第二节： 二重积分的计算(一)

第二节：二重积分的计算方法(一)（1）在直角坐标系下二重积分的计算利用几何意义来计算，为此假定f(x,y)0类型I（X型）：D由直线x=a,x=b与曲线)(1xy)(2xy})()(,|),({21xyxbxayxD)(1xy)(2xyDxy0abxy0)(1xy)(2xyDabx1M2Mx1M2M····和所围成，即类型I（X型）：D由直线x=a,x=b与曲线)(1xy)(2xy})()(,|),({21xyxbxayxD)(1xy)(2xyDxy0abxy0)(1xy)(2xyDabx1M2Mx1M2M····和所围成，即特点：用平行于y轴的直线由下至上穿过D时，与D的边界最多只有两个交点。与D的下边界交点称为穿入点，上边界交点称为穿出点类型II（Y型）：D由直线y=c,y=d与曲线)(1yx)(2yx})()(,|),({21yxydycyxDxy0cd)(1yx)(2yx1M2M)(1yx)(2yxxydc01M2MDD····和所围成，即特点：用平行于x轴的直线自左往右穿过D时，与D的边界最多只有两个交点。类型III（混合型）：区域D即不是X型，也不是Y型，则称为混合型，如图所示xy0将D分成三部分，它们均是X型区域。IIIIII注意：有时一个区域可能即是X型，又是Y型区域，如图中的区域I假定区域D为X型，f(x,y)0，则二重积分Ddyxf),(Dydxdyxf),(是D上以曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体体积xyz0abx)(1xy)(2xy),(yxfz)(xAbaxdxA)(DydxdyxfV),()()(21),()(xxydyxfxA曲边梯形A(x)的面积为DydxdyxfV),(baxdxA)()()(),()(xxydyxfxA21Dydxdyxf),(baxxxdydyxf)()(21),()(xAxyz0abx)(1xy)(2xy),(yxfz)(xADydxdyxf),(baxxxdydyxf)()(21),(•上式右端的积分称为先对y后对x的累次积分•如果去掉条件f(x,y)0，上述等式仍然成立•对y积分时，将x看作常数，积分结果为x的函数A(x)，然后将A(x)对x积分。Dydxdyxf),(baxxydyxfxd)()(21),(累次积分通常简记为abxy0)(1xy)(2xyDX型区域x0cd)(1yx)(2yxDY型区域Dydxdyxf),(dcyyydxdyxf)()(21),(ydcyyxdyxfyd)()(21),(Dydxdyxf),(简记为•若D是一边平行于坐标轴的矩形区域，如图所示，则xa0ybcdDydxdyxf),(dcbaxdyxfyd),(badcydyxfxd),(Dabxy0)(1xy)(2xyDX型区域Dydxdyxf),(baxxydyxfxd)()(21),(•累次积分的一个几何直观x累次积分法又俗称“穿线法”•当D既是X型，又是Y型区域时Dydxdyxf),(baxxydyxfxd)()(21),(dcyyxdyxfyd)()(21),(因此有baxxydyxfxd)()(21),(dcyyxdyxfyd)()(21),(abxy0)(1xy)(2xyDx0cd)(1yx)(2yxDy例1：计算二重积分Dydxdyx2其中D是由x=0,y=0,与122yx解（1）画出积分区域D，并确定D的类型xy10x21xy10x210,xyDydxdyx2101022xydyxxd（2）根据D的类型化二重积分为累次积分所围成的第一象限的闭区域。21022xy（3）计算对y的积分101022xydyxdx210xydy)1(212x（4）计算关于x的积分Dydxdyx21022)1(21xdxx1053)53(21xx1042)(21xdxx151Dydxdyx2101022xydyxxd例2求Ddxdyyx)(2，其中D是由抛物线解：画积分区域两曲线的交点),1,1(,)0,0(22yxxyDdxdyyx)(21022)(xxdyyxdxdxxxxxx)](21)([42102.140332xy2yx2xy2yx,:10xD,xyx22xy和2yx所围平面闭区域.例3：计算二重积分Dydxdyx其中D是由抛物线xy22xy解：先画出积分区域D，并确定D的类型x0y122yxy2yx)1,1()2,4(方法一：将D看做Y型区域,21y22yxyDydxdyx2122yyxdyxyd及直线所围成的闭区域。2122yyxdxydy212222ydxyyy2142])2([21ydyyy21523)44(21ydyyyy216234)62344(21yyyy845Dydxdyx2122yyxdyxyd方法二：将D看做X型区域xy0)2,4()1,1(xx41xyxy1D2D2xy21DDDxyxxD,10:1xyxxD2,41:2Dydxdyx1Dydxdyx2Dydxdyx10xxydyxxd412xxydyxxd10xxydyxdx412xxydyxdx1022xdyxxx41222xdyxxx10)(21xdxxx412])2([21xdxxxDydxdyx1Dydxdyx2Dydxdyx10xxydyxxd412xxydyxxd4132)45(21xdxxx41243)2435(21xxx84510)(21xdxxx412])2([21xdxxxDydxdyx1Dydxdyx2Dydxdyxxy222xxy例4改变积分原式102112),(yydxyxfdy.解积分区域分为两块,,:212010xxyxD,,:xyxD20212,,:yxyyD211102xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2的次序.思考题：利用交换积分次序证明100)(yyxdxfeyd10)()(2xdxfeex例5、求Dydxdyex22解：画积分区域Dydxdyex2212102xyydexxd若采用先y后x的积分次序，则,:10xD,1yx11022xyydexdxdyey2“积不出”，所以该积分次序失败。其中D是以),1,1(),0,0()1,0(为顶点的三角形.例9、求Dydxdyex22，其中D是以),1,1(),0,0()1,0(为顶点的三角形.Dydxdyex22yydxexdy02102dyyey10332210262dyyey).21(61e解：画积分区域若采用先x后y的积分次序，则,:10yD,yx0yydxxdye02102习题92:1(1,3),2(1,3,4),3(2,3,5),4,7第九章第二节作业（一）