03第三章静力平衡问题

13.1平面力系的平衡问题3.2含摩擦的平衡问题3.3平面桁架3.4空间力系的平衡问题第三章静力平衡问题返回主目录2三个基本概念：力力偶约束三组平衡方程：（力系简化后的结论）一般力系汇交力系平行力系三类基本定理：合力投影定理合力矩定理力的平移定理三种基本能力：力的投影力对点之矩约束反力分析一般汇交平行力系:力系:力系:00()0xyOMFFF00xyFF0()0yAMFF回顾3设载荷集度为q(x)，在距O点x处取微段dx,微段上的力为q(x)dx。讨论同向分布平行力系合成合力FR的作用线到O的距离为：h=MO/FR=/ldxxq0)(ldxxxq0)(xdxq(x)qOxolFRh以O点为简化中心，主矢和主矩为：FR=q(x)dx=；MO=xq(x)dx=ldxxq0)(ldxxxq0)(FR0，MO0；故可合成为一个合力，且FR=FR=ldxxq0)(FR大小等于分布载荷图形的面积FR的作用线通过分布载荷图形的形心。4故同向分布平行力系可合成为一个合力，合力的大小等于分布载荷图形的面积，作用线通过图形的形心，指向与原力系相同。例求梁上分布载荷的合力。解：载荷图形分为三部分，有设合力FR距O点为x，由合力矩定理有：-FRx=-FR1-3.5FR2-3FR3=-(1.6+2.1+2.7)=-6.4kN·m得到x=6.4/3.1=2.06m故合力为3.1kN，作用在距O点2.06m处，向下。FR1=1.6kN;作用线距O点1m。FR2=0.6kN;作用线距O点3.5m。FR3=0.9kN;作用线距O点3m。合力FR=FR1+FR2+FR3=3.1kN。q=0.8kN/m0.22m3mxO32FR11FR2FR3FRx5例求图中分布力系的合力。解：FR1=2q1=1kN;FR2=3q2/2=6kN;合力的大小：FR=FR2-FR1=5kN方向同FR2，如图。合力作用位置(合力矩定理):FRx=3×FR2-1×FR1;x=(18-1)/5=3.4mq1=0.5KN/m2m3mq2=4KN/mAFR1FR2FRx6平面力系的平衡条件平面一般力系处于平衡，充分和必要条件为力系的主矢FR和主矩MO都等于零。第三式表明不可能有合力偶。若有合力，必过O点；1、2式指出：若有合力。必垂直于x轴且垂直于y轴。故平面一般力系的平衡方程为：（基本形式）（x轴不平行于y轴）00()0xyOMFFF7平面一般力系平衡方程还可表达为下列二种形式：0()0()0xABMMFFF()0()0()0ABCMMMFFF二力矩式（AB不垂直于x轴)注意：平衡方程中，投影轴和矩心可任意选取，可写出无数个平衡方程。但只要满足了其中一组，其余方程均应自动满足，故独立平衡方程只有三个。三力矩式(A、B、C三点不共线)8取汇交点为矩心，力矩方程自动满足。独立平衡方程只有二个,为：00xyFF0()0xAMFF()0()0ABMMFF平面汇交力系:取x轴垂直于各力，则x的投影方程满足。独立平衡方程也只有二个,为：0()0yAMFF()0()0ABMMFF平面平行力系:yxMyx9讨论1：判断所列平衡方程组是否必要且充分的。(a)(b)(c)Fx=0Fy=0M0(F)=0Fy'=0Fy'=0MA(F)=0MA(F)=0MA(F)=0MB(F)=0思路：平面力系简化为一个力；或一力偶；或平衡。满足任一力矩平衡方程，则不可能有合力偶；满足任一投影平衡方程，若有合力则必垂直于投影轴。由此，用反证法判断。充分可能有合力（过A垂直于y）可能有合力（垂直于OAB）xyxyOABC10三拱铰受力再分析ABCF三铰拱ABFo讨论2：二力平衡必共线F1oF2讨论3：三力平衡必共点F1F2F3o()0OMF()0OMFBCFB二力杆FC11思路：研究对象受力分析平衡方程求解一、平面力系平衡问题的分析方法ABC静力平衡问题，一般有两类：对于完全被约束的物体或系统，在已知外载荷的作用下，求约束力。对于未完全被约束的物体或系统，求平衡时外载荷所应满足的条件及约束力。60ABCDF3.1平面力系的平衡问题返回主目录12例3.1求图示结构中铰链A、B处的约束力。解：1）画整体受力图。注意BC为二力杆。验算，再写一个不独立平衡方程，看是否满足。如MB(F)=0.5F+Fq-2FAy=1+1-2=0结果正确。2）取坐标，列平衡方程。Fx=FAx-FCcos30=0ABCF=2kNFq30q=0.5kN/mL=2m1.5mFq=2q=1kNFCFAyFAxxyFy=FAy+FCsin30-F-Fq=0MA(F)=FCL/2-1.5F-FqL/2=03）解方程得到;FC=4kN;FAy=1kN;FAx=2kN矩心取在二未知力交点A处，力矩方程中只有一个未知量FC，可直接求解。13MA(F)=FB·ABcos-FC·ABsin=0FC=Fcot。越小，夹紧力越大。例3.2夹紧装置如图。设各处均为光滑接触，求F力作用下工件所受到的夹紧力。研究整体，受力如图。需要求的是FC。列平衡方程：Fy=FB-F=0FB=F解：逐一讨论A、B，可解。ABFBAFCFBFABFAFABCFyxOFBFCFA讨论：若将矩心取在FA、FB二未知力交点O，则由力矩方程直接可得:MO(F)=F·ABcos-FC·ABsin=0FC=Fcot14例3.3梁ACB如图。梁上起重小车重W=50kN，吊重P=10kN，求A、B处的约束力。由(1)知，FAx=0。剩余两个方程中含3个未知约束反力，不足以求解。列平衡方程：Fx=FAx=0---(1)Fy=FAy+FBy-P-W=0---(2)MA(F)=MA+12FBy-4W-8P=0---(3)解：1)取系统整体为研究对象，画受力图。4mCA4m1m1m8mBWPFByFAxFAyMA152)小车为研究对象，列平衡方程：MD(F)=2FE-W-5P=0FE=(50+50)/2=50kNFy=FD+FE-W-P=0FD=10kN3)取BC梁为研究对象，有：MC(F)=8FBy-FE=0FBy=FE/8=6.25kN将FBy代入(2)、(3)式，求得：FAy=P+W-FBy=53.75kNMA=4W+8P-12FBy=205kN·m有时需要综合研究整体及部分的平衡，联立求解4mWP1m1mDEFEFDC1m8mBFEFCyFByFCx=016补充例：已知AD=BD=CD=a，求图示杆系A、B及D处的约束力。解：研究整体有：Fy=FAy-F=0FAy=FMA(F)=FB·2a-Fa=0FB=F/2Fx=FAx+FB=0FAx=-FB=-F/2研究CD杆，有：MC(F)=FDya=0FDy=0Fy=FACsin45-F=0FACFx=FDx-FACcos45=0FDxABCFDFAyFAxFBCDFFDyFDxFAC请验算：AB杆(带销A)受力是否平衡？FBFDxFDyFAxFAyFACFACFAxFAy17求解平面力系平衡问题的一般方法和步骤为：弄清题意，标出已知量整体受力图，列平衡方程，解决问题否？选取适当的坐标轴和矩心，注意正负号。检查结果，验算补充选取适当研究对象，画受力图，列平衡方程求解。NoYes注意：力偶M在任一轴上的投影为零；力偶对任一点之矩即为M。18问题1：不计杆重，求连杆机构在图示平衡位置时F1、F2之关系。问题2:三铰拱受力偶M作用，不计拱的重量，求A、B处的约束力。bＣMABac4560ABCDF1F2问题3：试求图示双跨梁A端的约束力。ABCFq2aaa4519问题1.不计杆重，求连杆机构在图示平衡位置时F1、F2之关系。4560ABCDF1F2FDFCME(F)=F2·AE-F1sin60·BE=0注意：BE=AB；AE=AB可解得：F2=......F12E20问题2:三铰拱受力偶M作用，不计拱的重量，求A、B处的约束力。解:BC为二力杆;外力只有力偶M,以AC为轴写投影方程可知，A处反力为FAy=0,整体受力如图所示。bＣMABacFBBＣFCFAxAMFAy=0FCFAFBABbＣMcdaBAFFBdFM×+-0有0(F)AM又由可解得BF21问题2再论:不计拱重，分析三铰拱的约束力。FBABＣMdFAＣABFBABＣFFBABＣFFAFA三力平衡，若有二力汇交，则第三力必过其交点。三力平衡，若有二力平行，则第三力与其平行。22问题3：试求图示双跨梁A端的约束反力。先分离研究对象，再处理其上的分布载荷。解：1）研究整体：2）研究BC，受力如图。求出FC即可。MB(F)=2aFCcos45-Fa-qa2/2=0一般力系，3个方程，4个未知量。不足以求解FBxCFqBFByFCABCFq2aaa45FCFAyFAxMA23二、静不定问题的概念1)静定问题完全约束住的n个物体组成的物体系统在平面一般力系作用下，每一物体都处于平衡，共可写出3n个平衡方程。若反力未知量是3n个，则是静定的。由平衡方程即可确定的静力平衡问题--未知量数=独立平衡方程数ABCF30如例1系统2根杆6个平衡方程；约束3处铰链6个反力，静定。若将BC视为二力杆，则平衡方程减少2个，但B、C处约束力未知量也减少了2个。24本题作用于小车的是平行于y轴的平行力系，系统三个物体8个平衡方程；约束固定端3；中间铰2；活动铰、车轮接触处各1共8个反力，是静定问题。如例3系统三个物体9个方程，反力只有8个。小车可能发生水平运动。未被完全约束住的物体及系统约束力未知量数少于独立的平衡方程数，有运动的可能。CABWP252）静不定问题或超静定问题完全约束的物体或系统，若约束力数独立平衡方程数，问题的解答不能仅由平衡方程获得，称静不定问题。3n=3;m=4一次静不定3n=3;m=6三次静不定3n=3;m=4一次静不定约束反力数m系统中物体数n3n未完全约束m=3n静定问题3n静不定问题静不定的次数为：k=m-3n26ＣMAB讨论：试判断下列问题的静定性。约束力数m=8物体数n=3m3n未完全约束m=6n=2m=3n静定结构m=3n=1+2+2+4=9m=3n静定结构60ABCDF1F2ABCFDFABxFAByFACxFACyFAxFAy27讨论：判断下述分析的正误。MA=M+Fa-2Pa固定铰的约束力作用于销钉上。多杆用同一销钉连接，讨论某杆时，须考虑各杆与销钉间作用的不同。FAxMAMPF2aa3aAFAx=F;FAy=P;MA=M？FAyFAyPABCPABCAFAxFAyFAyFAxFAxFAByFABxFACxFACyFABxFAByFACxFACyFAxFAy28第一种情形ACBlllF问题讨论：试求图示A、B、C处的约束力。llFABDCFBFAydFAx第二种情形lllACBM=FlMA(F)=0FBd-F2l=0FB=22FMB(F)=0FAyl+Fl=0FAy=-FFx=0FAx+FBcos=0FAx=-2F29第二种情形lllACBM=FlFAyFAxllABDFBxFByFCxFCyFBxFByBC分析BC和ABD杆受力M=Fl考察BC杆的平衡:FCx=FBx;FCy=FByMB(F)=0:FCylBC+Fl=02=-—F2FCy=FBy再考察AB杆，由MA(F)=0可求得FBx30由ABD杆的平衡有：MA(F)=02FBx=—F¯2MB(F)=0FAy=0MC(F)=0:FAx=FFAyFAxllABDFBxFByCl第二种情形lllACBM=Fl更简单方法以整体为研究对象如何？FAxlllABDCM=FlFCxFAyFCy?BCM=FlFCxFBxllABDFBxFAx?31思考题：3-1习题：3-1，3-5;