第五章 二次型

线性代数第五章二次型线性代数线性代数化二次型为标准形2正定二次型3二次型及其标准形1第五章二次型线性代数§1二次型及其标准形12二次型的概念及矩阵表示线性变换3二次型的标准形线性代数1.1二次型的概念及矩阵表示定义1称含有n个变量的二次齐次多项式++…………………………………………为n元二次型，简称为二次型．nnnxxaxxaxxaxaxxxf1131132112211121222,,,nnxxaxxaxa2232232222222nnnxajijiijniiiixxaxa212线性代数1.1二次型的概念及矩阵表示例1(1)已知二次型试写出f的矩阵A，并求f的秩．(2)写出矩阵对应的二次型．3222312132132),,(xxxxxxxxxxf012101210B线性代数1.1二次型的概念及矩阵表示解(1)所以对称矩阵．由于R(A)=3，所以f的秩为3．011a2112a2113a2121a222a2323a2131a2332a033a023212322121210A线性代数1.1二次型的概念及矩阵表示(2)令，由于所以对应的二次型为321xxxX323121242xxxxxxBXXT012101210B323121242xxxxxx线性代数1.2线性变换定义2设两组变量和，关系式称为由变量到变量的一个线性变量替换，简称线性变换．矩阵称为线性变换的矩阵．nxxx,,,21nyyy,,,2111111221221122221122.................................................nnnnnnnnnnycxcxcxycxcxcxycxcxcxnxxx,,,21nyyy,,,21nnnnnncccccccccC212222111211线性代数1.2线性变换定义3设A，B为n阶方阵，如果存在n阶非奇异矩阵C，使得，则称矩阵A与B合同．矩阵合同的性质①反身性：对任意方阵A都有A与A合同；②对称性：如果A与B合同，则B与A合同；③传递性：如果A与B合同，B与C合同，则A与C合同．TCACB线性代数1.3二次型的标准形定义4如果二次型，经过非退化线性变换X=CY化为定理1对于任一个n元二次型，都存在正交变换X=PY，使得AXXxxxfTn),,,(21YYACYCYAXXxxxfTTTTn,,,21AXXfTAXXfT2222211nnydydyd线性代数§2化二次型为标准形12配方法初等变换法34正交变换法二次型的规范形线性代数2.1配方法1．二次型中至少含有一个平方项例1化二次型为标准形，并求出所作的非退化线性变换．解先把所有含x1的项配成一个完全平方项，由),,(321xxxf22212312132323444xxxxxxxxx),,(321xxxf222123123234()4()4()xxxxxxxx322322432xxxx3223222321472)22(xxxxxxx线性代数2.1配方法再把剩余的含x2项配成一个完全平方项，有线性变换X=CY，即，则原实二次型化为标准形),,(321xxxf222123233(22)2()5xxxxxx321321100110221yyyxxxAXXT22212325yyy线性代数2.1配方法2.二次型中不含平方项例2用配方法化二次型为标准形，并求出所作的非退化线性变换．解),,(321xxxf121323xxxxxx11221233xyyxyyxy2212132fyyyy321321100111111zzzxxx线性代数2.2初等变换法由于对任何实对称阵都存在非奇异矩阵C，使为对角阵．C是可逆的，可将C表示为一系列初等矩阵的乘积.设，所以，且(1)(2)2112TTTTssCACPPPAPPP1212ssCPPPIPPPTCAC12sCPPP21TTTTsCPPP线性代数2.2初等变换法用初等变换法化二次型为标准形的步骤为：(1)写出二次型的矩阵A(2)在矩阵A的下面写出单位矩阵E,构成阶矩阵(3)对矩阵施行对称初等变换，即每一步先对列进行初等变换，然后对行施行同样的初等变换（注：对只施行相应的列变换）(4)当A变成对角阵时，E就变成可逆矩阵C,即nn2AEAEAEC线性代数2.2初等变换法例3用初等变换法化二次型=为标准形，并求出相应的非退化线性变换．解二次型的矩阵),,(321xxxf323121222xxxxxx323121222xxxxxx011101110A1211212231121212011111212200101101101101102102102021001001001101011011011001001001001CCCCrrCCAE121231121212200000021111001rrrr12121111001C线性代数2.2初等变换法令原二次型化为11121222331111001xyxyxy323121222xxxxxx2322212212yyy线性代数2.3正交变换法对于实对称阵，可以利用正交矩阵将其对角化．由于实二次型的矩阵是实对称阵，因此可用正交矩阵将其化为对角阵，这种变换称为正交变换．具体地说，用正交变换法化二次型为标准形的步骤为：(1)由，求A的n个特征值；(2)对，求A的关于的线性无关的特征向量（）；0EAn,,,21iini,,2,1线性代数2.3正交变换法(3)对k（k1）重特征值，用施密特正交化方法，将其k个线性无关的特征向量正交化；(4)将所求的A的n个正交的特征向量单位化；(5)以A的正交单位化后的特征向量为列向量构成正交矩阵C，并写出相应的正交变换X=CY和二次型的标准形．i线性代数2.3正交变换法例4求一正交变换X=CY，化二次型=为标准形．解二次型的矩阵为：),,(321xxxf323121xxxxxx021212102121210A11136211111223261332330xyxyxy2322212121yyy线性代数2.3正交变换法注意：用正交变换化二次型时，得到的标准形并不唯一，这与施行的正交变换或者说与用到的正交矩阵有关．但由于标准形中平方项的系数只能是的特征值，若不计它们的次序，则标准形是唯一的．线性代数2.4二次型的规范形例5对于三元标准二次型，经过非退化线性变换，，必可变为用矩阵表示为这是一种最简单的标准形，它只含变量的平方项，而且其系数是1,-1和0．232221032yyyf112yz223yz33yz2221zzf0000100011000000000030002100000031213121线性代数2.4二次型的规范形定义1所有平方项的系数均为1,-1或0的标准二次型称为规范二次型．由二次型化得的规范二次型，简称为二次型的规范形．定理1（惯性定理）任意一个n元二次型，一定可以经过非退化线性变换化为规范形AXXfT221221rppzzzzf线性代数2.4二次型的规范形惯性定理的矩阵表述形式对于任意一个n阶实对称矩阵A，一定存在n阶可逆阵C，使得0kTrkECACE线性代数2.4二次型的规范形定义2规范形中的p称为二次型（或对称矩阵A）的正惯性指数，q=r-p称为负惯性指数，p-q=2p-r称为符号差．定理2实对称矩阵A与B合同当且仅当它们有相同的秩和相同的正惯性指数．AXXfT线性代数§3正定二次型12正定二次型与正定矩阵正定二次型的判定线性代数3.1正定二次型与正定矩阵定义1二次型称为正定二次型，如果当不全为0时，一定有．如果实对称矩阵A所确定的二次型正定，则称A为正定矩阵．于是A为正定矩阵当且仅当时，有nxxxf,,,21nxxx,,,210,,,21nxxxf0X0AXXT线性代数3.1正定二次型与正定矩阵定义2二次型称为半正定二次型，如果当不全为0时，一定有．如果实对称矩阵A所确定的二次型半正定，则称A为半正定矩阵．nxxxf,,,21nxxx,,,210,,,21nxxxf线性代数3.1正定二次型与正定矩阵例１（1）二次型是正定二次型，对应的正定矩阵；（2）二次型是半正定二次型，对应的半正定矩阵；（3）二次型为负定二次型，对应的负定矩阵；232221321),,(xxxxxxf3AE2221321),,(xxxxxf000010001A222123123(,,)fxxxxxx3AE线性代数3.1正定二次型与正定矩阵（4）二次型为半负定二次型，对应的半负定矩阵；（5）二次型为不定二次型，对应的矩阵为不定矩阵.2221321),,(xxxxxf000010001A2221321),,(xxxxxf000010001A线性代数3.1正定二次型与正定矩阵例2如果A,B都是n阶正定矩阵，证明A+B也是正定矩阵．证明因为A,B为正定矩阵，所以为正定二次型，且对,有，．因此对，，于是必为正定二次型，从而A+B为正定矩阵．BXXAXXTT,0X0AXXT0BXXT0X0BXXTXBAXT线性代数3.2正定二次型的判定定理1n元二次型=是正定二次型的充要条件是其矩阵A的n个特征值全大于零．推论1n元二次型=是正定二次型的充要条件是其规范形为推论2n元二次型=是正定二次型的充要条件是其矩阵A合同于单位矩阵，即存在可逆矩C，使得推论3n元二次型=是正定二次型的充要条件是其正惯性指数为n．nxxxf,,,21AXXTnxxxf,,,21AXXT22221nzzznxxxf,,,21AXXTCCATnxxxf,,,21AXXT线性代数3.2正定二次型的判定方法一配方法例3判断二次型是否是正定二次型．解用配方法得到所以的正惯性指数等于2，从而可知不是正定二次型．2332222121321422),,(xxxxxxxxxxf2332222121321422),,(xxxxxxxxxxf232322213)2()(xxxxx2322213213),,(yyyxxxf),,(321xxxf),,(321xxxf线性代数3.2正定二次型的判定方法二特征值法例4判断二次型是否是正定二次型．解的矩阵因为，所以不是正定二次型．2332222121321422),,(xxxxxxxxxxf),,(321xxxf120221011A112213222