析

宁波工程学院NingBoUniversityofTechnology控制工程技术第四章控制系统的稳定性分析控制工程技术宁波工程学院NingBoUniversityofTechnology控制工程技术第四章控制系统的稳定性分析第四章控制系统的稳定性分析稳定性的基本概念劳斯-赫尔维茨稳定判据小结4.14.2宁波工程学院NingBoUniversityofTechnology控制工程技术第四章控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析(StabilityAnalysisofControlSystem)知识结构图系统稳定的初步概念劳斯稳定判据1、稳定性的定义2、系统稳定的充要条件1、系统稳定的必要条件2、系统稳定的充要条件3、相对稳定性的检验系统是否稳定，取决于系统本身(结构，参数)，与输入无关；不稳定现象的存在是由于反馈作用；稳定性是指自由响应的收敛性。(机械工程系统，激振或外加力)稳定(Stable)0ty(t)0ty(t)外加扰动(Disturbance)不稳定(Unstable)控制系统x(t)y(t)一、系统不稳定现象的发生Xo(s)E(s)Xi(s)H(s)B(s)G(s)4.1系统稳定性的基本概念否则称系统不稳定(Unstable)的或者说它不具有稳定性。如果系统在外部扰动作用下偏离了原来的平衡状态，当扰动作用消失后，系统仍能自动恢复到原来的初始平衡状态。则称系统是稳定(Stable)的或具有稳定性的。二、稳定的概念定义：倒摆系统不稳定AF单摆系统稳定A’AA’’4.1系统稳定性的基本概念1、大范围稳定(LargeScaleStability):不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能够恢复到原有的平衡状态。(a)大范围稳定三、稳定的程度(StableDegree)4.1系统稳定性的基本概念abcde(b)小范围稳定2、小范围稳定(SmallScaleStability)：即起始偏差必须在一定限度内系统才稳定，超出了这个限定值则不稳定。三、稳定的程度(StableDegree)4.1系统稳定性的基本概念四、系统是否稳定完全取决于系统的特征根线性定常系统的传递函数为：如果Pi和σj均为负数，则当t→∞时，c(t)→0。当系统特征方程根是负实根或负实部的共轭复根时，系统在扰动消失后能恢复到原平衡状态c(t)│t=∞=0,即系统是稳定的。4.1系统稳定性的基本概念)()()()(01110111mnSDSBasasasabsbsbsbsGnnnnmmmm若输入为脉冲r(t)=δ(t),可得系统的输出为：)sincos()(11tBtAeectcjjjjrjtkitpiji)]([)]([)()(110jjrjjjkiijsjspsasD由D(S)=0得到：若系统的全部特征根（传递函数的全部极点）均具有负实部（即位于|S|平面的左半平面），则系统稳定。四、系统是否稳定完全取决于系统的特征根线性定常系统稳定的充要条件：注意稳定性与零点(Zero)无关；稳定性是系统自身的一种固有特性。取决于系统本身的结构和参数。与初始状态和输入无关。4.1系统稳定性的基本概念求出闭环极点？①高阶难求；②不必要。实验？如果不稳定，可能导致严重后果。思路：特征方程→根的分布(避免求解)；五、系统稳定的判别方法例：某单位负反馈系统，其开环传递函数为0,01TKTssKsG结论：一对共轭复根，具有负实部，系统稳定。解：根据题意，可得该控制系统传递函数为02ksTs特征方程：ksTsKsGsGs21TTKp24112,1方程的根4.1系统稳定性的基本概念一、代数判据，依据根与系数的关系判断根的分布4.2劳斯稳定判据系统稳定的必要条件设系统特征方程为：0...)(0111asasasasDnnnn特征根因为比较系数：系统稳定的必要条件：各系数同号且不为零或：0,0,,0,0011aaaann例：S3+S2+2S+8=0所有系数都大于零，但该系统不稳定。2151,2一、代数判据，依据根与系数的关系判断根的分布4.2劳斯稳定判据系统稳定的充要条件特征方程为：0...)(0111asasasasDnnnnRouth表Routh判据Routh表中第一列各元符号改变的次数等于系统特征方程具有正实部特征根的个数。因此，系统稳定的充要条件是：特征方程各系数同号，Routh表中第一列各元素不改变符号。二、用Routh判据判断系统的稳定性4.2劳斯稳定判据例：系统的特征方程为0301119234sssssD解：Routh表0030001230301113003030111119101113019101234sssss（改变符号一次）（改变符号一次）第一列各元符号改变次数为2，(2)系统有两个根为正实部因此(1)系统不稳定Matlab程序：p=[11-191130]roots(p)得四个特征根：-5、3、2、-1二、用Routh判据判断系统的稳定性4.2劳斯稳定判据例：已知ξ=0.2及ω=86.6，试确定K取何值时，系统方能稳定。系统开环传递函数：222ssKssEsXsGoK系统闭环传递函数：222322KsssKssXsXsGioB特征方程：022223Ksss即：0750075006.3423KsssRouth表0750006.34750075006.34075006.340750010123KsKsKss故能使系统稳定的参数K的取值范围为：0K34.6有系统稳定的充要条件，有：6.34K,06.34750075006.3420K,075001即即KK三、Routh判据的特殊情况4.2劳斯稳定判据1、劳斯阵列表某一行中的第一列元素等于零，但其余各项不等于零或不全为零。处理方法：用很小的正数代替该行第一列的零，并据此计算出阵列中的其余各项。然后令0，按前述方法进行判别。I.上下符号相同，系统存在一对共轭虚根，处于临界稳定状态；II.上下符号有变化，变化的次数为该方程在S右半平面上根的数目，系统不稳定。例：机器人在解决劳动力不足、提高生产率、改进产品质量和降低生产成本方面，发挥着越来越显著的作用。这是某机器人公司开发的一体化6腿微型机器人：每个机械腿由多个传感器组成，能起到与环境交互的作用。试判断该机器人的稳定性。已知系统特征方程为：D(s)=s4+s3+3s2+3s+2三、Routh判据的特殊情况4.2劳斯稳定判据Matlab程序：p=[11332]roots(p)得根：0.1304±1.5891i、-0.6304±0.6240i++-)(223三、Routh判据的特殊情况4.2劳斯稳定判据0233)(234sssssD知各项系数均为正数，满足系统稳定的必要条件。解：根据特征方程0123420031231sssss列出Routh表符号改变两次，系统不稳定，且S右半平面上有两个极点。2、劳斯阵列表某一行全为零令辅助多项式等于零得到辅助方程，解此方程可得这些成对的特征根。相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。相应的系统为不稳定或稳定边界。处理方法：利用该零行上面一行元素构成辅助多项式，取辅助多项式导数的系数代替该零行，继续计算劳斯阵列中其余各项。三、Routh判据的特殊情况4.2劳斯稳定判据S6182016S5212160S4212160S3000S2S1S016122)(24sssA第一列未改变符号，S右半平面无特征根，但是第4行的元素全为零，表明有共轭虚根，系统处于临界稳定状态。例：0161620128223456ssssss设系统的特征方程：试应用劳斯判据判别系统的稳定性。sssA248)(3824解：特征方程的各项系数大于零，满足系统稳定的必要条件。其次，列劳斯表：61608/3016三、Routh判据的特殊情况4.2劳斯稳定判据解辅助方程，得s=±2j；s=±1.414j。即得出两组数值相同、符号相异的根。这四个根也是原特征方程的根。四、低阶系统的劳斯稳定判据4.2劳斯稳定判据二阶系统0)(2120asasasD劳斯阵列为：s2a0a2s1a10s0a2a00，a10，a20从而，二阶系统稳定的充要条件为：三阶系统0)(322130asasasasD劳斯阵列为：s3a0a2s2a1a3s10s0a313021)(aaaaa从而，三阶系统稳定的充要条件为：特征方程的各项系数大于零，且：a1a2-a0a30四、低阶系统的劳斯稳定判据4.2劳斯稳定判据例：单位负反馈系统的开环传递函数为：求系统稳定时K和T的取值范围，并作出稳定区域图。)15)(1()1()(sTsssKsG解：系统闭环特征方程为：0)1()5(523KsKsTTs四、低阶系统的劳斯稳定判据4.2劳斯稳定判据05)1)(5(00TKKTKT三阶系统，稳定条件为：54500TTKT00.511.522.533.540102030405060KT稳定域0)1()5(523KsKsTTs四、低阶系统的劳斯稳定判据4.2劳斯稳定判据宁波工程学院NingBoUniversityofTechnology控制工程技术第四章控制系统的稳定性分析步骤判据⒈列写系统特征方程（特征多项式）⒉列出劳斯表⒊考查劳斯表第一列元素的符号，进行判别。符号相同则系统稳定，不同则系统不稳定；符号改变的次数是正实部根的数目。应用劳斯判据的步骤小结