用Fox_Li数值迭代法求解激光谐振腔的自再现模

用Fox_Li数值迭代法求解激光谐振腔的自再现模摘要：谐振腔内的模式计算是分析激光器输出光束质量的前提和基础。本文在matlab环境下，采用Fox_Li数值迭代法计算了条形腔、矩形腔、圆形腔、倾斜腔的自再现模的振幅分布和相位分布，并比较了腔形、菲涅尔数、初始光强分布、倾斜扰动等因素对最终模式的影响，具有一定的实际应用价值。关键字：激光；谐振腔；Fox—Li迭代法；自再现模1、原理说明谐振腔是激光器必备条件之一，它使激光反复通过增益物质，从而实现光的自激振荡。在激光的发展史上最早提出的是平行平面腔，又称为F—P腔，它由两块平行平面反射镜组成，第一台红宝石激光器的谐振腔就是用它来做成的。对于开放式光腔，镜面上稳态场分布的形成可以看成是光在两个界面间往返传播的结果。因此，两个界面上的场必然是互相关联的：一个镜面上的场可以视为由另一个镜面上的场所产生，于是求解镜面上稳态场的分布问题就归结为求解一个积分方程。考虑在开腔中往返传播的一列波。设初始时刻在镜I上有某一个场分布1u，则当波在腔中经第一次渡越而到达镜II时，将在镜II上形成一个新的场分布2u，场2u经第二次渡越后又将在镜I上形成一个新的场分布3u。每次渡越时，波都将因为衍射损失一部分能量，并引起能量分布变化，如此重复下去……由于衍射主要是发生在镜的边缘附近，因此在传播过程中，镜边缘附近的场将衰落得更快，经多次衍射后所形成的场分布，其边缘振幅往往都很小（与中心处比较），具有这种特征的场分布受衍射的影响也将比较小。可以预期：在经过足够多次渡越之后，能形成这样一种稳态场：分布不再受衍射的影响，在腔内往返一次后能够“再现”出发时的场分布，即实现了模的“自再现”，具体过程图1所示：图1开腔中自再现模的形成光学中的惠更斯—菲涅尔原理是从理论上分析衍射问题的基础，该原理的严格数学表示是菲涅尔—基尔霍夫衍射积分。设已知空间任意曲面S上光波场地振幅和相位分布函数为),(yxu,由它所要考察的空间任一点P处场分布为),(yxu，二者之间有以下关系式：SikdSeyxuikyxu')cos1()','(4),(式中，为),(yx与),(yx连线的长度，θ为S面上点),(yx处的法线和上述连线之间的夹角，sd为S面上的面积元，k为波矢的模。本文采用Fox—Li数值迭代法实现了条形腔、矩形腔、圆形腔、倾斜腔的自再现模的形成。2、实现方案每一种腔形的自再现模的计算流程如图2所示选择腔形初始分布离散处理由衍射积分式迭代达到迭代次数或者满足判据归一化结束显示是否图2总体流程图2.1条形腔条形腔是一种理想模型，即一个方向有限长，而另一个方向上无限延伸的腔形，故只在长度有限的那个方向上发生衍射现象，迭代公式为一维的菲涅尔—基尔霍夫衍射积分：aaLxxikikLxdxueeLixu)()(2)(2将条形腔的左镜面S上沿着)(aa，之间划分N-1等分，则有N个点，每个区间为)1/(2Na。右边镜面P上每一点的求解都需将左边镜面上的点逐点计算一遍并相加，如此循环迭代下去，最终会达到稳态分布。2.2矩形腔在矩形腔中，),(yx与),(yx连线的长度可以表示为222)()(Lyyxx，经过计算与推导可知：矩形腔的计算不需考虑整个面上的点的影响，可以按照x、y两个方向分离变量为)()(),(yuxuyxu，其中)()(yuxu、的计算与条形腔相同，在此不再赘述。2.3圆形腔圆形腔的迭代思想与矩形腔相同，只是划分与矩形腔不同。圆形腔是按照径向和角向划分，在极坐标),(r下完成数值迭代，但在最后显示的时候，需要将极坐标还原成笛卡尔坐标系。2.4倾斜腔严格的平行平面腔只是一种理想情况，实际情况下出现一定的不平行性是不可避免的，这里主要考察倾斜条形腔对自再现模的影响，如图3所示：图3倾斜平行平面腔的示意图两个镜面相对其理想位置(即两镜面与其公共轴线严格垂直的位置)沿相反方向偏离同样大小的微小角度β,在镜的边缘处与理想位置的偏离线度δ。在δ甚小的情况下,且只考虑腔的旁轴光线,镜面上两点的距离M1′M2′与理想情况下相应两点的距离M1M2之差为:)()(2121xxaxxMMMMI，故)(2121xxaMMMM，于是衍射积分方程变为：aaxxaikLxxikikLxdxueeeLixu)()()(2)(2，类似于条形腔，可以计算出倾斜条形腔的自再现模。3、实验结果与分析3.1激光谐振腔模式的各种分析方法的比较一般来说有Fox-Li迭代算法、矩阵特征向量法。Fox-Li迭代算法原理简单，在计算低阶模方面一般是有效的，然而由于多次迭代会使高阶模损耗掉，在计算高阶模时会很麻烦，也不能明确指出优先起振（衍射损耗小）的模式分布。此外，经过多次迭代会将误差逐次累积放大，因此对单元的划分要求比较高。同时，多次迭代的过程会耗费大量的时间，尤其是当菲涅尔数比较大的时候，衍射损耗很小，需要更多的迭代次数才能使结果收敛。此外，Fox—Li方法不能求解谐振腔的简并高阶自再现模，无法解释诸如TEM01模等的旋转简并模式。矩阵特征向量法即利用光线的传输矩阵来计算。它的优势在于，可以同时求解高阶本征模式和它们的衍射损耗，计算方便，节约计算时间。同时，特征向量法的计算误差较小，在计算非F—P腔（如对称共焦腔、平凸腔）时相比Fox-Li迭代算法有无法比拟的优势。但是它需要很高的内存配置，否则计算速度也很难提高。3.2菲涅尔数对结果的影响对于条形腔，菲涅尔数F定义为：LaF/2。F表征了衍射损耗的大小，菲涅尔数越大，衍射损耗越小。当谐振腔的菲涅尔数较大时，低阶模式和高阶模式的衍射损耗非常接近，以至于高阶模在有限的迭代次数下不能有效地消除；而谐振腔的菲涅耳数比较小时，高阶模具有更高的颜色损耗，从而更能有效地抑制高阶模振荡。这是因为高阶模比低阶模有更大的模尺寸，小的菲涅耳数限制了高阶模的有效尺寸，从而使高阶模具有高的衍射损耗。图4为不同菲涅尔数时，自再现模的振幅分布和相位分布的比较。F=6.25F=2.5F=0.5图4不同菲涅尔数下模的稳态分布从图中可以看出，对于大菲涅尔数腔而言,振幅分布在镜边缘处的值很小,相位分布在镜中心区域可近似看成平面波分布；菲涅尔数越小,场分布曲线上的起伏越小,曲线越趋于平滑，振幅分布曲线越接近于标准高斯分布,相位分布曲线则越接近于球面波分布。由于平行平面腔的基模振幅分布就是高斯分布，相位分布越接近于球面波分布，故可以得出结论：在小菲涅尔数情况下，高阶模的损耗比基模大得多。同理，对于矩形腔和圆形腔，在菲涅尔数越小时，基模效应越强，振幅分布越接近于高斯分布，在此不再赘述。3.3腔镜的倾斜扰动对最终模式的影响实际上的谐振腔很难做到完全平行，而是有一定的倾斜量。图5为在不同的偏离线度δ下，自再现模的振幅分布和相位分布。100/200/400/图5不同倾斜扰动下模的稳态分布在计算的过程中发现，当50/时就很难达到稳态分布（本实验中，稳态分布的判据是：归一化后，前后两次对应点的差值均小于0.0001），100/、200/、400/到达稳态分布的迭代次数分别为945、426、305，可见倾斜线度越大，越难达到稳态分布。从图5中可以看出，镜面倾斜破坏了场分布的对称性振幅分布整体向右偏移，相位分布在镜边缘处出现严重畸变；当扰动越小时，结果越接近与平行平面腔的振幅和相位分布（400/）。由此可知，在实际应用中，一定要调节使得谐振腔的镜面相互平行，否则不能产生稳定、光束质量好的激光。3.4圆镜腔与矩形腔的迭代输出结果的比较在菲涅尔数F=2.5的情况下，圆形腔与矩形腔的迭代结果如图6所示。圆形腔矩形腔（方形）矩形腔（长宽比4：1）图6圆形腔与矩形腔的对比从图6中可以看出，腔镜的形状决定了自再现模的分布情况。在腔镜中心附近，这两种腔的稳态分布都接近于平面波，且矩形腔的分布范围更大一些，这是由于矩形腔的衍射损耗更大一些，更易达到稳态分布；圆形镜的横模形状为圆形分布，方形镜的横模分布为“十字架”形状，而有一定长宽比的矩形镜的横模分布为长条状，当长宽比趋于无穷时，分布便趋近于条形腔了。因此在实际应用中，若要改变光束的横模分布或者控制光束质量，可以采用改变腔镜形状的方法。3.5不同初始场分布的改变对自再现模的影响在前面的讨论中，所有光场的初始分布均采用平行分布（即腔镜上每一点的初始振幅、相位均相等）。图7中展示了初始随机分布和平行分布的比较，上面三幅图依次为初始随机分布迭代0次、2次和稳态的振幅分布，下面三幅图依次为初始平行分布迭代0次、2次和稳态时的振幅分布。上下比较可知，在只经过2次迭代之后，二者的振幅分布就已经很接近了，因此最终的稳态分布也是一样的，条形腔、圆形腔的结果也是如此。由此可以知道，激光谐振腔的自再现模的分布与光场的初始分布无关，只与腔的结构有关，这也解释了激光的起振过程：初始光为由自发辐射产生的非相干光（相当于随机分布），在经过无数次来回传播之后，形成特定的模场分布，即相干光。初始分布N=2稳态分布图7初始分布对自再现模的影响3.6谐振腔各种参数的改变对迭代结果的影响对于条形腔，主要参数为腔长L、波长λ、腔镜长度a。这三个参数的改变会引起菲涅尔数的变化，可见3.2中的解释，现在讨论在不改变菲涅尔数时，对迭代结果的影响，取菲涅尔数F=6.25，如图8所示。4,5La400,50La4000000,5000La图8谐振腔参数的改变对迭代结果的影响从图8中可以看出，只要菲涅尔数不变，改变L与a的相对大小对迭代结果几乎没有影响，可以这样解释：Fox_Li数值迭代法的原理是衍射积分法，而菲涅尔数刚好衡量了衍射的情况，故在菲涅尔数不变的情况下，改变谐振腔的参数，迭代的最终结果仍然保持不变。3.7其他情况对迭代结果的影响其他还有很多因素对迭代结果有较大影响，比如划分点的个数、收敛判据的考虑等等。对于划分点数，当然是越多越精确，最终误差积累的越少，但是点数太多会降低运算速度，圆形腔的时候最明显，因此要选取适当的点数，兼顾精度与效率：对于条形腔，经过试验发现，当划分点数大于30时，就能够得到比较令人满意的迭代结果。本实验的收敛判据是：归一化后，前后两次对应点的差值均小于0.0001；当然这个值可以取的小一些，减少迭代次数，也可以大一些，将稳定性条件设置的更加严格，试验证实，0.0001的判据比较合理。4、设计体会本课程设计的收获主要有两点：一是实现了matlab软件入门，弄清楚了以前在使用过程中未解决的问题，为以后进一步提高打下了坚实的基础；二是更深入理解了激光谐振腔在激光器中的地位和作用，巩固了课本上的知识。当然，在设计的过程中也遇到过很多问题，比如在C环境和matlab环境的徘徊选择，matlab软件突然崩溃的状况……但经过同学的帮助和自己的努力，最终成功地完成了设计任务。唯一遗憾的是，由于时间问题，没有完成多种腔形如平凸腔、双凹腔、共焦腔的自再现模的求解，只完成了F-P腔的运算，不能得到更多的结论。对于这门课程，我有一个小小的建议：最终的提交还是采用打印版最好，这样可以随时修改，而且视觉效果也更好。5、参考文献[1]周炳琨.激光原理(第六版)[M].北京:国防工业出版社,2009.[2]姜丽丽，张翔.用Fox_Li数值迭代法求解F-P型激光谐振腔的本征模式[J].成都信息工程学院学报,2007，22（8）：124—128.