10导数的四则运算法则

1.2.3导数的四则运算法则上页下页铃结束返回首页一．函数和（或差）的求导法则设f(x)，g(x)是可导的，则(f(x)±g(x))’=f’(x)±g’(x).即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差).(fg)'f'g'也可写为(uv)'u'v'有的书上写作上页下页铃结束返回首页证明：令y=f(x)+g(x)，则Δy=f(x+Δx)+g(x+Δx)-[f(x)+g(x)]=[f(x+Δx)-f(x)]+[g(x+Δx)-g(x)]=Δf+ΔgΔyΔfΔg=+ΔxΔxΔxΔx→0Δx→0Δx→0Δx→0ΔyΔfΔgΔfΔglim=lim+=lim+limΔxΔxΔxΔxΔx即y'=(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)简记为：y'=(f+g)'=f'+g'上页下页铃结束返回首页同理可证'()'''yfgfg这个法则可以推广到任意有限个函数，即1212()''''nnffffff二．函数积的求导法则设f(x)，g(x)是可导的函数，则[()()]''()()()'()fxgxfxgxfxgx两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，上页下页铃结束返回首页即'')'(uvvuuv证:),()()(xvxuxfy),()()()()()()()()()()()(xvxuxxvxuxxvxuxxvxxuxvxuxxvxxuy.)()()()()()(xxvxxvxuxxvxxuxxuxy因为v(x)在点x处可导,所以它在点x处连续,于是当Δx→0时,v(x+Δx)→v(x).从而:);()()()()()(lim)()()()(limlim000xvxuxvxuxxvxxvxuxxvxxuxxuxyxxx上页下页铃结束返回首页推论:常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数,即:(Cu)CuC'uCuCu.0三．函数的商的求导法则设f(x)，g(x)是可导的函数，g(x)≠0，两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，2()'()()()'()[]'()()fxfxgxfxgxgxgx即上页下页铃结束返回首页例1．求多项式函数f(x)=的导数。1110nnnnaxaxaxa解：f’(x)=1110()'nnnnaxaxaxa1211(1)nnnnnaxnaxa例2．求y=f(x)=xsinx的导函数和f'(0)。解：y’=(x·sinx)’=x’·sinx+x·(sinx)’=sinx+xcosx.例题讲解:上页下页铃结束返回首页43(2)(2)(2)yxxxsin(4)21xxye(3)sincosyxx例题3：求下列函数的导数f'(x)和f'(1)52(1)238yxx上页下页铃结束返回首页例3．求y=f(x)=sin2x的导函数和f'(0)。解：y’=(2sinxcosx)’=2(cosx·cosx－sinx·sinx)=2cos2x.例4．求y=f(x)=tanx的导函数和f'(0)。。解：y’=sin()'cosxx22coscossinsin1coscosxxxxxx上页下页铃结束返回首页例5．求y=·cosx的导数.x1解法一：y’=(·cosx)′=()’cosx+(cosx)′1x1x1x13--223111=(x)cosx-sinx=-xcosx-sinx2xxcosx1cosx+2xsinx=--sinx=-x2xx2x上页下页铃结束返回首页解法二：y’=(·cosx)’=()′1xxxcos1-221-sinxx-cosx(x)(cosx)x-cosx(x)2==x(x)1xsinx+cosx2xsinx+cosx2x=-=-x2xxcosx+2xsinx=-2xx上页下页铃结束返回首页例6．求y=f（x）=的导函数,f'(1).xx311'()'3xyx解：2222(1)(3)(1)(3)(3)xxxxx222222)3(32)3()2)(1(3xxxxxxx上页下页铃结束返回首页四、复合函数求导法则：g(x)最后带入t(t),(x)f'g'[f(g(x))]'如上面例3．求y=sin2x的导数。t=g(x)=2x,f(t)=sint,所以[f(g(x))]'=(sin2x)'=(2x)'(sint)'=2cost=2cos2x练习：求下列函数导函数（1）y=e2x(2)y=cos2x答案:（e2x）'=2e2x,(cos2x)'=-sin2x上页下页铃结束返回首页1．若f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，且f(x)，g(x)满足f’(x)=g’(x)，则f(x)与g(x)满足（）（A）f(x)＝g(x)（B）f(x)－g(x)为常数函数（C）f(x)=g(x)=0（D）f(x)+g(x)为常数函数B练习题上页下页铃结束返回首页2．曲线y=x3＋x2＋l在点P(－1，1)处的切线方程为.y=x＋23．曲线y=sinx在点P(,)处的切线的斜率为.42222上页下页铃结束返回首页()()fxgx()()fxgx1、和(差)的导数：2、积的导数：()cfx()()fxgx推论：3、商的导数：（C为常数）()()fxgx()()()()fxgxfxgx()cfx2()()()()()fxgxfxgxgx(()0)gx导数的运算法则4、复合函数求导法则：g(x)最后带入t(t),(x)f'g'[f(g(x))]'课堂小结：上页下页铃结束返回首页4．函数y=sinx(cosx＋1)的导数为.y’=cos2x+cosx5．已知抛物线y=x2＋bx＋c在点(1，2)处与直线y=x＋1相切，求b，c的值．12bc上页下页铃结束返回首页6．函数y=sin2x的导数为（）（A）y’=cos2x（B）y’=2cos2x（C）y’=2(sin2x－cos2x)（D）y’=－sin2xB上页下页铃结束返回首页7．下列曲线在点x=0处没有切线的是（）（A）y=x3＋sinx（B）y=x2－cosx（C）y=x+1（D）y=3xcosxxD上页下页铃结束返回首页