生活中的优化问题举例

生活中的优化问题举例一、如何判断函数的单调性？f(x)为增函数f(x)为减函数设函数y=f(x)在某个区间内可导，二、如何求函数的极值与最值？求函数极值的一般步骤（1）确定定义域（2）求导数f’(x)（3）求f’(x)=0的根（4）列表（5）判断求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤：(1)求f(x)在区间(a,b)内极值；(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b）比较,从而确定函数的最值。生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题.例1：海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？x图3.4-1分析：已知版心的面积，你能否设计出版心的高，求出版心的宽，从而列出海报四周的面积来？128:,,xdmdmx解设版心的高为则版心的宽为此时四周空白面积为'0,160xsx当时，；你还有其他解法吗？例如用基本不等式行不？128()(4)(2)128Sxxx51228,0xxx'2512 ()2Sxx求导数,得'2512()20Sxx令：1616xx解得：，（舍）128128816x于是宽为：'16,0.xsx当时，因此，x=16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。解法二：由解法(一)得512512()28228Sxxxxx232872512,16(0)xxxSx当且仅当2即时取最小值8128此时y=16816dmdm答：应使用版心宽为，长为，四周空白面积最小2、在实际应用题目中，若函数f(x)在定义域内只有一个极值点x0，则不需与端点比较，f(x0)即是所求的最大值或最小值.说明1、设出变量找出函数关系式；(所说区间的也适用于开区间或无穷区间)确定出定义域；所得结果符合问题的实际意义。练习1：将一段长为12cm的铁丝围成一个矩形，则这个矩形面积的最大值为多少？解：2229,:9)3(3)()6,3()(,)3,0()(30,0)(30)()6026)()60666cmcmScmxxSxSxSxxSxxSxxxSxxxxxxSScmxxcm它的面积最大为当矩形是正方形时答处取到最大值在是单调递减的在上是单调递增的在得时当，解得令（（）（）（，面积为），则另一边为（设矩形的一边为结论：周长为定值的矩形中，正方形的面积最大。变式:某养鸡场是一面靠墙,三面用铁丝网围成的矩形场地.如果铁丝网长40m,问靠墙的一面多长时,围成的场地面积最大?22400.240120.(040)22:xm,ym,yxxxxxx解设靠墙的一面长围成的场地面积为此时矩形的宽为y′=-x+20令y′=0得,x=20当0x20时,y′0,当20x40时,y′0.∴x=20时,y最大=20×10=200.答:靠墙的一面长20m时,围成的场地面积最大,为200m2.练习2:在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长相等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无盖的方底铁皮箱.箱底边长为多少时,箱子容积最大?最大容积是多少?xhxh解：设箱底边长为x,箱子容积为)600()260()(2xxxxV由02360)(2xxxV解得x1=0(舍),x2=40.当x∈(0,40)时,V'(x)0;当x∈(40,60)时,V'(x)0.∴函数V(x)在x=40处取得极大值,这个极大值就是函数V(x)的最大值.32)(16000)24060(40)40(cmV答当箱箱底边长为40cm时,箱子容积最大,最大值为16000cm3要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则其高为（）3320320B.100C.20D.A.练习3A由上述例子，我们不难发现，解决优化问题的基本思路是：优化问题用函数表示的数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程。解决生活中的优化问题的基本步骤1、建立实际问题的数学模型，写出函数关系式；()yfx2、求函数的导数，求出极值点;()fx3、确定最大（小）值；4、作答。作业：课本P37习题1.4A组1、2、3课本P371、一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？则两个正方形面积和为2221)4()4(xlxssS)22(16122llxx解：设两段铁丝的长度分别为x,l-x,其中0xl)2(81)24(161lxlxS2,0lxS得令由问题的实际意义可知：.,2取最小值时当Slx.322l最小值为课本P373：某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它的高与底半径,使得所用材料最省?Rh解:设圆柱的高为h,底面半径为R.则表面积为S(R)=2πRh+2πR2.又V=πR2h(定值),.2RVh则2222)(RRVRRS.222RRV.042)(2RRVRS由.23VR解得3222VRVh从而即h=2R.答:罐高与底的直径相等时,所用材料最省.333,SR0,,SR0.2,,SR,S2R2.VVRRVR当时当时因此当时有极小值且是的最小值生活中的优化问题举例（2）问题2:饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?•你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的道理吗?•是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?第二课时规格（L）21.250.6价格（元）5.14.52.5例2：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们的价格如下表所示，则（1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？（2）对制造商而言，哪一种的利润更大？某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8r2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm，(１)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？(２）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？2()=0.8π-20=2()，f'rrrr令得r(0，2)2(2，6]f'(r)0f(r)-+减函数↘增函数↗-1.07∴每瓶饮料的利润：324()0.20.83yfrrr32=0.8(-)3rπr)60(r解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是当半径r＞２时，f’(r)0它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；当半径r＜２时，f’(r)0它表示f(r)单调递减，即半径越大，利润越低．1.半径为２cm时，利润最小，这时(2)0f表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值２．半径为６cm时，利润最大?,)44.1(,:你有什么发现上观察图从函数的图象直接数工具们不用导我果如换一个角度.,3r;,cm3,03f,3r,利润才为正值时当好相等成本恰饮料的利润与饮料瓶的时即瓶子半径是时当易看出图象上容从?,rf,2,0r解释它的实际意义吗你能是减函数时当ory223r3rπ8.0rf44.1图3练习1:已知某工厂生产x件产品的成本为c=2500+200x+x2(元).(1)要使平均成本最低,应生产多少件产品?(2)若产品以每件500元售出,要使利润最大,应生产多少件产品?2:1x,y.yy,y0x100.0x100,y0,x100,y0,x100,y25252500200.4200252500140.cxxxx最小解设生产件产品时平均成本最低令得当时当时时答:生产100件产品时,平均成本最低为250元.练习2.某商品每件成本9元,售价为30元,每星期卖出432件,如果降低价格,销售量将会增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位:元,0≤x≤30)的平方成正比,已知商品单价降低2元时,一星期将多卖出24件.(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数;(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?[解](1)设商品降价x元,则多卖出的商品件数为kx2,若记商品一个星期的获利为f(x),则依题意有f(x)=(30-x-9)(432+kx2)=(21-x)(432+kx2).又由已知条件,24=k×22,于是有k=6.∴f(x)=-6x3+126x2-432x+9072,x∈[0,30].(2)根据(1)有f′(x)=-18x2+252x-432=-18(x-2)(x-12).当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x[0,2)2(2,12)12(12,30]f′(x)-0+0-f(x)↘极小值↗极大值↘故x=12时,f(x)达到极大值,∵f(0)=9072,f(12)=11664,∴定价为30-12=18(元)能使一个星期的商品销售利润最大.练习3.某单位用2160万元购得一块空地,计划在该块地上建造一栋至少10层,每层2000平方米的楼房,经测算,如果将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用)购地总费用=建筑总面积221601000010800()(56048)56048200010800()4 []fx,'fx0x15.x15,fx0,0x15,fx0,,x15,fxf152000.8.fxxxxxfxx解设楼房每平方米的平均综合费用为元则令得当时当时因此当时取最小值答:为了楼房每平方米的综合费用最少,该楼房应建为15层.作业：课本P37习题1.4A组6B组1生活中的优化问题举例（3）问题3、磁盘的最大存储量问题(1)你知道计算机是如何存储、检索信息的吗？(2)你知道磁盘的结构吗？(3)如何使一个圆环状的磁盘存储尽可能多的信息？第三课时Rr例3：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R的环行区域。(1)是不是r越小，磁盘的存储量越大？(2)r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？解：存储量=磁道数×每磁道的比特数设存储区的半径介于r与R之间，由于磁道之间的宽度必须大于m，每比特所占用的磁道长度不得小于n，且最外面的磁道不存储任何信息，所以磁道最多可达又由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大的存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达到所以，磁道总存储量,mrR.2nr22.RrrrfrRrmnmn（1）它是一个关于r的二次函数，从函数的解析式上可以判断，不是r越小，磁盘的存储量越大.(2)为求的最大值，计算xf,0'rf,2'rRmnrf令0'rf解得2Rr,02;02''rfRrrfRr时，当时，当因此，当时，磁道具有最大的存储量，最大存储量为2Rr.22mnR练习1:某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它的高与底半径,使得所用材料最省?Rh解设圆柱的高为h,底面半径为R.则表面积为S(R)=2πRh+2πR2.又V=πR2h(定值),.2RVh则2222)(RRVRRS.222RRV.042)(2RRVRS由.23VR解得