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牛顿运动定律的应用传送带模型[模型概述]物体在传送带上运动的情形统称为传送带模型。因物体与传送带间的动摩擦因数、斜面倾角、传送带速度、传送方向、滑块初速度的大小和方向的不同，传送带问题往往存在多种可能，因此对传送带问题做出准确的动力学过程分析，是解决此类问题的关键。传送带模型1．水平传送带模型(1)可能一直加速(2)可能先加速后匀速情景1滑块可能的运动情况图示项目(1)传送带较短时，滑块一直减速达到左端(2)传送带较长时，滑块还要被传送带传回右端。其中v0v返回时速度为v，当v0v返回时速度为v0情景3(1)v0v时，可能一直减速，也可能先减速再匀速(2)v0v时，可能一直加速，也可能先加速再匀速情景2滑块可能的运动情况图示项目2.倾斜传送带模型(1)可能一直加速(2)可能先加速后匀速(3)可能先以a1加速后以a2加速情景2(1)可能一直加速(2)可能先加速后匀速情景1滑块可能的运动情况图示项目(1)可能一直加速(2)可能一直匀速(3)可能先减速后反向加速情景4(1)可能一直加速(2)可能先加速后匀速(3)可能一直匀速(4)可能先以a1加速后以a2加速情景3滑块可能的运动情况图示项目[典例]如图3－2－6所示，绷紧的传送带，始终以2m/s的速度匀速斜向上运行，传送带与水平方向间的夹角θ＝30°。现把质量为10kg的工件轻轻地放在传送带底端P处，由传送带传送至顶端Q处。已知P、Q之间的距离为4m，工件与传送带间的动摩擦因数为μ＝32，取g＝10m/s2。图3－2－6(1)通过计算说明工件在传送带上做什么运动；(2)求工件从P点运动到Q点所用的时间。[解析](1)工件受重力、摩擦力、支持力共同作用，摩擦力为动力由牛顿第二定律得：μmgcosθ－mgsinθ＝ma代入数值得：a＝2.5m/s2则其速度达到传送带速度时发生的位移为x1＝v22a＝222×2.5m＝0.8m4m可见工件先匀加速运动0.8m，然后匀速运动3.2m(2)匀加速时，由x1＝v2t1得t1＝0.8s匀速上升时t2＝x2v＝3.22s＝1.6s所以工件从P点运动到Q点所用的时间为t＝t1＋t2＝2.4s。[答案](1)先匀加速运动0.8m，然后匀速运动3.2m(2)2.4s[题后悟道]对于传送带问题，一定要全面掌握上面提到的几类传送带模型，尤其注意要根据具体情况适时进行讨论，看一看有没有转折点、突变点，做好运动阶段的划分及相应动力学分析。现在传送带传送货物已被广泛地应用，如图3－2－7所示为一水平传送带装置示意图。紧绷的传送带AB始终保持恒定的速率v＝1m/s运行，一质量为m＝4kg的物体被无初速度地放在A处，传送带对物体的滑动摩擦力使物体开始做匀加速直线运动，随后物体又以与传送带相等的速率做匀速直线运动。设物体与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.1，A、B间的距离L＝2m，g取10m/s2。图3－2－7(1)求物体刚开始运动时所受滑动摩擦力的大小与加速度的大小；(2)求物体做匀加速直线运动的时间；(3)如果提高传送带的运行速率，物体就能被较快地传送到B处，求物体从A处传送到B处的最短时间和传送带对应的最小运行速率。解析：(1)滑动摩擦力Ff＝μmg＝0.1×4×10N＝4N，加速度a＝μg＝0.1×10m/s2＝1m/s2。答案：(1)4N1m/s2(2)1s(3)2s2m/s(2)物体达到与传送带相同速率后不再加速，则v＝at1，t1＝va＝11s＝1s。(3)物体始终匀加速运行时间最短，加速度仍为a＝1m/s2，当物体到达右端时，有vmin2＝2aL，vmin＝2aL＝2×1×2m/s＝2m/s，所以传送带的最小运行速率为2m/s。物体最短运行时间由vmin＝atmin，得tmin＝vmina＝21s＝2s。如图3－2－11所示，传送带保持v0＝1m/s的速度运动，现将一质量m＝0.5kg的物体从传送带左端放上，设物体与传送带间动摩擦因数μ＝0.1，传送带两端水平距离x＝2.5m，则物体从左端运动到右端所经历的时间为(g＝10m/s2)()图3－2－11A.5sB．(6－1)sC．3sD．5s解析：物体在传送带上做加速运动时：a＝Fm＝μg＝1m/s2加速运动的位移x1＝v022a＝0.5m时间t1＝v0a＝1s匀速运动的位移x2＝x－x1＝2m时间t2＝x2v0＝2s，总时间为3s。答案：C如图所示，倾角为37°，长为l＝16m的传送带，转动速度为v＝10m/s，动摩擦因数μ＝0.5，在传送带顶端A处无初速度地释放一个质量为m＝0.5kg的物体．已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10m/s2.求：(1)传送带顺时针转动时，物体从顶端A滑到底端B的时间；(2)传送带逆时针转动时，物体从顶端A滑到底端B的时间．图4解析(1)传送带顺时针转动，物体相对传送带向下运动，则物体所受滑动摩擦力沿斜面向上，相对传送带向下匀加速运动，据牛顿第二定律有mg(sin37°－μcos37°)＝ma则a＝gsin37°－μgcos37°＝2m/s2，据l＝12at2得t＝4s.(2)传送带逆时针转动，当v物小于v带时，f沿传送带向下，设物体的加速度大小为a1，mgsin37°＋μmgcos37°＝ma1解得a1＝10m/s2设v物=v带时经历的时间为t1，位移为x1t1＝va1＝1010s＝1s，x1＝12a1t21＝5ml＝16m当物体运动速度等于传送带速度瞬间，有mgsin37°μmgcos37°，则下一时刻物体相对传送带向下运动，f向上，设加速度为a2，则a2＝mgsin37°－μmgcos37°m＝2m/s2x2＝l－x1＝11m又因为x2＝vt2＋12a2t22，则有10t2＋t22＝11解得：t2＝1s(t2＝－11s舍去)所以t＝t1＋t2＝2s.如图甲所示，水平传送带长L＝6m，两个传送皮带轮的半径都是R＝0.25m．现有一可视为质点的小物体以水平速度v0滑上传送带．设皮带轮沿顺时针方向匀速转动，当转动的角速度为ω时，物体离开传送带B端后在空中运动的水平距离为s.若皮带轮以不同角速度重复上述转动，而小物体滑上传送带的初速度v0始终保持不变，则可得到一些对应的ω值和s值．把这些对应的值在平面直角坐标系中标出并连接起来，就得到了图乙中实线所示的s－ω图像．(g取10m/s2)(1)小明同学在研究了图甲的装置和图乙的图像后作出了以下判断：当ω4rad/s时，小物体从皮带轮的A端运动到B端过程中一直在做匀减速运动．他的判断正确吗？请你再指出当ω28rad/s时，小物体从皮带轮的A端运动到B端的过程中做什么运动．(只写结论，不需要分析原因)(2)求小物体的初速度v0及它与传送带间的动摩擦因数μ.(3)求B端距地面的高度h.解析(1)小明的判断正确当ω28rad/s时，小物体从A端运动到B端的过程中一直在做匀加速运动(2)当ω4rad/s时，小物体在B端的速度大小是v1＝ω1R＝1m/s当ω28rad/s时，小物体在B端的速度大小是v2＝ω2R＝7m/s由匀变速直线运动规律有v22－v20＝2aLv20－v21＝2aL由牛顿第二定律有a＝fm＝μg联立以上各式并代入数据解得v0＝5m/sμ＝0.2(3)小物体离开B端后做平抛运动由平抛运动规律有s＝v2t＝3.5mh＝12gt2解得h＝1.25m如图所示，传送带的水平部分ab＝2m，斜面部分bc＝4m，bc与水平面的夹角α＝37°.一个小物体A与传送带的动摩擦因数μ＝0.25，传送带沿图示的方向运动，速率v＝2m/s.若把物体A轻放到a处，它将被传送带送到c点，且物体A不会脱离传送带．求物体A从a点被传送到c点所用的时间．(已知：sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10m/s2)解析物体A轻放在a点后在摩擦力作用下向右做匀加速直线运动直到和传送带速度相等．在这一过程中有a1＝μmgm＝μg.x1＝v22a＝v22μg＝0.8mab.经历时间为t1＝va1＝0.8s.此后随传送带运动到b点的时间为t2＝ab－x1v＝0.6s.当物体A到达bc斜面时，由于mgsin37°＝0.6mgμmgcos37°＝0.2mg.所以物体A将再次沿传送带做匀加速直线运动，其加速度大小为a2＝gsin37°－μgcos37°＝4m/s2，物体A在传送带bc上所用时间满足bc＝vt3＋12a2t23，代入数据得t3＝1s．(负值舍去)则物体A从a点被传送到c点所用时间为t＝t1＋t2＋t3＝2.4s.