平面向量中的三角形四心问题

1平面向量中的三角形四心问题向量是高中数学中引入的重要概念，是解决几何问题的重要工具。本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。在给出结论及证明结论的过程中，可以体现数学的对称性与推论的相互关系。一、重心（barycenter)三角形重心是三角形三边中线的交点。重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。在重心确定上，有著名的帕普斯定理。结论1：是三角形的重心所在平面内一点，则为若GGCGBGAABCG0的重心为故上在中线同理可得上在中线这表明，，则中点为证明：设ABCGCFBEGADGGDGAGCGBGAGCGBGAGCGBGDDBC,,2022结论2：的重心是证明：的重心是所在平面内一点，则为若ABCGGCGBGAPCPGPBPGPAPGPCPBPAPGABCGPCPBPAPGABC00)()()()(31)(31P二、垂心(orthocenter)三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。结论3：的垂心是所在平面内一点，则为若ABCHHAHCHCHBHBHAABCH为三角形垂心故同理，有证明：HABHCCBHAACHBACHBHCHAHBHCHBHBHA,00)(3结论4：可知命题成立由结论同理可证得，得，证明：由的垂心是所在平面内一点，则为若3)()(H22222222222222HAHCHCHBHBHAHAHCHCHBHAHCHBHCHBHACAHBBCHAABCHABHCACHBBCHAABC三、外心(circumcenter)三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的相交点。用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。结论5：命题成立证明：由外心定义可知的外心是所在平面内一点，则是若ABCOOCOBOAABCO结论6：的外心是（所在平面内一点，则是若ABCOACOAOCCBOCOBBAOBOAABCO)()()4的外心为故故证明：ABCOOCOBOAOAOCOCOBOBOAOAOCACOAOCOCOBCBOCOBOBOAOBOAOBOABAOBOA222222222222)()())(()(四、内心(incenter)三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。即内切圆的圆心。结论7：的内心是所在平面内一点，则为若ABCPCBCBCACAOCBCBCBABAOBACACABABOAOPABCP)0(3215的内心为故的平分线上在同理可得，平分线上在即边夹角平分线上在由平行四边形法则知，为方向上的单位向量分别，证明：记ABCPCBPAPACABeeeeAPACACABABOAOPeeACAB,,)()(,21211121结论8：的内心是所在平面内一点，则是若ABCPPCcPBbPAaABCP0的内心是故是平分线同理可得其他的两条也的平分线是由角平分线定理，即不共线，则与由于证明：不妨设ABCPACBCDabDBDADBbDAacbaDBDAPCDBbDAaPCcbaPCcDBPDbDAPDaPCcPBPAaPCPD0,0,0)()(0)()(0b