概率论与数理统计教案第三章

1概率论与数理统计教学教案第三章二维随机变量及其分布授课序号01教学基本指标教学课题第三章第一节二维随机变量及其联合分布课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点二维随机变量的定义及相应的联合分布律及联合密度函数，以及概率计算。教学难点二维随机变量的定义二维随机变量相关事件概率的计算参考教材高教版、浙大版《概率论与梳理统计》作业布置课后习题大纲要求理解二维随机变量的定义掌握二维随机变量的联合分布函数的定义、性质及计算掌握联合分布律和联合密度函数的定义、性质及计算掌握二维随机变量相关事件概率的计算教学基本内容一、基本概念：1、设有随机试验E，其样本空间为。若对中的每一个样本点都有一对有序实数(),()XY与其对应。则称,XY为二维随机变量或二维随机向量。称,XY的取值范围为它的值域，记为,XY。2、设有随机试验E，其样本空间为。若对中的每一个样本点都有有序实数列2(),,()nXX与其对应。则称12,,,nXXX为n维随机变量或n维随机向量。称12,,,nXXX的取值范围为它的值域，记为12,,,nXXX。3、设,XY为二维随机变量，对任意的,xyR，称,,,,.FxyPXxYyxy2为随机变量,XY的联合分布函数。4、设1,,nXX为n维随机变量，对任意的1,,nxxR，称111,,,,nnnFxxPXxXx为随机变量1,,nXX的联合分布函数。1,,nxx。5、如果二维随机变量,XY仅可能取有限个或可列无限个值，则称,XY为二维离散型随机变量。6、称,,,1,2,ijijPXxYypij，为二维随机变量(,)XY的联合分布律。其中，0,,1,2,,1ijijijpijp。7、设二维随机变量,XY的分布函数为,Fxy，如果存在一个二元非负实值函数,fxy，使得对于任意,xyR有,,xyFxyfxydydx成立，则称,XY为二维连续型随机变量，,fxy为二维连续型随机变量,XY的联合（概率）密度函数。8、设n维随机变量1,,nXX的分布函数为1,,nFxx，如果存在一个n元非负函数1,,nfxx，使得对任意的1,,nxxR有1111,,,,nxxnnnFxxfxxdxdx成立，则称1,,nXX为n维连续型随机变量，1,,nfxx为n维连续型随机变量1,,nXX的联合（概率）密度函数。二、定理与性质1、（联合分布函数的性质）设,Fxy是二维随机变量,XY的联合分布函数。则（1）0,1Fxy；（2）当固定y值时，,Fxy是变量的非减函数；当固定x值时，,Fxy是变量y的非减函数；3（3lim,0xFxy，lim,0yFxy，lim,0xyFxy，lim,1xyFxy；（4）当固定y值时，,Fxy是变量x的右连续函数；当固定x值时，,Fxy是变量y的右连续函数；（5）121222211211,,,,,PxXxyYyFxyFxyFxyFxy。2、（联合密度函数的性质）设,fxy为二维连续型随机变量,XY的联合密度函数，则（1）非负性,0,,fxyxy；（2）规范性,1fxydxdy。3、（连续型随机变量的性质）设二维连续型随机变量,XY的联合分布函数为,Fxy，密度函数为,fxy，则（1）对任意一条平面曲线L，有,0PXYL；（2）(,)Fxy为连续函数，在,fxy的连续点处有2,,Fxyfxyxy；（3）对xoy平面上任一区域D（如图3.11所示）有,,DPXYDfxydxdy。三、主要例题：例1现有将一颗骰子独立地上抛两次的随机试验E,观察两次出现的点数。讨论第一次出现的点数以及两次出现点数的最小值.请根据问题（1）给出随机试验E的样本空间；（2）引入二维随机变量,XY，并写出值域,XY。例2为分析一个年级的成绩分布，引入随机变量1,0,X数学为优；数学不为优.1,0,Y语文为优；语文不为优.4已知数学为优的占0.2，语文为优的占0.1，都为优的占0.08。求（1）,XY的联合分布律；（2）,XY的联合分布函数；（3）概率()PXY。例3把一颗骰子独立地上抛两次,设X表示第一次出现的点数,Y表示两次出现点数的最小值.试求:(1)X与Y的联合分布律;(2)()PXY与22(8)PXY.例4设二维随机变量,XY的密度函数为2,02,01;,0,.cyxyyfxy其他计算（1）常数c；（2）联合分布函数,Fxy；（3）概率()PXY。授课序号02教学基本指标5教学课题第三章第二节常用的二维随机变量课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点二维均匀分布教学难点二维均匀分布的概率求解问题参考教材高教版、浙大版《概率论与梳理统计》作业布置课后习题大纲要求掌握二维均匀分布了解二维正态分布的密度函数教学基本内容一、基本概念：1、二维均匀分布设二维随机变量,XY的联合密度函数为1,,;,0.xyGfxyG的面积其余其中G是xoy平面上的某个区域。则称,XY服从区域G上的二维均匀分布。2.二维正态分布221212,,,,N如果,XY的联合密度函数为2211222222112212,11exp2,2121fxyxxyy,,xy则称,XY服从二维正态分布，并记为221212,,,,,.XYN其中12,，12,0，1。二主要例题：例1设二维随机变量,XY服从区域G上的均匀分布，(,):0102Gxyxyx且.（1）写出,XY的联合密度函数；（2）计算概率PYX。6授课序号03教学基本指标教学课题第三章第三节边缘分布课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点二维随机变量的边缘分布函数的计算两个随机变量相互独立的判别方法教学难点二维随机变量的边缘分布函数的计算参考教材高教版、浙大版《概率论与梳理统计》作业布置课后习题大纲要求掌握二维随机变量的边缘分布函数的定义及计算熟练两个随机变量相互独立的定义及判别方法了解n个随机变量相互独立的定义及判别方法理解随即变量独立的概念掌握随机变量独立的判断方法教学基本内容一、基本概念：1.边缘分布函数设二维随机变量,XY的联合分布函数为,Fxy，称,,,XFxPXxPXxYFxx为X的边缘分布函数；称,,YFyPYyPXYyFyy，为Y的边缘分布函数。其中()m在一维情形下表示长度，在二维情形下表示面积，在三维情形下表示体积。2.二维离散型随机变量的边缘分布律设二维离散型随机变量,XY的联合分布律为(,)ijijPXxYbp，,1,2,ij，称概率,iijjPXxPXxYy,ijijjjPXxYyP为随机变量X的边缘分布律，记为ip，并有,iiijipPXap1,2,i。称概率1,2,jPYbj为随机变量Y的边缘分布律，记为jp，并有jjpPYb,1,2,ijjpj。3.二维连续型随机变量的边缘密度函数设二维连续型随机变量,XY的联合密度函数为,fxy，则X的边缘密度函数为,Xfxfxydy。7Y的边缘密度函数为,Yfyfxydx。4.随机变量的独立性设,XY为二维随机变量，若对任意,xyR，都有,XYFxyFxFy成立，则称随机变量X与Y相互独立。其中,Fxy为,XY的联合分布函数，XFx和YFy分别为X和Y的边缘分布函数。5、多维随机变量设1,,nXX为n维随机变量，若对任意1,,nxxR，都有11(,,)()innXiiFxxFx成立，则称随机变量1,,nXX相互独立。其中1(,,)nFxx为1,,nXX的联合分布函数，iXiFx为iX的边缘分布函数，1,2,,in。当1,,nXX为离散型随机变量时，随机变量1,,nXX相互独立的充要条件是对任意的iiXx，1,2,,in，都有111,,()nnniiiPXxXxPXx成立，其中11,,nnPXxXx为1,,nXX的联合密度函数，()iiPXx为iX的边缘密度函数，1,2,,in。当1,,nXX为连续型随机变量时，随机变量1,,nXX相互独立的充要条件是1(,,)nfxx在，11()()nXXnfxfx，...,的一切公共连续点上11(,,)()innXiifxxfx成立。其中1(,,)nfxx为1,,nXX的联合密度函数，iXifx为iX的边缘密度函数1,2,,in。8二、定理1、如果221212,,,,,XYN，则221122,,,XNYN，即二维正态分布的边缘分布还是正态分布。2、设,XY为二维离散型随机变量，那么，X与Y相互独立的充分必要条件为对任意的,1,2,ij，都有ijijppp成立。其中ijp，,1,2,ij为,XY的联合分布律，ip，1,2,i和jp，1,2,j分别为X和Y的边缘分布律。3、若,XY为二维连续型随机变量，那么，X与Y相互独立的充分必要条件为在,Xfxyfx，及Yfy的一切公共连续点上都有,XfxyfxYfy，成立。其中,fxy为,XY的联合密度函数，Xfx和Yfy分别为X和Y的边缘密度函数与Y的边缘密度函数。4、设221212,,,,,XYN，那么，X与Y相互独立的充分必要条件为0。三、主要例题：例1设二维随机变量,XY的密度函数为2,02,01;,0,.cyxyyfxy其他分别计算X与Y的边缘分布函数。例2把一颗骰子独立地上抛两次,设X表示第一次出现的点数,Y表示两次出现点数的最小值.计算X与Y的边缘分布律。例3设二维随机变量,XY的密度函数为2,02,01;,0,.cyxyyfxy其他计算（1）X的边缘密度函数；（2）Y的边缘密度函数。（3）X与Y是否相互独立？为什么？9例4已知,1,2,4,9,0.3XYN，求23ZX的密度函数()Zfz。例5设二维随机变量,XY的联合分布律为XY0100.40.410.10.1（1）求X的边缘分布律与Y的边缘分布律；（2）X与Y是否相互独立，为什么？授课序号04教学基本指标10教学课题第三章第四节条件分布课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点二维随机变量的条件分布律、条件密度函数以及条件分布函数的定义及计算教学难点条件密度函数的计算参考教材高教版、浙大版《概率论与梳理统计》作业布置课后习题大纲要求掌握二维随机变量的条件分布律、条件密度函数以及条件分布函数的定义及计算教学基本内容一、基本概念：1.二维离散型随机变量的条件分布律设二维离散型随机变量,XY的联合分布律为ijp，,1,2,ij。当jYy时，在给定条件jYy下X的条件分布律为,1