1.数理方程中典型方程和定解条件的推导

问题本课程将集中解决两个程一、如何建立偏微分方程二、如何求解偏微分方数学物理方法一些典型方程和定解条件的推导第一章CalculationsofSomeTypicalEquationswithDefiniteConditions思路数学物理方程与特殊函数一.均匀弦的横振动方程的建立二.传输线方程(电报方程)的建立三.电磁场方程的建立四.热传导方程的建立提要：五.举例数学物理方程的建立：从考察对象中任取一微元，寻找与之有关的力、热、声、光、电等物理关联——数学表述，并对其整理、简化，得到所研究问题的偏微分方程。——“一语道破！”适用范围：这是从事科学研究的基本方法与路径。rmamF0yx22tdxdmxmFx22tdydmymFy——建立的基本原则物理学中对应微分方程，分别向坐标轴投影。将物理学中的矢量方程mF22tdxdmxmFx22tdydmymFy第一章一些典型方程和定解条件的推导§1.1基本方程（泛定方程）的建立物理模型（现象、过程）数学形式表述（建立偏微分方程并求解）目的：培养分析、归纳、综合、演绎、抽象、猜测、试探、估算的科学方法。步骤：(1）确定研究对象（物理量），建立合适的坐标系；（2）在系统内部，任取一微元，利用物理规律，分析其与相邻部分间的作用；（3）忽略次要因素，抓住主要矛盾；（4）化简整理，得到偏微分方程。不含初始条件不含边界条件物理状态描述:设有一根均匀、柔软的细弦，平衡时沿直线拉紧，除受到重力外，不受其它外力影响，在铅直平面内作横向、微小振动。平衡位置任意截取一小段，并抽象性夸大。弦的振动：虽然经典，但极具启发性。一.均匀弦的横振动方程的建立X1、建立坐标系选定微元uodsMNM'N’xx+dx'2、微元ds的动力学方程（牛顿第二运动定律）TT’gds.两端所受张力—微元—、dSTT长度内的质量）—细弦的线密度（单位——重力加速度—g隔离物体法X1、建立坐标系选定微元uodsMNM'N’xx+dx'2、微元ds的动力学方程（牛顿第二运动定律）TT’gds.0coscosTTttudsgdsTTsinsin(1)(2)的极限—如果差商—导数xyxx)x(f)x(flimxylimxxx1101.xyxdydx)x(f，或点的导数，记作在函数存在，这个极限就称为马克思在《数学手稿》中指出：微分是“扬弃了的或消失了的差值”。哲学上的“扬弃”是指“既被克服又被保存”，是包含着肯定的否定。在导数定义中，分子Δy和分母Δx都被扬弃了，就是说，它们都消失为0，从而有限大小的Δx和Δy都被克服，差商00变成了xy但是，它们的依赖关系（比值）却保存下来了。我们记扬弃了的（或消失了的）xdxydy那末，导数就是dxxfdyxfdxdy)(,)(或是导数——从运动的观点看导数的定义导数关于函数的某种形式的极限（实质）函数在某点上的变化率（数学结构）某点上切线的斜率（几何意义）导数“只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态，并且也表明过程：运动。”——摘恩格斯.《自然辩证法》改变量增量微分算子ddxxxd2:2例如x)t,x(ux)t,x(u)t,dxx(u再如：)t,x(u)t,x(u)tdt,x(u)t,x(u)t,x(u)t,dxx(u又如：3、忽略与近似0coscosTTttudsgdsTTsinsin(1)(2)dsTT’gds.o①对于小振动：0;0所以有：1cos;1cos1cos1sec1222tgxxutgtgtg21sindxxxutgtgtg21sinxdxxMMNMuxxutg正是切线的斜率，即3、忽略与近似0coscosTTttudsgdsTTsinsin(1)(2)①对于小振动：1cos;1cosxxutgtgtg21sindxxxutgtgtg21sin于是（1）式变为：TT代入（2）式变为：)(sinsingudsTTtt)(gudsxuTxuTttxdxx②一般说来，，将g略去，上式变为guttttxdxxudsxuTxuTttxdxxuxdxuxuT)(0;0TTttxdxxuxdxuxuT)(同一数值。而异，它在整根弦中取指出，即张力不随地点TT间而变。而变，所以张力不随时在振动过程中不随时间，即长度dsdxds是一个常数。无关，它在振动过程中无关，又与总之，张力既与tx改变量增量微分算子ddxxxd2:2例如x)t,x(ux)t,x(u)t,dxx(u再如：)t,x(u)t,x(u)tdt,x(u)t,x(u)t,x(u)t,dxx(u又如：ttxdxxudxxuxuT)(ttudxxtxuxtdxxuT),(),(上式实际上可以明确表示为：2222tuxuT令，于是有：2aTttxxuua2一维波动方程ttudxdxxuxTxuxtxutdxxu),(),(4、整理化简xtxutdxxuxtxuxtdxxu),(),(),(),(成依据微分性质，可以写式，左边方括号内的表述形有表示函数的增量，于是际上上式右边方括号内，实代替。的改变量，不妨用微分到对应的函数值从的变化，而引起产生了自变量子，它表示上式右边方括号内的分utdxxutxudxx),(),(L＋二.传输线方程(电报方程)的建立xdxx现在考虑电流一来一往的高频传输线，它被当作具有分布参数的导体,每单位长导线所具有的电阻、电感、电容、电导分别以R、L、C、G表示。对于直流电或低频的交流电,电路的基尔霍夫（Kirchhoff）定律指出,同一支路中的电流相等。但对于较高频率的电流（指频率还未高到显著辐射电磁波出去的程度），电路导线中的自感和电容的效应不能被忽视，因而同一支路中电流呈现瞬态变化。●●).(txvdvvxdxxRdxLdxCdxGdx),(txidiiP物理状态描述:设如图传输线是分布参数电路，即传输线上电阻R、电感L、电容C和电导G是按单位长度计算其对应的物理量，并且在x+dx范围之内的所有元件无论布局如何，均认为其长度为dx.xdxxudtLidtdiLuLidtduLLLL1idtqdtduCdtCuddtdqiCuq)(tdduCiCCtddiLuLL电容元件：电感元件：换路定理:在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变。电路准备知识+–LLCC＋－+-●●与同学们商榷的几个问题：（P4-5）（1）设某时刻t，输入与输出端的对应关系是否合理?（2）电流作为初始条件，在流经电感时是否要变化？（3）按照图示，电容与电导两端的电压如何界定（注意P5.-1.5式）？),(txvdvvxdxxRdxLdxCdxGdx),(txidiiP”是否合理？ivGdxtvCdxdiii)(“另外,由基尔霍夫第一定律,流入节点的电流应等于流出该节点的电流,即结点与节点有区别吗？)5.1(5P21图tdduCiCCtddiLuL梁昆淼先生的做法：“今考虑一来一往的高频传输线，每单位长一来一往所具有的电阻，电感，电容，电漏分别记以R，L，C，G。于是dxxxjdjjvdvvtjdxLjdxRvd)(vCdxtvdxGjd亦即tjLjRxvtvCvGxj亦即0)(jtLRxv0)(xjvtCG将作用于第一式,作用于第二式,两结果相减,就消去了而得的方程tCGxvj02222xjtjLCtj)RCLG(RGj0)(2222xvtvLCtvRCLGRGv同理,消去,得到的方程jvdxxii设某时刻t，对应关系如下：左端：；右端:txitxvx,,dxxiidxxvvdxxtxv,txi,+–LLCC＋－+-xdxxtdxxvvdxCdxxvvdxGdxxvvtdduCiCCtddiLuL输入端输出端dxRdxLP参阅：丘关源主编《电路》P426-430，第十八章，均匀传输线。txv,txi,+–LLCC＋－+-xdxxtdxxvvCdxdxxvvGdxdxxvvdxxii由基尔霍夫电压定律:)(dxxvvvUULRdxxvtiLdxiRdx0RitiLxv由基尔霍夫电流定律:xdxitxixdxvvxdGxdxvvtxdCtxi),())(()()(),(tdduCiCCtddiLuL电容上的电流：电感上的电压：流入流出xdRxdL)4.1(Ptxv,txi,+–LLCC＋－+-xdxxtdxxvvCdxdxxvvGdxdxxvvdxxii由基尔霍夫电流定律:dxxitxidxxvvGdxdxxvvtCdxtxi),())(()()(),(tdduCicctddiLuL电容上的电流：电感上的电压：整理后得到：0)(xdxvGvGxdxvtCtvCxi0GvtvCxi相对于函数的变化率，略去无穷小量dx,得02xdxvGvGxdxtvCtvCxixdRxdL)5.1(P由基尔霍夫电压定律:0RitiLxv由基尔霍夫电流定律:0GvtvCxi(1.4)(1.5)相减，即得到求导，把以上两个结果后，再对两边乘以）求导，同时在方程（）对，将方程（例如，为了消去）所满足的方程。（或），即可得到（或从上述方程组消去tCxvviiv1.41.502222tiRCtiLCxvGxi代入上式，得）中的将（tv1.4）（1.62222iGRti)GLRC(tiLCxi所满足的方程。这就是电流i22222tixiattxxiia222222txattxxa2LCa12其中所满足的方程。这就是电流i所满足的方程，可得电压）中消去）与（如法炮制，从（vt1.51.4）（1.72222vGRtv)GLRC(tvLCxv所满足的方程。这就是电流i）可简化为）与（此时方程（，即令生的效应可以忽略不计况下，电导与电阻所产高频传输之情，在的各种特殊形式。例如就可以得到传输线方程作不同的假定，、、、对电路参数依据不同的具体情况，1.71.60,GRGCLR基本电磁场量场的物质方程Maxwell方程电场强度磁场强度电感应强度磁感应强度BDHEDEBHJE0BrotEtDrotHJtdivDdivB:::介质的介电常数导磁率导电率::J传导电流的面密度电荷的体密度:HamiltonoperatorijkxyzVect