平面向量的概念和线性运算

第五模块平面向量第二十三讲平面向量的概念及线性运算回归课本1.向量的概念(1)把既有大小又有方向的量叫做向量.(2)把只有大小,没有方向的量(如年龄､身高､长度､面积､体积､质量等),称为数量.(3)向量的大小叫做向量的长度(或模).长度为零的向量叫零向量,记作0,零向量的方向任意,规定零向量与任意向量平行(共线).(4)相等向量是指大小相等,方向相同的向量;相反向量是指大小相等,方向相反的向量,规定零向量的相等向量是0,零向量的相反向量是0.(5)方向相同或相反的向量叫平行向量,也叫共线向量.长度为1的向量叫做单位向量.2.向量的线性运算(1)向量加法的定义已知向量a､b,如图,平面内任取一点A,作b,再作则叫做a与b的和,记作a+b.,ABaBC,ACAC即求两个向量和的运算叫做向量的加法..abABBCAC(2)向量求和的三角形法则利用向量加法的定义求两个向量和的作图法则,叫做向量求和的三角形法则.在运用此法则时,要注意“首尾相接”,即两个向量的和向量是从第一个向量的起点指向第二个向量终点的向量.(3)向量求和的平行四边形法则已知两个不共线向量a､b,作对A､B､D三点不共线,以AB､AD为邻边作平行四边形ABCD,则对角线上的向量是=a+b,这个法则叫做两向量求和的平行四边形法则.,,ABaADbAC(4)向量的减法向量a加上向量b的相反向量叫做a与b的差,记作a-b,若则(5)实数与向量积的定义:实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa,|λa|=|λ||a|,当λ0时,λa与a方向相同;λ0时,λa与a方向相反;λ=0时,λa=0.,,OAaOBb.abBA(6)向量的加法､减法和向量的数乘的综合运算通常叫做向量的线性运算.向量加法的交换律表达式为a+b=b+a;向量加法的结合律表达式为(a+b)+c=a+(b+c).若λ,μ为实数,则(λ+μ)a=λa+μaλ(μa)=λμaλ(a+b)=λa+λb.3.向量共线的条件平行向量基本定理:如a=λb,则a∥b,如果a∥b(b≠0),则存在惟一实数λ使a=λb.考点陪练1.(2010)ABC,DAB,CDACB,a1,,,()1221..33333443..5b2,555CBaCAbCDAabBabCabDab全国Ⅱ中点在边上平分若则||22,2,||3222:,CDA1()333321.3CB,3ADACbADDBABCDDBBCaCAADCAABCACBCACBCAab解析如图平分由角平分线定理得所以所以答案:B,21121.ABCD,ACBDO,EOD,AE..42331112..2433CDF,,()ACaBDbAFAabBabCabDab在平行四边形中与交于点是线段的中点的延长线与交于点若则等于:,AFADDF解析如图,DE:BE1:3DF:AB1.31111121().2,D2F23233ABAFababab由题意知答案:B3.ABC,m,n,,(),mABBCnABBC平面上有三点､､设若向量的长度恰好相等则有A.A､B､C三点必在同一直线上B.△ABC必为等腰三角形且∠B为顶点C.△ABC必为直角三角形且∠B为直角D.△ABC必为等腰直角三角形:ABCD,,m,n,ABCD,ABCD,ABCB.,,,,ABBCBCADmABBCnABBCDB解析以向量为邻边构造平行四边形如图则所以向量的长度相等即平行四边形对角线长度相等所以为矩形故必为直角三角形且为直角答案:C34.O,A,B,C.0,()2||||11...1.232OAOBOCABBCABCD已知平面上不共线的四点若则等于320()2()0||2:02,2.||OAOBOCOAOBOCOBABBABCBABCBC解析答案:D5.ABCABCPPAB0,C()A.B.C.D.PAPBPC已知的三个顶点､､及平面内一点满足则点是的外心内心重心垂心:PAPBAPBD.,CPD|AB,,|||,||2||,PD,P.PAPBPDPDPCPCPDPCPO解析以､为邻边作平行四边形如图所示则即､､三点共线且又､互相平分即为重心答案:C类型一向量的有关概念解题准备:准确理解向量的基本概念是解决这类题目的关键.共线向量即为平行向量,非零向量平行具有传递性,两个向量方向相同或相反就是共线向量,与向量长度无关,两个向量方向相同且长度相等,才是相等向量.共线向量或相等向量均与向量起点无关.【典例1】判断下列命题是否正确(1)若|a|=|b|,则a=b;(2)若A､B､C､D是不共线的四点,则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;(3)若a=b,b=c,则a=c;(4)a=b的充要条件是ABDC||||;abab∥(5)|a|=|b|是a=b的必要不充分条件.(6)平行向量就是共线向量;(7)相反向量一定是平行向量;(8)平面内4个不同点A､B､C､D共线的充要条件是存在非零实数k,使得(9)已知a是任一个非零向量,则是一个单位向量.;ABkCD||aa[解](1)不正确,两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同,因此,由|a|=|b|不能推出a=b.(2)正确,∵,且又∵A､B､C､D是不共线的四点,∴四边形ABCD是平行四边形.反之,若四边形ABCD是平行四边形,则且与方向相同,因此,||||ABDCABDCABDC∥,ABDC∥ABDC.ABDC(3)正确,∵a=b,∴a､b的长度相等且方向相同.又∵b=c,∴b､c的长度相等且方向相同.∴a､c的长度相等且方向相同,故a=c.(4)不正确,当a∥b且方向相反时,即使|a|=|b|也不能得到a=b.故不是a=b的充要条件,而是必要不充分条件.(5)正确,∵|a|=|b|⇏a=b,但a=b⇒|a|=|b|.∴|a|=|b|是a=b的必要不充分条件.||||abab∥(6)正确.不同于平面几何中的平行与共线的概念,向量的平行与共线是同一概念.(7)正确.由相反向量的定义可知(7)正确.(8)不正确.点的共线与向量的共线是不同的概念.(9)正确.由单位向量的定义可知模长为1的向量即为单位向量,而[答案](1)(4)(8)不正确,(2)(3)(5)(6)(7)(9)正确1.||aa[反思感悟]熟练掌握有关基本概念是解决此类小题的关键.类型二向量的线性运算及应用解题准备:1.向量的加法:(1)定义:求两个向量和的运算,叫做向量的加法;(2)法则:三角形法则,平行四边形法则;(3)运算律:a+b=b+a;(a+b)+c=a+(b+c).2.向量的减法:(1)定义:求两个向量差的运算,叫做向量的减法;(2)法则:三角形法则.(3)常用于向量式的化简.ABACCB3.实数与向量的积:(1)定义:实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa,规定:|λa|=|λ||a|.当λ0时,λa的方向与a的方向相同;当λ0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0.由此可见,总有λa与a平行;(2)运算律:λ(ua)=(λu)a,(λ+u)a=λa+ua,λ(a+b)=λa+λb.1()4.:MAB,,.O2OMOAOB线段中点的向量表示若是线段的中点是平面内任一点则2,DEABCABAC,MNDEBC,ab,,.BCaBDbDECEMN【典例】如图所示、分别是中、边的中点、分别是、的中点已知试用、分别表示、和1.211,.2211.22112211[]DE1.424BCDEBCDEaCECBBDDEabaabMNMDDBBNEDDBBCabaab解由三角形中位线定理知∥故即[反思感悟]在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中,选用从同一顶点发现的基本向量或首尾相连的向量,运用向量加、减法运算及数乘运算来求解,即充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系,运用三角形、平行四边形法则,充分利用三角形中的中位线,相似三角形对应边成比例的平面几何的性质,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.类型三数乘向量与共线向量定理的应用解题准备:(1)向量共线是指存在实数λ使两向量互相表示.(2)向量共线的充要条件中,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,要注意待定系数法的运用和方程思想.(3)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.3ab,1:A,28,BD.2k,kabak.3().bABabBCabCDab【典例】设两个非零向量与不共线若求证､､三点共线试确定实数使和共线,28,3(),283[()28335()5]1,B,ABD..ABabBCabCDabBDBCCDabababababABABBD解、共线又它们有公共点、、三点共线(2)∵ka+b与a+kb共线,∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),即ka+b=λa+λkb.∴(k-λ)a=(λk-1)b.∵a、b是不共线的两个非零向量.∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0.∴k=±1.[反思感悟](1)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,要注意待定系数法的运用和方程思想.(2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得到三点共线.错源一忽视零向量性质致误【典例1】下列叙述错误的是________.①若a∥b,b∥c,则a∥c;②若非零向量a与b方向相同或相反,则a+b与a、b之一的方向相同;③|a|+|b|=|a+b|a与b方向相同;④向量b与向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b=λa;⑤⑥若λa=λb,则a=b.0;ABBA[剖析]忽视零向量的特殊性是本题出错的主要原因,本题前四个结论都与此有关;另外两个相反向量的和是一个零向量,不是实数零;最后一个结论可能忽视了λ=0的情况.[正解]这六个命题都是错误的,因为对于①,当b=0,a不一定与c平行;对于②,当a+b=0时,其方向任意,它与a、b的方向都不相同;对于③,当a、b之一为零向量时结论不成立;对于④,当a=0,且b=0,λ有无数个值;当a=0但b≠0,λ不存在.对于⑤,由于两个向量之和得到的仍是一个向量,所以对于⑥,当λ=0时,不管a与b的大小与方向如何,都有λa=λb,此时不一定有a=b.0.ABBA[答案]①②③④⑤⑥[评析]零向量的特殊性零向量是向量中最特殊的向量,规定零向量的长度为0,其方向是任意的,零向量与任意向量都共线.它在向量中的位置正如实数中0的位置一样,但有了它容易引起一些混淆,稍微考虑不到就会出错,考生应给予足够的重视.错源二错用实数运算律或运算法则|2,ABCD,,abc________.|1,||2,,,ABADABaBCbBDc【典例】如图已知矩形设则[错解]|a+b+c|=|a|+|b|+|c|=[剖析]上述解法受实数运算律和运算法则的影响致错.35.||||||||2||4[. ]abcABBCBDABBDADADADAD正解由向量的三角形法则有[答案]4技法一数形结合思想【典例1】已知任意四边形ABCD,O为其内部一点,且满足试确定该点的位置.[解题切入点]条件中涉及四个向量的和的问题,为了利用向量的加法法则,我们可把四个向量之和的问题,转化为向量两两相加的情形来解决.0,OAOBOCOD[解]点O是四边形ABCD对边中点连线的交点,证明如下:如图,以OA、ODAODE,设OE与AD交于I;以OB、OCBOCF,设OF与BC交于J,于是I、J分别是AD与BC的中点.0,,,IOJ,OAD