导数与函数的单调性、极值、最值----教学设计

...课题：导数与函数的单调性、极值、最值科目：数学教学对象：高三课时第1课时提供者：段秀香单位：静海第六中学一、教学内容分析现在中学数学新教材中，导数（选修2-2）处于一种特殊的地位，是高中数学知识的一个重要交汇点，是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要工具。天津高考中必有考一道解答题（如2009-2011年常规题或2012-2014年压轴题）和一道选择题或填空题。这节课主要是利用导数研究函数的单调性、极值、最值。二、教学目标知识与技能通过复习使学生能够利用导数求函数的单调区间、求函数的极大（小）值、求函数在连续区间上的最大值和最小值过程与方法目标通过对导数这一块内容的复习归纳，发展学生的推理能力和运算能力，让学生体会从发现问题、分析问题、解决问题的乐趣，情感态度与价值观通过探究过程，提高学生的悟性，增强学生的应考信心，从而争取最好的教学效果。三、学习者特征分析我所教两个班级（高三新接手）：一个重点班一个普通班，重点班基础较好，普通班起点较低。对学生的了解方式：两个多月的观察和接触了解以及高二期末成绩和高三第一次月考成绩，另外，还做了数学学习兴趣和困惑书面调查。四、教学策略选择与设计教学策略的选择设计立足学生实际选题，关注高考的动向，既重视基础，又注重对学生数学能力与综合素质的提高。五、教学重点1、利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而且条理，减少失分．...2、求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小．教学难点1．注意定义域优先的原则，求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行．2．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．3．解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f′(x)＝0时的情况；区分极值六、教学过程教师活动学生活动设计意图题型一利用导数研究函数的单调性教师启迪函数的单调性和函数中的参数有关，要注意对参数的讨论．例1已知函数f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．解f′(x)＝ex－a，(1)若a≤0，则f′(x)＝ex－a≥0，即f(x)在R上单调递增，若a0，ex－a≥0，∴ex≥a，x≥lna.因此当a≤0时，f(x)的单调增区间为R，当a0时，f(x)的单调增区间是[lna，＋∞)．(2)∵f′(x)＝ex－a≤0在(－2,3)上恒成立．∴a≥ex在x∈(－2,3)上恒成立．又∵－2x3，∴e－2exe3，只需a≥e3.当a＝e3时，f′(x)＝ex－e3在x∈(－2,3)上，f′(x)0，即f(x)在(－2,3)上为减函数，∴a≥e3.故存在实数a≥e3，使f(x)在(－2,3)上为减函数．学生自主完成解答过程，然后利用投影展示，纠正错误，规范书写。让学生进一步明确(1)利用导数的符号来判断函数的单调性；(2)已知函数的单调性求函数范围可以转化为不等式恒成立问题；(3)f(x)为增函数充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．...直击高考1江西卷12．设在内单调递增，，则是的（B）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件学生小组合作学习，展示成果，其他组点评题型二利用导数求函数的极值教师启迪(1)通过f′(2)的值确定a；(2)解f′(x)＝0，然后要讨论两个零点的大小确定函数的极值．例2设a0，函数f(x)＝12x2－(a＋1)x＋a(1＋lnx)．(1)求曲线y＝f(x)在(2，f(2))处与直线y＝－x＋1垂直的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．设f(x)＝ex1＋ax2，其中a为正实数．(1)当a＝43时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．解对f(x)求导得f′(x)＝ex·1＋ax2－2ax1＋ax22.①(1)当a＝43时，若f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0，解得x1＝32，x2＝12.结合①，可知x－∞，121212，323232，＋∞f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗所以x1＝32是极小值点，x2＝12是极大值点．(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，即Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a0，知0a≤1.所以a的取值范围为{a|0a≤1}．学生自主完成解答过程，然后利用投影展示纠正错误，规范书写让学生明确(1)导函数的零点并不一定就是函数的极值点．所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点．(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．...直击高考2（2009津20）（本小题满分12分）已知函数22()(23)(),xfxxaxaaexR其中aR（1）当0a时，求曲线()(1,(1))yfxf在点处的切线的斜率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（2）当23a时，求函数()fx的单调区间与极值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m学生小组合作学习，展示成果，其他组点评题型三利用导数求函数的最值教师启迪(1)题目条件的转化：f(1)＝g(1)且f′(1)＝g′(1)；(2)可以列表观察h(x)在(－∞，2]上的变化情况，然后确定k的取值范围．例3已知函数f(x)＝ax2＋1(a0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a＝3，b＝－9时，若函数f(x)＋g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围．解(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b.因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1)且f′(1)＝g′(1)，即a＋1＝1＋b且2a＝3＋b，解得a＝3，b＝3.(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)，当a＝3，b＝－9时，h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，所以h′(x)＝3x2＋6x－9.令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1.h′(x)，h(x)在(－∞，2]上的变化情况如下表所示：x(－∞，－3)－3(－3,1)1(1,2)2h′(x)＋0－0＋＋h(x)↗28↘－4↗3由表可知当k≤－3时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值为28；当－3k2时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值小于28.因此k的取值范围是(－∞，－3]．学生自主完成解答过程，然后利用投影展示，纠正错误，规范书写。使学生明确(1)求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．(2)可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况．...冲一冲：(12分)已知函数f(x)＝(x－k)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．思维启迪(1)解方程f′(x)＝0列表求单调区间；(2)根据(1)中表格，讨论k－1和区间[0,1]的关系求最值．规范解答解(1)由题意知f′(x)＝(x－k＋1)ex.令f′(x)＝0，得x＝k－1.[2分]f(x)与f′(x)的情况如下：x(－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘－ek－1↗所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．[6分](2)当k－1≤0，即k≤1时，f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；[8分]当0k－11，即1k2时，f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；当k－1≥1，即k≥2时，f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.[10分]综上，当k≤1时，f(x)在[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当1k2时，f(x)在[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；当k≥2时，f(x)在[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.[12分]学生小组合作学习，展示成果，其他组点评，然后利用投影展示，纠正错误，规范书写。使学生明确(1)本题考查求函数的单调区间，求函数在给定区间[0,1]上的最值，属常规题型．(2)本题的难点是分类讨论．考生在分类时易出现不全面，不准确的情况．(3)思维不流畅，答题不规范，是解答中的突出问题.七、教学评价设计学生自我评价表评价内容评价等级评价目的优（5）良（4）中（3）我能认真听老师讲，听同学发言。能否认真专注...遇到会答的问题都主动举手了。能否主动参与发言时声音响亮能否自由表达我能积极参与小组讨论活动，能与他人合作？能否善于合作善于思考，并能有条理地表达自己不同的看法。能否独立思考我会指出同学错误的解答是否敢于否定我能常得到老师的表扬、同学的赞赏。是否欣赏自我我已养成良好的写批注的学习习惯能否独立思考我在学习的过程中感到快乐。是否兴趣浓厚最欣赏哪个同学的表现呢？为什么？我还有与这节课的内容相关的问题问老师得分八、板书设计例1--------例2-----例3-----直击高考1-----直击高考2-----典例-----（解答过程略）答题模板用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步答题：第一步：求函数f(x)的导数f′(x)；第二步：求f(x)在给定区间上的单调性和极值；第三步：求f(x)在给定区间上的端点值；第四步：将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值；第五步：反思回顾：查看关键点，易错点和解题规范．...九．教学反思可以从如下角度进行反思（不少于200字）：这节课通过三个题型1、利用导数研究函数的单调性2、利用导数求函数的极值3、利用导数求函数的最值的训练，使学生达到能够利用导数求函数的单调区间、求函数的极大（小）值、求函数在连续区间上的最大值和最小值的目的。例题后直击高考，针对性训练更好地让学生把握高考要求，小组合作探究让成绩落后的学生参与进来，投影展示成果，畅所欲言，找错纠错，很好培养了全体学生自主学习的意识，对学生的要求基本达到。但对于题型三，学生利用数形结合简化思维过程和运算过程的意识还有待加强，另外，当函数f(x)是增函数（或减函数）时，f′(x)≥0恒成立（f′(x)≤0恒成立），学生还不能真正理解，经常丢掉等号，如果以后再上这方面在加强一些。