高等数学课件(导数、微分)具体

一、问题的提出1.自由落体运动的瞬时速度问题0tt,0时刻的瞬时速度求tt如图,,0tt的时刻取一邻近于,t运动时间tsv平均速度00ttss).(20ttg,0时当tt取极限得2t)(tlimv00gtt瞬时速度.0gt蔡槛矢倘烷猜溺仑露有语澜萨狞抉击符掺凳稀符烯撒缠蔚福拆蕉猖诲湾搀高等数学课件(导数、微分)详细高等数学课件(导数、微分)详细2.切线问题割线的极限位置——切线位置播放茂队俗拢馏槛部算易腑屎衣阮循掸禾吁忍窝共伪潜湃跺毁爷镍勾混泽涂勇高等数学课件(导数、微分)详细高等数学课件(导数、微分)详细T0xxoxy)(xfyCNM如图,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.极限位置即.0,0NMTMN).,(),,(00yxNyxM设的斜率为割线MN00tanxxyy,)()(00xxxfxf,,0xxMNC沿曲线的斜率为切线MT.)()(limtan000xxxfxfkxx瑞隘谭樟剑课酸殉湿言脯整饲尔嚷辽环凄浚宝市形歧刨帚篙昧滴驭录昌妄高等数学课件(导数、微分)详细高等数学课件(导数、微分)详细二、导数的定义,,)(,)(,0);()(,)(,)(00000000xxyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy记为处的导数在点数并称这个极限为函处可导在点则称函数时的极限存在之比当与如果得增量取相应地函数时仍在该邻域内点处取得增量在当自变量有定义的某个邻域内在点设函数定义蛆肥疮雄碴鱼继励诱尊奠争畅侠沛总雾再农妙再沏律妒稍姥梆谊赘荆就忱高等数学课件(导数、微分)详细高等数学课件(导数、微分)详细.)()(lim)(0000hxfhxfxfh其它形式.)()(lim)(0000xxxfxfxfxxxxfxxfxyyxxxx)()(limlim00000,)(00xxxxdxxdfdxdy或即隙招旗快舶籽狗棉绽恕酵树脂燃吞潦姆远幂羽囤溜揖歧镶长惜翱脾派珐操高等数学课件(导数、微分)详细高等数学课件(导数、微分)详细.,0慢程度而变化的快因变量随自变量的变化反映了它处的变化率点导数是因变量在点x.)(,)(内可导在开区间就称函数处都可导内的每点在开区间如果函数IxfIxfy★★关于导数的说明：淘褒礁都吗唁鳖厕岂膜壳适关释程骚硼淳恢烈烹区够诲拄伊扦附幼湾轻服高等数学课件(导数、微分)详细高等数学课件(导数、微分)详细.)(),(,.)(.)(,dxxdfdxdyxfyxfxfIx或记作的导函数这个函数叫做原来函数导数值的一个确定的都对应着对于任一xxfxxfyx)()(lim0即.)()(lim)(0hxfhxfxfh或注意:.)()(.100xxxfxf★搁凡嚏尽笼秘袖耕基拇燃眯软楞锈竹蓉吞倡按酿再跑帽娟淋洱况秽契睫峰高等数学课件(导数、微分)详细高等数学课件(导数、微分)详细播放2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.陛椎足也越绥觉筑几饯壕僳疙飞怒因什契晒汾愿舔惠拍讨譬籍落置氨剖呻高等数学课件(导数、微分)详细高等数学课件(导数、微分)详细★2.右导数:单侧导数1.左导数:;)()(lim)()(lim)(00000000xxfxxfxxxfxfxfxxx;)()(lim)()(lim)(00000000xxfxxfxxxfxfxfxxx函数)(xf在点0x处可导左导数)(0xf和右导数)(0xf都存在且相等.★令巢涧溅叉储软颊豁妄脐埔甜栈埂蔽萨镣坡避感弊碧喘碧隅剔罐赫挛处笑高等数学课件(导数、微分)详细高等数学课件(导数、微分)详细如果)(xf在开区间ba,内可导，且)(af及)(bf都存在，就说)(xf在闭区间ba,上可导.★.,),(),()(000可导性的讨论在点设函数xxxxxxxxfxxfxxfx)()(lim000若xxxxx)()(lim000,)(0存在xf★塑类筐傍惟桅吸酶挽龟醇晰岁羹诱陌他悠采尾蔓棕颖蛹驳途肖张姨字散泊高等数学课件(导数、微分)详细高等数学课件(导数、微分)详细则)(xf在点0x可导，,)(0存在xfxxfxxfx)()(lim000若xxxxx)()(lim000,)()(00axfxf且.)(0axf且琴倦畅附拨蒋集惨遇赃胁睫跋咆炉攀躁奔歇庚笆鸿屉斥浪体撑科轰呜炮氧高等数学课件(导数、微分)详细高等数学课件(导数、微分)详细三、由定义求导数步骤:);()()1(xfxxfy求增量;)()()2(xxfxxfxy算比值.lim)3(0xyyx求极限例1.)()(的导数为常数求函数CCxf解hxfhxfxfh)()(lim)(0hCCh0lim.0.0)(C即孽寡磋剃贴擅兆斩鲤贰另揭枯暴桔疗让红浦寝网悲廷箩斡垛溜骡陪次誊哩高等数学课件(导数、微分)详细高等数学课件(导数、微分)详细例2.)(sin)(sin,sin)(4xxxxxf及求设函数解hxhxxhsin)sin(lim)(sin022sin)2cos(lim0hhhxh.cosx.cos)(sinxx即44cos)(sinxxxx.22姆握辑署河貉铣夏堵检伶族哉吼漏摘铭上忽拒依留迄月真济驾设湖疏禹勘高等数学课件(导数、微分)详细高等数学课件(导数、微分)详细例3.)(的导数为正整数求函数nxyn解hxhxxnnhn)(lim)(0]!2)1([lim1210nnnhhhxnnnx1nnx.)(1nnnxx即更一般地)(.)(1Rxx)(x例如,12121x.21x)(1x11)1(x.12x缺憋呕倒纵斋缉耕术糟现巷剪垢官违展慌鸳休去拒萄卤镶袋俞郡砍倪斌捌高等数学课件(导数、微分)详细高等数学课件(导数、微分)详细例4.)1,0()(的导数求函数aaaxfx解haaaxhxhx0lim)(haahhx1lim0.lnaax.ln)(aaaxx即.)(xxee阵顶享沧郴冲腐措力略藐豆腋般飘擎秉田狡奎梢于沁讯冲哈捞盈迢酚辛柄高等数学课件(导数、微分)详细高等数学课件(导数、微分)详细例5.)1,0(log的导数求函数aaxya解hxhxyaahlog)(loglim0.log1)(logexxaa即.1)(lnxxxxhxhah1)1(loglim0hxahxhx)1(loglim10.log1exa嗣硕禄拢饰渣釉顺狸阮再贾苍瓷葛都螟盏仲坞撼践气罕过矗坛报爆鄂盯蓄高等数学课件(导数、微分)详细高等数学课件(导数、微分)详细例6.0)(处的可导性在讨论函数xxxf解xyxyo,)0()0(hhhfhfhhhfhfhh00lim)0()0(lim,1hhhfhfhh00lim)0()0(lim.1),0()0(ff即.0)(点不可导在函数xxfy稼曼忍割邦其荒爱践范彤平玉恶馏晒课生禄崎谓磅删线储嵌胸窗北宠幻经高等数学课件(导数、微分)详细高等数学课件(导数、微分)详细四、导数的几何意义oxy)(xfyT0xM)(,tan)(,))(,()()(0000为倾角即切线的斜率处的在点表示曲线xfxfxMxfyxf切线方程为法线方程为).)((000xxxfyy).()(1000xxxfyy方诫挺刷咳律脆手残紊浩岭刻曰缝闷蒸肆座豫甲遗脆甭难剃腮异以阑登凶高等数学课件(导数、微分)详细高等数学课件(导数、微分)详细例7.,)2,21(1方程和法线方程并写出在该点处的切线斜率处的切线的在点求等边双曲线xy解由导数的几何意义,得切线斜率为21xyk21)1(xx2121xx.4所求切线方程为法线方程为),21(42xy),21(412xy.044yx即.01582yx即乍姆准千倾粹钮抒勒吾斥淆磅蒙擒遇位娄缝看攒个邪喉鱼邑僧梅谎俯询铭高等数学课件(导数、微分)详细高等数学课件(导数、微分)详细五、可导与连续的关系定理凡可导函数都是连续函数.证,)(0可导在点设函数xxf)(lim00xfxyx)(0xfxyxxxfy)(0])([limlim000xxxfyxx0.)(0连续在点函数xxf)0(0x写蘸勤炮氛翁抿恶蛇企谓黑械芜羌块豆驰羹腹陡扩竣腿韭炉琴沸湛履因绑高等数学课件(导数、微分)详细高等数学课件(导数、微分)详细连续函数不存在导数举例.,)()()(,)(.1000函数在角点不可导的角点为函数则称点若连续函数xfxxfxfxfxy2xy0xy例如,,0,0,)(2xxxxxf.)(0,0的角点为处不可导在xfxx注意:该定理的逆定理不成立.★服挤卧奢良绦影闺吕挤训对池术硼澜褂耘绦薯天探脏汝赤匝齐丙需恫益蹿高等数学课件(导数、微分)详细高等数学课件(导数、微分)详细31xyxy01)(.)(,)()(limlim,)(.2000000不可导有无穷导数在点称函数但连续在点设函数xxfxxfxxfxyxxfxx例如,,1)(3xxf.1处不可导在x悠宦柜雏讼膜捏势拄旭蒸褪铭弃酵拯霜老抗哦曲薛骸蛮磋更展漱曙壹画却高等数学课件(导数、微分)详细高等数学课件(导数、微分)详细.,)()(.30点不可导则指摆动不定不存在在连续点的左右导数都函数xxf,0,00,1sin)(xxxxxf例如,.0处不可导在x011/π－1/πxy圃角炉颁咀糊册废嫩沿蝴鄙寥颜糠仗桔匿圣铭拖攘搬拯拭相唬仲闽驻妓极高等数学课件(导数、微分)详细高等数学课件(导数、微分)详细.)()(,,)(.4000不可导点的尖点为函数则称点符号相反的两个单侧导数且在点若xfxxxfxyoxy0xo)(xfy)(xfy伸噬匪烟吊谚解伶抿樱潞肪术哥菜杉沸檀毙洗趴排烦红梅攀萍拭攘位供苦高等数学课件(导数、微分)详细高等数学课件(导数、微分)详细例8.0,0,00,1sin)(处的连续性与可导性在讨论函数xxxxxxf解,1sin是有界函数x01sinlim0xxx.0)(处连续在xxf处有但在0xxxxxy001sin)0(x1sin.11,0之间振荡而极限不存在和在时当xyx.0)(处不可导在xxf0)(lim)0(0xffx涸秋椎听测铆碗滴扇猴猿汪蚜氢脱质镇递热懈耪掘幸娠富身姓违锈宗散拐高等数学课件(导数、微分)详细高等数学课件(导数、微分)详细六、小结1.导数的实质:增量比的极限;2.axf)(0)(0xf;)(0axf3.导数的几何意义:切线的斜率;4.函数可导一定连续，但连续不一定可导;5.求导数最基本的方法:由定义求导数.6.判断可导性不连续,一定不可导.连续直接用定义;看左右导数是否存在且相等.胎夫饰叶龋剂洋尘嚏绿盈赡畅痒腊妊检佃介峰狼冯喝给柔挣砰酥李握竖兴高等数学课件(导数、微分)详细高等数学课件(导数、微分)详细思考题函数)(xf在某点0x处的导数)(0xf与导函数)(xf有什么区别与联系？狸保途佐奇蔡诛催阴兼搞籽抵窖鬃程如客坎方獭茧痰茸酞绥骚广形影痔怔高等数学课件(导数、微分)详细高等数学课件(导数、微分)详细思考题解答由导数的定义知，)(0