第七章 应力状态与强度理论

§8–2平面应力状态分析sxtxysyxysxsyxyytxt设：斜截面面积为dA，由分离体平衡得：Fn00cos)sindA(sin)sindA(sin)cosdA(cos)cosdA(dAtstssyyxx一、应力分析的解析法正应力以拉应力为正，压应力为负；切应力对单元体内任意点的矩为顺时针转向时为正，反之为负；由轴逆时针转过角为正，反之为负。x规定：sytxsxstntsxtxsy1.斜截面上的应力tsssss2sin2cos22xyxyxtsst2cos2sin2xyx考虑切应力互等和三角变换，得：同理：sytxsxstntsxtxsy0Ft0]2cos2sin2[2:000tsssxyxdd令2.主应力、主平面yxxsst22tan0！极值正应力就是主应力00t由上式求出相差的两个角度，从而确定两个互相垂直的平面，分别作用着最大、最小正应力。o90020，tsssss2sin2cos22xyxyx例求图示单元体的主应力及主平面，在单元体上画出主平面和主应力。解：MPa20MPa,60MPa,40xyxtss126040)20(22tan000007.312,4.632MPa40MPa60MPa20xy07.311s2s0MPa,6.27MPa,4.72MPa6.274.72)20(260402604032122minmaxsssss例分析圆轴扭转时的应力状态。解：确定危险点并画其原始单元体求极值应力0yxsspxWTtt22minmax22xyxyxtssssss）（tt2xtxCtyMCxyt铸铁圆轴扭转破坏现象分析tssts321;0;o0o0045,9020222tantsstyxxxyt045eMeM1s3stssttsssss2cos2sin22sin2cos22xyxxyxyx对上述方程消去参数（2），得：二、平面应力分析的图解法xysxtxsyOtssttsssss2cos2sin22sin2cos22xyxxyxyx将上式改写成：222222xyxyxtsstsssxyx222tss上式中皆为已知量，故此方程是以和为变量的圆周方程，这一圆称为应力圆（或莫尔圆），由德国工程师OttoMohr提出。由公式可见，在—直角坐标系中，应力圆具有以下特征：（1）圆心坐标为—圆心必在坐标轴上（2）半径为xyxtss,,stst)0,2(yxsss（3）应力圆圆周上任一点的纵、横坐标，分别代表单元体中某一相应斜截面上的正应力和切应力，因此应力圆圆周上所有各点的坐标就表达了一点的应力状态。tsCB(sy,ty)D02A(sx,tx)2yxss2yxss0maxsmintmaxtminsF最大、最小切应力作用面与主平面的夹角为450。222xyxminmaxtsstt±）（2minmaxss最大切应力§8–3三向应力圆及最大切应力s1s2s31s2s3sst1、三向应力圆弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。图a图b整个单元体内的最大切应力为：tmax231maxssts1s2xyzs31s2s3sstD§8–4广义胡克定律一、单向拉伸应力状态下，应力--应变关系（胡克定律）,Exxs,xyEsxzEs二、纯剪切应力状态下，应力--应变关系Gxyxytxyzsxxyztxy三、复杂应力状态下的应力---应变关系xzyyEsss1yxzzEsss1GxyxytGyzyztGzxzxtzyxxEsss1xyzszsytxysx上式称为广义胡克定律主应力---主应变关系13221sssE12331sssE32111sssE0,0,0zxyzxyP104例8-5一、引子：§8–5强度理论1、简单应力状态是根据试验现象和试验结果建立强度条件。2、杆件危险点处于复杂应力状态时，将发生怎样的破坏？怎样建立强度条件？bbssnnssss二、强度理论：是关于“材料发生强度失效起因”的假说。三、材料的破坏形式：⑴屈服；⑵断裂。1、第一强度理论：最大拉应力理论。2、第二强度理论：最大拉应变理论。3、第三强度理论：最大切应力理论。4、第四强度理论：形状改变比能理论。四、常用的四个强度理论：最大拉应力理论（第一强度理论）认为材料的断裂主要是由最大拉应力引起的。不论材料处于何种应力状态，只要最大拉应力达到材料单向拉伸断裂时的极限应力，材料即发生断裂破坏。1、断裂条件：0)(;11sssb2、强度条件：0)(;11sss3、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。例如，脆材二向、三向受拉；拉压应力状态下，最大压应力值小于最大拉应力值或超过不多。nbss＝最大拉应变理论（第二强度理论）：认为材料的断裂主要是由最大拉应变引起的。不论材料处于何种应力状态，只要最大拉应变达到材料单向拉伸断裂时的极限应变，材料即发生断裂破坏。0)(;1u113、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。例如，某些脆材在二向拉－压应力状态下，且压应力值大于拉应力值时。砖、石、水泥预制件压缩时。，32111sssE1、断裂条件：bssss3212、强度条件：ssss321Ebsu1nbss＝最大切应力理论（第三强度理论）：认为材料的屈服主要是由最大切应力引起的。不论材料处于何种应力状态，只要最大切应力达到材料单向拉伸屈服时的极限切应力，材料即发生屈服破坏。3、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。1、屈服条件：ssss312、强度条件：sss31sttmax，231maxsst2maxsstnsss形状改变比能理论（第四强度理论）：认为材料的屈服主要是由畸变能引起的。不论材料处于何种应力状态，只要畸变能密度达到材料单向拉伸屈服时的畸变能密度，材料即发生屈服破坏。3、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。对大多数塑性金属材料来说，畸变能理论比最大切应力理论更符合试验结果。1、屈服条件：ssssssss213232221212、强度条件：sssssss21323222121四种强度理论的相当应力：1xd1ss321xd2ssss213232221xd421sssssss31xd3sssnsssss,,2.0b四种强度理论强度条件的统一形式ssxd应用强度理论进行强度计算的步骤：1、外力分析：确定所需的外力值。2、内力分析：画内力图，确定可能的危险截面。3、应力分析：画危面应力分布图，确定危险点并画出危险点的单元体，求主应力。4、强度分析：选择适当的强度理论，计算相当应力，然后进行强度计算。P107例8-6pppxss'lpODABy42DpDsps's'xD0Xs4pD1、纵向应力P109例8-8ypssDzODlpls2s2pD2、环向应力：0Y1s2sss21pDss42pD外表面内表面0,4,2321ssspDpD][MPa87030.03.25.11043.221][MPa100030.025.11042621323222146313sssssssssssspDpDxdxd圆筒满足强度要求。