2004年高考数学广东卷(理科)-带答案

2004年高考数学广东卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分．(1)已知平面向量(3,1),(,3)abx，且ab，则xA．3B．1C．1D．3(2)已知2|21|3,60AxxBxxx，则ABA．[3,2)(1,2]B．(3,2](1,)C．(3,2][1,2)D．(,3](1,2](3)设函数2322,2()42,2xxfxxxxa在2x处连续，则aA．12B．14C．14D．13(4)12321211111limnnnnnnnn的值为A．1B．0C．12D．1(5)函数22()sin()sin()44fxxx是A．周期为的偶函数B．周期为的奇函数C．周期为2的偶函数D．周期为2的奇函数(6)一台X型号的自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0．8000，有四台这种型号的自动机床各自独立工作，则一小时内至多有2台机床需要工人照看的概率是A．0．1536B．0．1808C．0．5632D．0．9728(7)在棱长为1的正方体上，分别过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是学科网ZXXK]A．23B．67C．45D．56(8)若双曲线222(0)xykk的焦点到它相应的准线的距离是2，则kA．6B．8C．1D．4(9)当04x时，函数22cos()cossinsinxfxxxx的最小值是A．4B．12C．2D．14(10)变量,xy满足下列条件：212293623240,0xyxyxyxy则使得32zxy的值最小的(,)xy是A．(4.5,3)B．(3,6)C．(9,2)D．(6,4)(11)若()tan()4fxx，则A．(1)(0)(1)fffB．(0)(1)(1)fffC．(1)(0)(1)fffD．(0)(1)(1)fff(12)如右下图，定圆半径为a，圆心为(,)bc，则直线0axbyc与直线10xy的交点在学科网ZXXK]A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限二、填空题：共4小题，每题4分(13)某班委由4名男生和3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长．其中至少有一名女生当选的概率是．（用分数作答）(14)已知复数z与2(2)8zi均是纯虚数，则z．(15)由图(1)有关系''''PABPABSPAPBSPAPB，则由图(2)有关系'''PABCPABCVV．PABA'B'PABCA'C'B'(1)(2)(16)函数()ln(11),(0)fxxx的反函数1()fx．三、解答题：共6小题，74分(17)本小题12分已知角,,成公比为2的等比数列（[0,2]），sin,sin,sin也成等比数列，求,,的值．(18)本小题12分如右下图，在长方体1111ABCDABCD中，已知14,3,2ABADAA，,EF分别是线段,ABBC上的点，且1EBFB(I)求二面角1CEDC的正切值(II)求直线1EC与1FD所成角的余弦值ABDA1CB1D1C1EF(19)本小题12分设函数1()1,0fxxx(I)证明：当0ab且()()fafb时，1ab学_科_网Z_X_X_K](II)点00(,)Pxy（0x01）在曲线()yfx上，求曲线上在点P处的切线与x轴，y轴正向所围成的三角形面积的表达式．（用0x表示）(20)本小题12分某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4s，已知各观测点到中心的距离都是1020m，试确定该巨响的位置．（假定当时声音传播的速度为340/ms，各相关点均在同一平面上）(21)本小题12分设函数()ln()fxxxm，其中常数m为整数(I)当m为何值时，()0fx(II)定理：若函数()gx在[,]ab上连续，且()ga与()gb异号，则至少存在一点0(,)xab，使得0()0gx试用上述定理证明：当整数1m时，方程()0fx在2,mmemem内有两个实根(22)本小题14分Z.xx.k设直线l与椭圆2212516xy相交于,AB两点，l又与双曲线221xy相交于C、D两点，,CD三等分线段AB，求直线l的方程．参考答案一、选择题：题号123456789101112A卷BCBAADBCDBACB卷CACABDDAABDB二、填空题：（13）75（14）－2i(15)PCPBPAPCPBPA'''(16))(22Rxeexx三、解答题17．解：∵,,成公比为2的等比数列，∴2，4∵sin,sin,sin成等比数列∴2sinsinsin2sin4cos2cos1sinsinsinsin2即22coscos10解得cos1，或1cos2当cos1时，sin0,与等比数列的首项不为零，故cos1应舍去，当1cos,[0,2]2时，23或43，所以248,,333或4816,,333．18．解：（I）以A为原点，1,,ABADAA分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系，则有(0,3,0)D、1(0,3,2)D、(3,0,0)E、(4,1,0)F、1(4,3,2)C于是，11(3,3,0),(1,3,2),(4,2,2)DEECFD设向量(,,)nxyz与平面C1DE垂直，则有133013202nDExyxyzxyznEC(,,)(1,1,2)222zzznz，其中0z取0(1,1,2)n，则0n是一个与平面1CDE垂直的向量向量1(0,0,2)AA与平面CDE垂直0n与1AA所成的角为二面角1CDEC的平面角01011010226cos3||||1140042tan2nAAnAA学+科+（II）设EC1与FD1所成角为β，则11222222111(4)322221cos14||||132(4)22ECFDECFD19．证明：（I）11,(0,1]1()|1|11,(1,)xxfxxxx故()fx在（0，1]上是减函数，而在（1，+∞）上是增函数，由0ab且()()fafb得0a1b和1111ab，即11222abababab故1ab，即1ab（II）0x1时，10,1)(,11|11|)(0200'xxfxxxfyx曲线()yfx在点00(,)Pxy处的切线方程为：00201()yyxxx，即02002xxyxx∴切线与x轴、y轴正向的交点为00((2),0)xx和001(0,(2)xx故所求三角形面积听表达式为：2000000)2(21)2(1)2(21)(xxxxxxA20．解：如图，yxoABCP以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系．设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）设(,)Pxy为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|－|PA|=340×4=1360由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线22221xyab上，依题意得a=680,c=1020，22222210206805340bca故双曲线方程为222216805340xy用y=－x代入上式，得5680x，∵|PB||PA|,6805,6805xy，即(6805,6805)P，故68010PO答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心m10680处．21．（I）解：函数()ln()fxxxm,(,)xm连续，且'1()1fxxm，令'()0fx，得1xm当(,1)xmm时,()0fx,()fx为减函数,()(1)fxfm当(1,)xm时,()0fx,()fx为增函数,()(1)fxfm根据函数极值判别方法，(1)1fmm为极小值，而且对(,)xm都有()(1)1fxfmm故当整数m≤1时，f(x)≥1-m≥0(II)证明：由（I）知，当整数m1时，f(1-m)=1-m0,函数()ln()fxxxm,在]1,[mmem上为连续减函数．()ln()0mmmmfemememme当整数1m时，()mfem与(1)fm异号；由所给定理知，存在唯一的1(,1)mxemm，使1()0fx而当整数m1时，2222(21)()3(11)312302mmmmmfememmmm（1211mm，上述不等式也可用数学归纳法证明）类似地，当整数m1时，函数()ln()fxxxm,在],1[memm上为连续增函数且f(1-m)与)(2mefm异号，由所给定理知，存在唯一的2[1,]mxmem，使2()0fx故当m1时，方程f(x)=0在],[2mememm内有两个实根．22．解：首先讨论l不与x轴垂直时的情况，设直线l的方程为y=kx+b，如图所示，l与椭圆、双曲线的交点为：),(),,(),,(),,(44332211yxDyxCyxByxAyxolABCD依题意有,3ACDBABCD，由2212516ykxbxy得222(1625)2(25400)0kxbkxb……（1）122501625bkxxk由221ykxbxy得222(1)2(1)0kxbkxb……（2）若1k，则与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故1k24312kbkxx由31241234ACDBxxxxxxxx225020016251bkbkbkkkk或0b(i)当0k时，由(1)得21,25164xb，由(2)得23,41xb由214333()ABCDxxxx，即2210161661413bbb故l的方程为1316y(ii)当b=0时，由(1)得1,22201625xk，由(2)得3,4211xk由214333()ABCDxxxx即22406162516251kkk故l的方程为xy2516再讨论l与x轴垂直的情况．设直线l的方程为x=c,分别代入椭圆和双曲线方程可解得，221,23,4425,15ycyc由2143||3||||3||ABCDyyyy即2282524125615241ccc故l的方程为25241241x综上所述，故l的方程为1316y、xy2516和24124125x