概率论与数理统计教案第四章

1概率论与数理统计教学教案第四章随机变量的数字特征授课序号01教学基本指标教学课题第四章第一节数学期望课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点离散型、连续型随机变量的数学期望的定义及其概率含义；数学期望的性质；随机变量函数的期望公式教学难点连续型随机变量及其函数的数学期望；数学期望的性质参考教材高教版、浙大版《概率论与梳理统计》作业布置课后习题大纲要求理解离散型、连续型随机变量的数学期望的定义及其概率含义熟悉数学期望的性质掌握随机变量函数的期望公式熟练常用随机变量的数学期望教学基本内容一、基本概念：1.数学期望的定义（1）设X是离散型的随机变量，其分布律为,1,2,iiPXxpi。如果级数1iiixp绝对收敛，则称1iiiEXxp为离散型随机变量X的数学期望，也称作期望或均值。（2）设X是连续型随机变量，其概率密度为fx。如果广义积分xfxdx绝对收敛，则称EXxfxdx为连续型随机变量X的数学期望，也称作期望或均值。2.随机变量函数的数学期望（1）设X是离散型随机变量，其分布律为,1,2,iiPXxpi。如果级数1iiigxp绝对收敛，2则X的函数YgX的数学期望为1iiiEgXgxp；（2）设X为连续型随机变量，其概率密度为fx。如果广义积分gxfxdx绝对收敛，则X的函数YgX的数学期望为EgXgxfxdx。3.二维随机变量函数的数学期望（1）设,XY是二维离散型随机变量，其联合分布律为,,ijijPXxYyp,1,2,ij。如果级数11,ijijijgxyp绝对收敛，则,XY的函数,ZgXY的数学期望为11,,ijijijEgXYgxyp。（2）设,XY是二维连续型随机变量，其联合概率密度为,fxy。如果广义积分,,gxyfxydxdy绝对收敛，则,XY的函数,ZgXY的数学期望为,,,EgXYgxyfxydxdy。二、定理与性质1、数学期望有下列性质，（1）设c为常数，则Ecc；（2）设X为随机变量，,kc为常数，则EkXckEXc；（3）设,XY为任意两个随机变量，则;EXYEXEY（4）设,XY为相互独立的随机变量，则.EXYEXEY三、主要例题：例1设甲、乙两班各40名学生，概率统计成绩及得分人数如表4.1所示，其中成绩以10的倍数表示。问甲、乙两班概率统计的平均成绩各是多少？表4.1甲、乙两班的概率统计成绩甲班分数60708090100乙班分数40607080901003人数291892人数3181387频率2409401840940240频率3401408401340840740例2设随机变量X的分布律分别为（1）21,1,2,2iiPXii；（2）211,1,2,2iiiPXii；（3）2211,1,2,2iiiPXii。在三种情形下，试问()EX是否存在？为什么？例3设随机变量X的概率密度函数为211(),,1fxxx试问()EX是否存在？为什么？例4设离散型随机变量X分别服从下列分布（1）(1,)XBp；（2）(,)XBnp；（3）()XP。计算随机变量X的数学期望()EX。例5设连续型随机变量X分别服从下列分布（1）(,)XUab；（2）()XE；（3）2(,)XN。计算随机变量X的数学期望()EX。例6已知X的分布律如下，X-112rP1/41/21/4计算23()()()EXEXEX，，。例7设随机变量X的分布律为,0,1,2,!CPXkkk。计算（1）EX；（2）2EX。例8设随机变量X的概率密度函数为22,0;0,xexfx其余.试求：（1）2EX；（2）222XXEe.例9已知二维随机变量,XY的联合分布律为YX012013112131112112112计算（1）X与Y的期望(),()EXEY；（2）ZXY的数学期望()EZ。4例10某公司生产的机器其无故障工作时间X有密度函数22,2;()(0,xfxx单位：万小时）其余.公司每售出一台机器可获利1600元，若机器售出后使用2.2万小时之内出故障，则应予以更换，这时每台亏损1200元；若在2.2到3万小时之间出故障，则予以维修，由公司负担维修费400元；在使用3万小时后出故障，则用户自己负责。求该公司售出每台机器的平均获利。授课序号02教学基本指标教学课题第四章第二节方差和标准差课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点方差的定义及求解，方差的性质教学难点方差的性质及其与期望性质的比较参考教材高教版、浙大版《概率论与梳理统计》作业布置课后习题大纲要求理解随机变量方差的定义及方差的概率含义熟悉方差的性质掌握随机变量的方差计算公式熟练常用随机变量的方差教学基本内容一、基本概念：1.方差和标准差的定义设X是一个随机变量，如果2EXEX存在，则称2DXEXEX为随机变量X的方差。称方差DX的算术平方根XDX为随机变量X的标准差。二、方差的性质（1）0DX的充分必要条件是1,PXc即X服从参数为c的退化分布，其中()cEX。特别地，5若c为常数，则0Dc；（2）设X为随机变量，,kc为常数，则2DkXckDX；（3）设,XY为任意两个随机变量，则2()()DXYDXDYEXEXYEY；（4）设,XY为相互独立的随机变量，则DXYDXDY。三、主要例题：例1设甲、乙两班各40名学生，概率统计成绩及得分人数如表4.1所示，其中成绩以10的倍数表示。甲班分数60708090100乙班分数4060708090100人数291892人数3181387频率2409401840940240频率3401408401340840740甲、乙两班概率统计的平均成绩是一样的，现选出一个班级参加比赛，应选哪个班级？例2在下列三种情形下分别计算随机变量X的方差()DX，（1）设离散型随机变量()XP；（2）设连续型随机变量(,)XUab；（2）设连续型随机变量()XE；（3）设连续型随机变量2(,)XN。例3设随机变量(,)XBnp。计算X的方差()DX。例4已知X是任意的随机变量，（1）设()XXEX，试证明()0()()EXDXDX且；（2）当()0DX时，设()()XEXXDX，试证明()0()1EXDX且。例5已知X与Y相互独立，且~(1,2)XN，~5,9YN（），23ZXY。求(z)f。6授课序号03教学基本指标教学课题第四章第三节协方差、相关系数课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点协方差及相关系数的定义及其性质教学难点协方差及相关系数的计算参考教材高教版、浙大版《概率论与梳理统计》作业布置课后习题大纲要求理解随机变量协方差、相关系数的定义及概率含义熟悉协方差、相关系数的性质掌握协方差、相关系数的计算教学基本内容一、基本概念：1.协方差设,XY是二维随机变量，如果EXEXYEY存在，则称cov,XYEXEXYEY为随机变量X和Y的协方差。2.相关系数设,XY是二维随机变量，如果cov,XY存在，且0,()0DXDY，则称cov,(,)XYXYDXDY为随机变量X和Y的相关系数，也记作XY。2.（线性）无关设二维随机变量(,)XY的相关系数XY存在，则当1XY时，(,)XY的取值(,)xy在直线yaxb上的概率为1，称X与Y完全相关；7当1XY时，(,)XY的取值(,)xy在斜率为正直线yaxb上的概率为1，称X与Y完全正线性相关；当1XY时，(,)XY的取值(,)xy在斜率为负直线yaxb上的概率为1，称X与Y完全负相关。当(,)0XY时，称X与Y正线性相关；当(,)0XY时，称X与Y负线性相关。当(,)0XY时，称X与Y（线性）无关或（线性）不相关。二、定理1、协方差的性质：（1）设c为常数，则cov,0Xc；（2）设,XY为任意两个随机变量，则cov,cov,XYYX；（3）设,XY为任意两个随机变量，,kl为常数，则cov,cov,kXlYklYX；（4）1212cov,cov,cov,XXYXYXY。2、相关系数的性质，设,XY是二维随机变量，且0,()0DXDY。那么有（1）1XY；（2）1XY的充要条件是1PYaXb，其中，当1XY时，()(),()()()DYEXabEYDXDX，当1XY时，()(),()()()DYEXabEYDXDX；（3）若随机变量X与Y相互独立，则X与Y线性无关，即0XY。但由0XY不能推断X与Y独立。3、当0,()0DXDY时，下列5个命题是等价的：④0XY；②cov,0XY；③EXYEXEY；④DXYDXDY；⑤DXYDXDY84、如果二维随机变量(,)XY服从二维正态分布，那么，X与Y相互独立等价于X与Y不相关。三、主要例题：例1设二维随机变量,XY服从单位圆22,1Gxyxy上的均匀分布。计算（1）,(),(),()EXEYDXDY;（2）X和Y的协方差cov,XY；（3）cov32,5XYY；（4）求X和Y的相关系数XY，试问X和Y是否不相关？（5）X和Y是否独立？例2设12,,,2nXXXn相互独立同分布，且~(,)iXBmp，记11=niiXXn，,1,2,,.iiYXXin求（1）11=niiXXn的方差DX；（2）iY的方差,1,2,,;iDYin（3）1Y与nY的协方差1cov,nYY。例3已知二维随机变量,XY的联合分布律为YX012013112131112112112试求X和Y的相关系数XY。例4当221212(,)~(,,,,)XYN时，计算X和Y的数字特征(),(),(),EXDXEY(),DYcov(,),XYXY。授课序号04教学基本指标9教学课题第四章第四节其他数字特征课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点K阶矩的定义，分位数的定义及求解教学难点标准正态分布的k阶矩求解连续型随机变量分位数的求解参考教材高教版、浙大版《概率论与梳理统计》作业布置课后习题大纲要求理解k阶矩的定义掌握正态分布的k阶原点矩的计算公式了解期望向量、协方差矩阵的定义了解期望向量、协方差矩阵的简单计算了解变异系数、分位数、中位数及众数的定义及简单计算教学基本内容一、基本概念：1.k阶矩设,XY是随机变量，,kl是正整数，则称kEX是随机变量X的k阶原点矩；kEXEX是随机变量X的k阶中心矩；klEXY是随机变量,XY的,kl阶联合原点矩；klEXEXYEY是随机变量,XY的,kl阶联合中心矩。2.变异系数随机变量X的数学期望()0EX，方差()DX存在，那么称()|()|XDXEX为随机变量X的变异系数。3.