第四讲 信息扩散的风险评价方法

1第四讲信息扩散的风险评价方法3.1风险系统中的不完备信息3.2信息扩散原理3.3线性信息分配3.4正态信息扩散3.5信息矩阵致灾因子强度m灾害预测曲线风险自然灾害风险评估示意图灾害预测曲线致灾因子密度分布概率密度值p灾害程度值d自然灾害风险评估示意图风险系统由三部分来描述：1.密度分布p(m)2.灾害曲线d(m)3.风险值r(p(m),d(m))是否有足够的信息来确定它们？3大多数风险系统是模糊系统风险系统不易锁定洪水风险系统中的许多社会因素不易锁定，地震风险系统中建筑物施工质量不易锁定风险系统内部的因果机理不清台风如何导致标的毁坏人们对风险系统观测得到信息不全1.粗糙：报纸报道多用语言描述（严重破坏）2.缺损：一些重要参数没有记录（有震级，中烈度，无震源深度）3.记录错误：有意无意的错误（被毁自行车价值10000元？）4.小样本：30个以下的数据（5-15年内的洪水资料价值较高。受人类活动的影响，更长年份的数年与现在的数据之间有很大的系统误差。43.1风险系统中的不完备信息3.2信息扩散原理3.3线性信息分配3.4正态信息扩散3.5信息矩阵5风险分析中的小样本问题统计方法常常被用于处理涉及样本观察的工程问题。例如：用线性回归法，我们就可以得到震中烈度I和震级M之间的关系，即线性关系I=aM+b式中a和b是常数，它们可以用一个地震区域的地震观察记录计算出来。6一个统计结果是否有效，一般来说取决于两个条件：假设公式和给定样本的大小。如果假设公式正确，而且样本很大，那么相应的统计结果就是有效的；否则将是无效的。7在研究一个复杂的非线性关系的时候，要找到一个合理的假设公式是很困难的。例不可能找到一个假设公式来表示关于烈度I的震害面积S和震级M之间的关系。8总的来说，如果所给的样本较大（样本点超过30个），而且假设正确，那么人们就可以得到一个较好的统计结果。样本越大，统计结果越精确。但是，在许多情况下，很难找到正确的假设和足够大的样本。例地震工程地震构造其结构是非线性的破坏性地震的发生概率很小很难发现破坏性地震的规律9假设X是这样一个样本，它将被用来支持一个数学模型以发现某种因素间的关系。如果X很小，那么依据它用传统概率统计方法找到的关系将是无效的，这就称为小样本问题。在参数统计理论中，当一个样本很小时，估计参数和总体参数之间的误差就会很大。这也称为小样本问题。10•区间估计法？•贝叶斯方法？•信息扩散技术!如何处理小样本问题？11信息扩散的定义1201x监控空间V扩散函数μ13扩散函数守恒的性质μ是守恒的，当且仅当，其在论域U上的积分值是1，即：如果随机变量的定义域U是离散的，假设U={u1,u2,..,um}，则守恒条件是1401V图形所围成的面积为115扩散估计令X是一个可以用算子(模型)估计关系R的给定样本。如果估计是用FSD(X)得到（FS代表模糊样本），则此估计称为R的扩散估计(DiffusionEstimate),表示为其中μ(xi,u)是X在U上的扩散函数16令X={x1,x2,…,xn}是用来估计论域U上关系R的一个给定样本。假设γ是一个合理的算子，χ(xi,u)是相伴特征函数，所得非扩散估计是：信息扩散原理当且仅当X不完备时，一定存在一个合理的扩散函数μ(xi,u)和一个相应算子γ’，用μ(xi,u)取代χ(xi,u)，γ’调整γ，所得扩散估计使得其中||.||表示估计关系和真实关系间的误差。17信息扩散原理令X是一个给定的样本，假定用它可以估计一个在论域U上的关系。当且仅当X不完备时，必定存在一个适当的扩散函数和相应的算子，使得扩散估计比非扩散估计更靠近真实关系。简单文字表述:185.3.2信息扩散原理193.1风险系统中的不完备信息3.2信息扩散原理3.3线性信息分配3.4正态信息扩散3.5信息矩阵信息分配定义令是一个给定样本，是它的一个离散论域，是从到[0,1]的一个映射，即：如果满足以下3个条件，则称为X在U上的信息分配。2nnXx,x,x12mUu,uu21信息分配定义里的uj,j=1,2,…,m称作控制点(ControllingPoint)；μ称作X在U上的分配函数(DistributionFunction)。我们说，样本点xi分配给控制点uj量值为qij=μ(xi,uj)的信息。qij称作“样本点xi给控制点uj的分配信息”(DistributedInformation)。U也称作控制点空间(SpaceofControllingPoints)。信息分配能在选定的控制点空间上展示一个样本的信息结构。23令112njijiQq,j,m样本X提供总量为Qj的信息给控制点uj.Qj也称作控制点uj获得的信息总量.称作X在U上的原始信息分布.12mQQ,Q,Q一维线性信息分配令X={x1,x2,…,xn}是一个一维随机样本，即：XR。令U={u1,u2,…,um}是步长为uj-uj-1(j=2,3,…,m)的选定控制点空间。对于任何xX和uU，下式称作一维线性信息分配线性分配μ是自反、递减、守恒的。25地震数据对于如下地震数据我们采用直方图和信息分配进行分析例如果直方图的区间划分过大，则不会从给定样本中得到任何信息。事实上,区间划分越大，我们的得到的概率分布估计就越粗糙。那么反过来，区间划分过小，又会发生什么呢？我们将震级论域划分为6个区间我们得到了如下图所示的直方图。这个直方图有两个波峰(I2,I4)和一个波谷(I3)。这个划分较小的直方图同样也不能显示任何统计规律。在传统直方图模型中，落入同一个区间的样本点，被看成是一样的，它们可能的差别被忽视。这种可能的差别是，落入同一个区间的样本点占据的位置可能不同。试验中一个小的扰动，就可能使得处于区间边缘的样本点从一个区间移到另一个区间，这种显示位置的信息称作过渡信息。(TransitionInformation)。由于小样本提供的是模糊性(HuangandShi,2002)，我们也称它为模糊过渡信息。(FuzzyTransitionInformation)。假设我们构造了一个传统频率直方图，划分为m个宽h的区间I1,I2,,Im。设uj是Ij的中点。选定步长=h的控制点空间U={u1,u2,…,um}。令依此在传统频率直方图区间上绘制的直方图称作X的软频率直方图(SoftFrequencyHistogram)。X已由上表给出，n=24，m=6，=h=(7.4-5.4)/6=0.3，相应的控制点是利用线性分配公式，我们得到全部的分配信息qij。313233X在U上的原始信息分布是：我们得到一个软频率直方图如下图所示。令X={x1,x2,…,xn}是从概率密度函数为p(x)的总体中得到的一个样本。给出区间长度均为的m个区间I1,I2,…,Im，使X能落入这些区间覆盖的范围内。取区间Ij中心点uj为控制点。如果信息分配量是由线性分配计算，则，称作p(x)的软直方图估计(SoftHistogramEstimate)，简称为p(x)的SHE。353.1风险系统中的不完备信息3.2信息扩散原理3.3线性信息分配3.4正态信息扩散3.5信息矩阵yzxe’eSdx扩散方向体积元的长度横截面积分子流入密度分子流出密度（Ψ是分子浓度函数，Ψ－psi）分子扩散方程37用正态扩散去估计一个概率密度函数，把看作，整理可得：是关于样本总体p(x)的正态扩散估计(NormalDiffusionEstimate)，h称为正态扩散的窗宽。)(nixx)(y39求简单系数的公式这里平均距离模型403.1风险系统中的不完备信息3.2信息扩散原理3.3线性信息分配3.4正态信息扩散3.5信息矩阵41设X是一给定样本，含有n个样本点，每个样本点有两个分量，分别是输入值x和输出值y。该样本记为：X={(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)}假设U和V分别是输入和输出论域，它们的卡氏积是令：quv(xi,yi)称为卡氏积的点(u,v)从观察值(xi,yi)得来的降落信息降落信息43降落信息44信息矩阵令我们说，X赋给了卡氏积点(u,v)量值为Quv的信息增量。45当U和V是离散论域时，例如U={u1,u2,…,ut},V={v1,v2,…,vl}.则qujvk(xi,yi)简写成qjk(xi,yi),Qujvk简写成Qjk在这种情况下，我们可以用一个矩阵来显示X赋给所有卡氏积点的信息增量，这个矩阵称为X在UΧV上的信息矩阵，用Q表示。46简单信息矩阵模型的力学过程47称为X在UΧV上的简单信息矩阵。48分明区间上信息矩阵模型的力学过程分明区间上的信息矩阵新的卡氏积:UUΧV={(Uj,Vk)|j=1,2,…,t;k=1,2,…,l}当U,VR时，我们知道(Uj,Vk)是R2中的一个盒子。一般来说，我们把(Uj,Vk)看作卡氏积UUΧV中的一个点。50特征降落公式:51令X给卡氏积上的点(Uj,Vk)一个高度为Ejk的凸起5.1.3分明区间上的信息矩阵52称为X在UΧV上的分明区间信息矩阵5.1.3分明区间上的信息矩阵53模糊区间上的信息矩阵54构造信息矩阵一个对称的三角模糊数I(x0,△)可近似看作“x0周围”的模糊概念。它的边界是模糊的。把它变成一些模糊区间，我们就可以构造一个高质量的信息矩阵。模糊区间上的信息矩阵55设uj为区间Uj的中心点。用uj表示一个模糊区间的中心数，hx(Uj的宽度)表示模糊度，就可以得到一个输入论域内的模糊区间：.,0,,1)(xjxjxjAhuuhuuhuuuj5.1.4模糊区间上的信息矩阵56对于Vk，我们同样可以在输出论域内得到一个模糊区间，如下.,0,,1)(yjyjyjBhvvhvvhvvvk5.1.4模糊区间上的信息矩阵57软卡氏空间我们把所谓的软卡氏空间(SoftCartesianSpace)定义为:输入论域上的模糊集输出论域上的模糊集5.1.4模糊区间上的信息矩阵58模糊区间上的信息矩阵的力学过程过程演示