【一本通】2014届高考数学一轮复习 第13章 第68讲 二项式定律及其应用课件 理

5　012CCCC31.2.nnnnnn若，则　01122CCCC11CCCC2325.nnnnnnnnnnxxxxxn由，得时，有，故解析：14　752().2.xxx在的展开式中，项的系数是　772152C()C2.7251.C214.rrrrrTxxxrrx通项由已知得，则故项的系数为解析：84743.(2011)2()()xxxx的展开式中，的系数是　用数字东卷作答广．473771172422()2()C22C72322C84.rrrrrxxxxxTxxxxrrx所求的系数即展开式中项的系数，展开式的通项为：，由得，所以的系为析：数解7081(.()4).xx的展开式中，常数项为　　用数字作答882141C()C14C170.rrrrrTxxxr设为常数项，则，所以常数项为解析：1234531aaaaa　524325432102.(.)5xaxaxaxaxaxa若，则　用数字作答554321050123450123450111.0232.31.xaaaaaaxaaaaaaaaaaaaa解当时，当时，所以析：二项展开式的通项的应用106451(2)112(1)xyxyxx求的展开式中项的系数；求的展开式中【例】的常数项．101101010644445101(1)C()(1)C(2)(010)1064.(1)C(2)4840.rrrrrrrrrrTxyxyrrrxyTC－＋－．令－＝，得＝所以项的系数为＝＝【－＝解析】55515552515112(1)[(1)]1()(1)(05)1=(1)CC()(0)(1)CC(0)25025.rrrrkrkrrkrkrkrkrrxxxxTCxrxxkrxTxkrrkrk－＋－－－－＋因为－，所以，即．，得【解析】由456456133455.13303420551.3020151.krkrkrkrTkrTkrTTTT令，得；令，得；令，得故当，时，=-；当，时，=-；当，时，=-所以常数项为=-二项展开式的通项是求展开式中特殊项的重要工具，通常都是先利用通项由题意列方程，求出Tr+1中的r，再求所需的某项．运算中，要特别注意r的取值范围及n，r的大小关系．对于有三个项的二项式问题，应先把其中的两项并为一项，在应用二项式定理时，在展开式中，并为一项的再使用二项式定理，同时注意r、k的大小关系．【变式练习1】已知的展开式中没有常数项，n∈N*，且2≤n≤8，求n的值.231(1)()nxxxx【解析】先求的展开式的通项：(0≤r≤n).于是原式的展开式的项为：,,.若展开式中有常数项，则n=4r,n=4r-1,n=4r-2.故当展开式中没有常数项时，则只有n=4r-3.又2≤n≤8，所以r=2,则n=5.31()nxx341()rnrrrnrrnnTCxxCx4rnrnCx41rnrnCx42rnrnCx二项式系数与二项展开式的系数的比41()21232nxxxx若＋的展开式中前三项系数成等差数列，求：展开式中的一次项；展开式中所有含的有理项；展开式中系数【例】最大的项．【解析】二项展开式的通项为.由条件知，得n=8.于是.(1)令，得r=4，所以展开式中x的一次项是；234141()()22nrrnrrrrnnTCxrCxx02111242nnnCCC163412xrrrsTCx16314r4453528sTCxx【解析】(2)因为∈N(0≤r≤8,r∈N)，得r=0,4,8，对应的有理项为T1=x4,T5=,T9=.(3)设第r项的系数最大，则，即,1634r358x21256x112rrrrTTTT11112222rrrrssrrrrssCCCC所以，解得2≤r≤3.于是系数最大的项为第3项和第4项.8!18!2!(8)!2(1)!(9)!28!18!1!(8)!2(1)!(7)!22rrrrrrrrrrrr5237Tx7447Tx二项式系数与二项展开式项的系数是不同的两个概念，要明确它们的区别．求展开式项的系数最大的项，关键是列出不等式组，正确应用组合数的计算方法．【变式练习2】已知(n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.求：(1)展开式中各项系数的和；(2)展开式中含的项；(3)展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.32x22()nxx【解析】展开式的通项为.依题意，，得n=8.(1)令x=1，则各项系数和为(1-2)8=1.(2)通项.令8-5r=3，得r=1.所以展开式中含的项为.521(1)2nrrrrrnTCx444222(1)21(1)2nnCC521(1)2nrrrrrnTCx32x32216Tx11811182811116611117831222212256.2221892?      8rrrrrrrrrrrrrssrrrrssrrrTCTCTCrCCrCCTCxxn设展开式中的第项、第项、第项的系数的绝对值分别为、、若第项的系数的绝对值最大，则，得于是系数最大的项是【解析由】，可知第44665821120?                                                        TCxx五项的二项式系数最大，且二项式系数与二项展开式的系数和【例3】在(2x－3y)10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项、偶数项的二项式系数和；(4)奇数项、偶数项系数的和．0110101010101010011010101090199101010121024.21(2-3)(-1)1.325122512二项式系数的和为令，得各项系数的和为奇数项的二项式系数的和为，偶数项的二项式系数的和为项的二解】项式【析CCCMxyCCCCCC1010910011001101001101002101002104(23).11115.15,2152设令，得；令，，得两式相加可得两式相加可得=，xyaxaxyayxyaaaxyaaaaaaaaa(a＋b)n展开式各二项式系数和为2n，只与n有关，而展开式中各项的系数和还与a，b中的系数有关，一般用赋值法求解；而展开式奇数项的二项式系数和与偶数项二项式系数和相等，而系数和一般不具有类似性质，要用比较的方法学习．5230123454502413512345(1)1()(3)2.xaaxaxaxaxaxaaaaaaaaaaa已知，求下列【各式的值：；变式练习】0123450123450241350123451234512345110132.161620131.31.xaaaaaaxaaaaaaaaaaaaxaaaaaaaaaaaaaaaa令，得；①令，得②由①②联列方程组解得，=-，令，得，所以-＝从而=-－【解析】二项式定理的应用12321*=C+C6+CC)466(nnnnnnnnTnT.N－【例已，求】知　　12321*01232n16=6(C+C6+C6C6)()6+CC6(C+C6+C6C6)(1+6)16=71(71)6nnnnnnnnnnnnnnnnnnnTnTTTN－－【因为，所以＝＋，即】，所以解析．抓住二项展开式的特点，对已知问题进行整体转化．对于有规律的组合式子的研究，可以从整体结构出发，向二项式定理转化，这样可以简化解决问题的过程．54320121(1)5(1)10(1)10(1)5(1)2C+3C+5C+(2)C.41nnnnnxxxxxn化简：；【变式练习】5051455233245555554325012111[(1)1]=C(1)+C(1)+C(1)+C(1)+C(1)C(1)+5(1)+10(1)+10(1)+5(1)1.2?”=C+3C+5C++(2+1)C(21)C+(21)C+3C+CnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxSnSnn因为，所以观察式子的特点，可利用倒序求和法．设，得【解析】00122(1)C+2(1)C+2(1)C(1)2.nnnnnnSnnnSng，所以，则1.在二项式的展开式中，含x4的项的系数是.251()xx【解析】通项.由10-3r=4,得r=2,则含x4的项的系数是.251031551()()(1)rrrrrrrTCxCxx225(1)10C1032*(2)2(3N)32_2_._.若，，且∶∶，则　nnnxxaxbxcxnnabn33223n32n2C2C2(C2)(C2)3211.－－－－由二项式展开式得，，所【解析以∶∶】，解得nnnnnnabn111()364..nxxn若展开式的二项式系数之和为，则；展开式的常数项为　6166263612646C()C(0,16)6203C20.nkkkkkknTxxxkkk依题意，，，，，，令，，故展开式的常数项为解析：620887871012802468(31)124..xaxaxaxaaaaaaaaa设，求下列各式的值：；080128812802468135878802468880246810112.21255.21()()4.2()42.1(42)2xaxaaaaaaaxaaaaaaaaaaaaaaaaaaa令，得；令，得①所以令，得②由【①②，得所以解析】．5.已知的展开式中偶数项的二项式系数之和比(a+b)2n的展开式中奇数项的二项式系数之和小120，求第一个展开式的第三项.31()nxx【解析】第一个展开式中偶数项的二项式系数之和为2n-1，第二个展开式中奇数项的二项式系数之和为22n-1.依题意有22n-1=2n-1+120，所以2n=16,则n=4.故第一个展开式的第三项.2223334()()6TCxxx01-12-221101201-1()=C+Cb+C+C+CCCCC.(1)=CCC10“”－在二项式定理“”中，二项式系数为，，，，二项式系数的和是通过当时求出的．当时，得到常数项．求二项展开式的所有项系数的和，可采用特殊值取代法，通常是nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnabaaababbxxxxx636336111(1+2)C20C2160令式中的变量等于而得到．展开式中第项的二项式系数与第项的系数不是同一个概念，如的展开式中第四项的二项式系数为＝，而第四项的系数为＝，二者既有区别又有联系．rrx1(0)1().＋二项展开式的通项=C是展开式中的第项，而不是第项．用通项解题时，一般都是首先将通项转化为关于、的方程组，求出、，然后代入公式求解．求二项展开式中的特殊项，如系数最大项、常数项等，通常都是