第十五章 效用理论

效用理论简介第一节效用的概念第二节偏爱结构和效用函数第三节效用函数的构造方法第四节效用决策模式从一般定性分析看，效用是人们的价值观念在决策活动中的综合表现，它综合地表明决策者对风险所持有的态度。从定量分析，效用就是对人们的价值观所出现的后果赋以“数值”。例：假设有两个投资方案供选择：方案A：投资100万元，有50%的把握获利50万元，但也有50%的可能亏损20万元。方案B：投资100万元，有100%的把握盈利10万元。这两个方案哪一个更优呢？不同决策者的标准不一。如按期望决策准则，则有EA=100×50%-20×50%=40（万元）EB=10×100%=10（万元）效用，就是决策者对决策后果的一种感受、反应或倾向，是决策者的价值观和偏好在决策活动中的综合反映。在经济学领域里，效用是指人们在消费一种商品或劳务时所获得的一种满足程度。定义1，设C为后果集，u为C的实值函数，若对所有的当且仅当u（c1）≥u（c2），则称u（C）为效用函数。用记号P=（p1，c1；…；pi，ci；…；pn，cn）表示后果ci以概率pi出现（i=1，2，…，n），并称P为展望，即可能的前景。所有展望集记作Q。展望集Q上的效用函数定义如下：,,,2121ccCcc定义2，在Q上的实值函数，如果①对所有,当且仅当u(p1)≥u(p2)；②它在Q上是线性的，即如果，我们就称u为P上的效用函数。1111,0(1,2,,)1,()()miiimmiiiiiipPimupup有2121,,ppQpp有效用测定简法效用的大小可用概率的形式来表示，效用值介于0、1之间，即0≤效用值≤1。效用的测定方法最常用的是冯·诺意曼和摩金斯顿于1944年共同提出的，称之为标准测定法。设某家电公司经营彩电、冰箱和空调等家用电器，售后服务实行三包，并配备了普通维修工和高级维修技师。普通维修工只能排除轻微故障，高级维修技师则可排除一切故障。根据历史统计资料，发生轻微故障的概率为0.6，发生严重故障的概率为0.4。现接到用户电话通知，电视机出现了故障，但未知是何种故障，若派人去修，就可能发生下述四种情况之一：1、电器出现的是轻微故障，派去的是普通维修工，很快修好，用户满意，所花代价小。2、出现的是严重的故障，派去的是高级维修技师，很快修好，用户十分满意，在用户中赢得了信誉，公司认为效用最大。由上表可知，派高级维修师去的期望效用最大。效用值严重故障概率0.4轻微故障概率0.6期望效用值普通维修工00.80.48=(0×0.4+0.8×0.6)高级维修师10.50.70=(1×0.4+0.5×0.6)3、出现的是轻微故障，但派去的是高级维修技师，很快修好，用户满意，但代价较高，公司认为浪费了人力。4、出现的是严重故障，派去的是普通维修工，修不好，只换高级维修技师，虽然修好了，但用户不满意，影响了公司的信誉，公司认为代价最高，效用最小。假定某人的收益在0元到100元之间，我们要测定这一范围内的货币效用。测定步骤是：1、选定标尺，u（100）=1，u（0）=02、确定中间点的效用值记“收益a元的方案”为a，0a100。我们来定u（a）。对决策者愈有利的方案，效用值愈大。u（a）应该满足0u（a）1。可见，效用值是介于0与1之间的数。现在以a=50为例，从确定u（50）=？的过程来介绍中间点效用值确定的方法。我们可以向决策者提出第一个问题：“有两种方案，a1和a2，方案a1能有0.5的概率获0元收益和0.5的概率获100元收益，方案a2有1的概率获50元收益，请问你喜欢哪一种方案？”如果他选方案a2。我们再提出第二个问题：把前一个问题中方案a1改变为0.2的概率获0元收益，0.8的概率获100元收益，方案a2不变，决策者怎样选择？如果他选择方案a1。我们再适当升高方案a1取得0元的概率，降低获100元概率，继续提问下去，直到他认为采取方案a1与采取方案a2对他来说是同样时为止。此时，方案a1与a2在决策者心目中的地位平等，即称为等效方案（行为）。设这时的方案a1获0元收益的概率为0.3，获100元收益的概率为0.7，则在决策者看来，方案a1与a2效用相等。我们有：0.3u（0）+0.7u（100）=u（50）把u（0）=0，u（100）=1代入上式，得：0.3×0+0.7×1=u（50）即，u（50）=0.7向决策者提出上面问题时，也可以表示为任意两个货币数值，只要它们的效用已经得出，并且欲测点介于它们之间。如得出u（50）=0.7后，要测定a=65时，u（65）=？，作法可以如下：“方案a1以概率p获100元收益，以概率1-p获50元收益；以概率1获65元收益。请问p为何值时，方案a1与a2等效？”假设决策者的回答是p=0.3，这时，我们有0.7u（50）+0.3u（100）=u（65）将u（50）=0.7，u（100）=1代入上式，得0.7×0.7+0.3×1=u（65）即u（65）=0.79如果知道了货币效用值，可否测出货币值呢？回答应该是肯定的。比如货币的效用值为0.5，我们来测出相应的货币值是多少。可以先进行如下提问：“现有两个方案a1和a2，方案a1能有0.5的概率获0元收益和0.5的概率获100元收益；方案a2能有1的概率获得40元收益，请问你喜欢哪一种方案？”如果他选方案a2，则把40元逐渐减少，一直到某一数目，比如说为30元时，决策者认为方案a1和a2是等效行为，则有u（30）=0.5u（0）+0.5u（100）=0.5×0+0.5×1=0.5当然，我们可以调整数值后继续提问。这样，我们可以得出任一收益值介于0~100元之间的效用值。假定决策者有一幸运机会，可自由选择两种收入方案之一。方案A：以50%的概率可得到300元，50%的概率得到0元。方案B：稳拿50元。下面对决策者进行问答，以测定决策者对不同方案的反应。（1）问：你认为方案B比方案A稳妥吗？答：是。（2）将方案A改为以0.7的概率得300元，以0.3的概率得0元，方案B不变。问：你还愿意选方案B吗？答：愿意。（3）再将方案A改为以0.8的概率得300元，0.2的概率得0元，方案B不变。问：你愿意选择A，还是选择B呢？答：无所谓。（4）方案A：以0.5的概率得50元，0.5的概率得300元。方案B：稳得100元。问决策者：你作何种选择？答：选B。（5）将方案A改为以0.4的概率得50元，0.6的概率得300元，方案B不变，再问决策者。问：你是选方案A，还是选方案B呢？答：是B。（6）继续修改方案A，将A改为以0.3的概率得50元，以0.7的概率得300元，方案B不变，再问决策者。问：你还愿意选B吗？答：选B选A都一样。（7）方案A：以0.5的概率得0元，以0.5的概率得50元。方案B：稳拿20元。问决策者：你愿选A还是B呢？答：选B。（8）将方案A改为以0.3的概率得0元，0.7的概率得50元，方案B不变，再对决策者测试。问：你认为是A优于B呢，还是B优于A呢？答：两者都可以。对于其他点的效用值，可以继续使用上述心理试验问答的方法求出。至此，我们已得到5个点的效用值：u（0）=0，u（20）=0.56，u（50）=0.8，u（100）=0.94，u（300）=1，将这些点用线连接起来，并把它光滑化，即得到这位决策者的效用曲线。决策者的效用曲线O2050100200300损益值（元）u效用值1.00.80.60.40.2第二节偏爱结构和效用函数ABCDhCOu(c)3.00.5不同类型的效用函数曲线效用函数类型1、直线型效用函数2、保守型效用函数3、冒险型效用函数4、渴望型效用函数决策人的个性和价值观等就是偏爱。偏爱的构成即偏爱结构。第三节效用函数的构造方法第一种简便办法只运用于保守型效用曲线。根据是边际效用递减的原理。边际效用就相当于效用函数的一阶导数。如果决策者对于货币的效用也存在边际效用递减的心理，那么我们可以假定货币额的边际效用同货币数额成反比。则应有：bxadxxdu)(即u（x）=c+aln（x+b）假定决策者的最小收益（或最大损失）值为x0，效用值为u（x0）=0，最大收益（或最小损失值）为xm，效用值为u（xm）=1，又通过对决策者进行一次标准测定法的提问，求得效用值为0.5所对应的收益（或损失）值为x´，则形成如下方程组：)ln(0)ln(5.0)ln(10bxacbxacbxacmbxbxabxbxam0ln5.0ln5.0以本章第一节的例子来进行计算，此例中x0=0，xm=100，效用值为0.5所对应的货币值通过一次提问求得，x´=30，故得：故效用函数的表达式就是：u（x）=-1.8307+0.588ln（x+22.5）30x8307.11135.3588.0)5.220ln(588.0588.085.05.05.2205.2230ln5.05.224090030210000100302-´--´-´-cabxxxxxxbmm--2002第二种简便方法可适用于保守型和冒险型效用曲线，它的根据是决策者效用一致性原理。ρ值可以表述决策者对风险的态度：当ρ1，表示决策者持稳妥的态度，不大愿意冒险，此时的效用曲线可能呈保守型。当ρ1，表示决策者乐于冒险，此时效用曲线倾向于冒险型0xxxxm--abiaiibxxxxxxx--111)(得以本章第一节例子为例，其ρ值为：我们可以从xa=0，u（0）=0和xb=30，u（30）=0.5的一段来求出效用值为0.25所对应的货币额，即：3703030100--7.0113.01111373737907.0303.0|25.0uix7.207.093.0|125.0uix51307.01003.0|75.0uix效用决策模式某公司准备引进某新设备进行生产，这种新设备具有一定的先进性，但该公司尚未试用过，预测应用时成功的概率为0.8，失败的概率为0.2。现有三种方案可供选择：方案I，应用老设备，可稳获4万元收益；方案II，先在某一车间试用新设备，如果成功，可获7万元收益，如果失败则将亏损2万元；方案III，全面推广使用新设备，如果成功，可获12万元收益，如果失败则亏损10万元，试问该公司应采取哪种方案？以损益值为标准的决策树|231成功（0.8）失败（0.2）成功（0.8）失败（0.2）4万元7万元-2万元12万元-10万元4万元5.2万元7.6万元方案II解：（1）如果采用货币期望值标准，可画出决策树如下图：方案I的损益值为4（万元）方案II的损益值为：7×0.8+（-2）×0.2=5.2（万元）方案III的损益值为12×0.8+（-10）×0.2=7.6（万元）效用曲线（2）求决策者的效用曲线。规定最大收益（12万元）时，效用值为1，亏损最大（-10万元）时，效用值为0，用标准测定法向决策者提出一系列问题，找出对应于若干损益值的效用值，即可绘制出该决策者对此决策的效用曲线，如下图所示。在所得曲线上可找到对应于各益损值的效用值。由此可见，以效用值作为决策标准，应选方案I。-10-8-6-4-2024681012效用值货币值1.0以效用为标准的决策树|231成功（0.8）失败（0.2）成功（0.8）失败（0.2）0.940.980.71.000.940.9240.8方案II某公司准备经营某类商品，拟订了三种经营方案，未来市场有畅销、平销和滞销三种可能，市场状态和各方案的损益值如下表所示。试用效用准则求出最优方案。经营方案市场状态损益值畅销概率0.3平销概率0.5滞销概率0.2A126-10B83-2C444解：（1）根据决策者的价值观和对风险所持态度，画出决策者的效用曲线。此三个方案中，收益最大的