概率与统计教案---第二章

-1-普通高等教育“十一五”国家级规划教材概率论与数理统计第四版浙江大学盛骤谢式千潘承毅教案-2-第二章随机变量及其分布2．1随机变量、离散型随机变量及其分布教学目标：1．理解随机变量的概念2．理解离散型随机变量及其分布律，掌握两点分布，二项分布，泊松分布并能利用这些分布求有关概率教学重点、难点：教学重点：1.离散型随机变量的分布律2.n重伯努利试验的二项分布教学难点：求某随机变量X的分布律教学内容：一、随机变量的定义解决问题：将试验结果数量化例：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面和反面的情况，样本空间是：S={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}以X记三次抛掷得到正面H的总数，则S中的每一个样本点e，X都有一个数与它对应：TTTeTTHTHTHTTeTHHHTHHHTeHHHeeXX,0,,,1,,,2,3)(定义：随试验结果而变的量X为随机变量如图：X=X(e)－－为S上的单值函数，X为实数二、离散型随机变量的分布律1、离散型随机变量定义：取值有限或可列无限的随机变量为离散型随机变量2、离散量的概率分布(分布律)-3-设离散型随机变量X所有可能取值为kx（,2,1k），X取各个可能直的概率，即事件}{kxX的概率为kkpxXP}{，,2,1k则离散型随机变量X的分布律为例1设一汽车在开往目的地的道路上需要经过四组信号灯，每组信号灯以0.5的概率允许或禁止汽车通过，以X表示汽车首次停下时已通过的信号灯的组数（设各组信号灯的工作是相互独立的），求X的分布律解：以p表示每组信号灯禁止汽车通过的概率，则X的分布律为，其中5.0p或者4)1(}4{,3,2,1,0,)1(}{pXPkppxXPkk三、三种典型的离散型随机变量（一）、0-1分布设随机变量只可能取两个值0与1，它的分布律是1,0,)1(}{1kppkXPkk1,0k则称X服从以p为参数的0-1分布或两点分布该分布也可指随机试验的样本空间只包含两个元素的情况。（二）、伯努利实验、二项分布1.定义：若试验E只有两个可能的结果AA,，该试验称为伯努利实验，若重复独立进行n次，称这一串重复的独立的试验为n重伯努利实验。例如：放回抽样2.分布律以X表示n重伯努利实验中事件A发生的次数，各次试验相互独立，指定有k次试验中事件A发生，在其他kn次试验中事件A不发生，则其概率为：knkpp)1(，p为事件A发生的概率-4-又这种指定方式有kn种，这些指定方式下的试验结果两两互不相容，所以在n次试验中发生k次A事件的概率为knkppkn)1(，即knkppknkXP)1(}{，nk,,2,1,0n重伯努利试验的分布又称为二项分布，记作),(~pnbX注：1n时二项分布为0-1分布例：按规定某种型号电子元件的使用寿命超过1500小时的为一级品，已知某一大批产品的一级品率为0.2，现从中随机地抽查20只，问这20只元件中恰有k只为一级品的概率是多少？分析：这是不放回抽样，但由于这批元件的总数很大，且抽查的元件数量相对很小，所以可看成是20重伯努利实验解：kkppkkXP20)1(20}{，20,,2,1,0k，.02p20)2.01(020}0{XP，19)2.01(2.0120}1{XP，……例2：某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，试求至少击中两次的概率？解：该实验为400重伯努利实验kkkkXP400)02.01(02.0400}{，400,,2,1,0k则至少击中两次的概率为}1{}0{1}2{XPXPXP39940098.002.040098.01练习：习题二6,7,8（三）、泊松分布设随机变量X所有可能取得值为0，1，2，……，而取各个值的概率为!}{kekXPk，,2,1,0k-5-其中0是常熟，则称X服从参数的泊松分布，记作)(~X讲解习题二11,12,132.2随机变量的分布函数教学目标：1．掌握泊松分布，超几何分布，并能利用这些分布求有关概率2．理解随机变量的分布函数的概念及其性质教学重点、难点：教学重点：1.泊松分布及其应用2.离散型随机变量的分布函数的求解3.根据分布函数求某一区间的概率教学难点：求随机变量X的分布函数教学内容：首先研究的是随机变量所取的值落在一个区间],(21xx的概率}{21xxxP=}{}{12xxPxxP下面定义}{xXP一、分布函数设X是一个随机变量，x是任意实数，函数}{)(xXPxF，x称为X的分布函数。所以，对于任意实数)(,2121xxxx，有}{21xxxP=}{}{12xxPxxP=)()(12xFxF二、分布函数的性质。1.)(xF是一个不减函数对于任意实数21,xx，当21xx时，有)()(21xFxF。2.1)(0xF，且0)(F，1)(F三、分布函数及全歼概率的求解例1：设随机变量X的分布律为-6-求X的分布函数，并求}32{},2523{},21{XPXPXP解：略练习：习题二17（2）2.3连续型随机变量及其概率密度教学目标：1．掌握概率密度的性质及有关计算；2．掌握均匀分布，指数分布，正态分布的性质与有关计算教学重点、难点：教学重点：1.离散型随机变量的分布函数的求解2.根据分布函数求某一区间的概率教学难点：求随机变量X的分布函数及概率密度教学内容：一、定义：对于随机变量X的分布函数)(xF,若存在非负的函数)(xf，使对于任意实数x有：则称X为连续型随机变量，)(xf称为X的概率密度函数，简称概率密度二、概率密度)(xf的性质。1.0)(xf。2.1)(dxxf。3.对任意实数)(,2121xxxx}{21xxxP=)()(12xFxF=21)(xxdxxf。4.若)(xf在点x处连续，则有)()(xfxF三、相关计算例：设随机变量X具有概率密度其他0432230)(xxxkxxf(1)确定常熟k，（2）求X的分布函数)(xF，（3）求}271{xP-7-解：（1）由1)(dxxf61k（2）414321261306100)(3030xxxdxxdxxxdxxxFxx（3）}271{xP=4841)1()27(FF练习：习题二19注：对于连续型随机变量X来说，它取任意指定实数值a的概率均为0，即0}{aXP四：三种重要的连续型随机变量（一）、均匀分布1.定义若连续型随机变量X具有概率密度其他01)(bxaabxf则称X在）（ba,上服从均匀分布，记作b)U(a,~X则其分布函数为bxbxaabaxaxdxxfxFx10)()(2应用和计算例：设电阻值R是一个随机变量，均匀分布在1100900，求R的概率密度及R落在1050950的概率.解：R服从均匀分布，则其他011009002001)(xxfdxxfxP1050950)(}1050950{练习：习题二25-8-（二）、指数分布1.定义若连续型随机变量X具有概率密度其他001)(xexfx其中0为常数，则称X服从参数为的指数分布。则其分布函数为其他101)()(xedxxfxFxx2.应用和计算例：设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（min）服从指数分布，其概率密度为其他0051)(5xexfxX某顾客在窗口等待服务，若超过10min，它就离开，他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律，并求}1{YP?解：Y服从5重伯努利实验，该试验中事件A表示未等到服务而离开，则),5(~pbYp为事件A发生的概率，即210)(}10{exfXPpX52)1(1}0{1}1{eYPYP（三）、正态分布1.定义若连续型随机变量X具有概率密度为222)(21)(xexf，x其中,为常数，则称X服从参数为,的正态分布或高斯分布。记作-9-),(~2NX当1,0时为标准正态分布，其概率密度为)(x2221)(xexf2.4随机变量的函数的分布教学目标：1.掌握离散型随机变量的分布律2.掌握连续型随机变量函数的概率密度教学重点、难点：教学重点：1.由离散型随机变量的分布律求函数的分布律2.由连续型随机变量的概率密度求函数的概率密度1．教学难点：求函数2XY的概率密度函数教学内容：本节讨论的是：已知随机变量X的概率分布，去求得它的函数)(xgY的概率分布。例1：设随机变量X具有以下的分布律，试求2)1(XY的分布律解：Y所有可能的取值为0,1,4，由1.0}1{}0)1{(}0{2XPXPYP7.04.03.0}2{}0{}20{}1)1{(}1{2XPXPXXPXPYP2.0}1{}4)1{(}4{2XPXPYP得Y的分布律为练习：设随机变量X的分布律为-10-求2XY的分布律例2：设随机变量X具有概率密度其他0408)(xxxfX求随机变量82XY的概率密度解：分别X,Y的分布函数为)(),(yFxFYX，则}82{}{)(yXPyYPyFY)28(}28{yFyXPX)28()()(yFyFyfXYY=)28)(28(yyfX其他04280212881yy例2：设随机变量X具有概率密度)(xfX，x，求2XY的概率密度解：}{}{)(2yXPyYPyFY=}{yxyP)()(yFyFXX))()(()()(yFyFyFyfXXYY)()(yFyFXX))(()(yyfyyfXX))()((21yfyfyXX0y00y练习：习题二38习题二讲解=