第七章 截面的几何性质

第七章平面图形的几何性质研究截面几何性质的意义从上章介绍的应力和变形的计算公式中可以看出，应力和变形不仅与杆的内力有关，而且与杆件截面的横截面面积A、极惯性矩IP、抗扭截面系数WP等一些几何量密切相关。因此要研究构件的的承载能力或应力，就必须掌握截面几何性质的计算方法。另一方面，掌握截面的几何性质的变化规律，就能灵活机动地为各种构件选取合理的截面形状和尺寸，使构件各部分的材料能够比较充分地发挥作用，尽可能地做到“物尽其用”，合理地解决好构件的安全与经济这一对矛盾。截面的几何性质第一节静矩一、静距的概念AySzddAzSyddAAyyAAzzAzSSAySSddddzydAyz静距是面积与它到轴的距离之积。平面图形的静矩是对一定的坐标而言的，同一平面图形对不同的坐标轴，其静矩显然不同。静矩的数值可能为正，可能为负，也可能等于零。它常用单位是m3或mm3。截面的几何性质形心dAzyyzCxCyAyAyAzAzCCAydAyAzdAzACACASyASzzCyCCyCzzASyAS平面图形对z轴（或y轴）的静矩，等于该图形面积A与其形心坐标yC（或zC）的乘积。截面的几何性质当坐标轴通过平面图形的形心时，其静矩为零；反之，若平面图形对某轴的静矩为零，则该轴必通过平面图形的形心。如果平面图形具有对称轴，对称轴必然是平面图形的形心轴，故平面图形对其对称轴的静矩必等于零。CyCzzASyAS截面的几何性质二、组合图形的静矩根据平面图形静矩的定义，组合图形对z轴（或y轴）的静矩等于各简单图形对同一轴静矩的代数和，即niCiiCnnCCyniCiiCnnCCzzAzAzAzASyAyAyAyAS1221112211式中yCi、zCi及Ai分别为各简单图形的形心坐标和面积;n为组成组合图形的简单图形的个数。niiniCiiCniiniCiiCAyAyAzAz1111组合图形形心的坐标计算公式截面的几何性质例7-1矩形截面尺寸如图7-2所示。试求该矩形对z1轴的静矩Sz1和对形心轴z的静矩Sz。z1b/2b/2h/2h/2zCy2221bhhbhyASCz解(1)计算矩形截面对z1轴的静矩(2)计算矩形截面对形心轴的静矩由于z轴为矩形截面的对称轴，通过截面形心，所以矩形截面对z轴的静矩为Sz=0截面的几何性质例7-2试计算如图7-3所示的平面图形对z1和y1的静矩，并求该图形的形心位置。801201010z1y1C1C2解将平面图形看作由矩形Ⅰ和Ⅱ组成矩形Ⅰ5mmmm2101Cz60mmmm21201Cy矩形Ⅱ45mmmm270012Cz5mmmm2102CyA1=10×120mm2=1200mm2A2=70×10mm2=700mm2截面的几何性质801201010z1y1C1C2C1（5,60）C2（45,5）该平面图形对z1轴和y1轴的静矩分别为343122111mm107.55mm5700602001niCCCiizyAyAyAS343122111mm103.75mm4570051200niCCCiiyzAzAzAS求得该平面图形的形心坐标为19.74mmmm7001200103.75411niiniCiCAzAzi39.74mmmm7001200107.55411niiniCiCAyAyi截面的几何性质第二节惯性矩、惯性积、极惯性矩一、惯性矩惯性矩是面积与它到轴的距离的平方之积。AyAzAzIAyIdd22dAzyyzr极惯性矩是面积对极点的二次矩。yzAIIAId2rr惯性矩是对坐标轴来说的，同一图形对不同的坐标轴其惯性矩不同。极惯性矩是对点来说的，同一图形对不同点的极惯性矩也各不相同。惯性矩恒为正值，常用单位为m4或mm4。截面的几何性质dAzyyzr二、惯性积惯性积面积与其到两轴距离之积。AzyAzyId惯性积是平面图形对某两个正交坐标轴而言，同一图形对不同的正交坐标轴，其惯性积不同。惯性积可能为正或负，也可能为零。单位为m4或mm4。如果坐标轴z或y中有一根是图形的对称轴，则该图形对这一对坐标轴的惯性积一定等于零。AzyzydAI0截面的几何性质三、惯性半径AiIAiIAiIPPyyzz222,,AIiAIiAIiPPyyzz,,式中iz、iy、iP分别称为平面图形对z轴、y轴、和极点的惯性半径，也叫回转半径。单位为m或mm。或改写成惯性半径愈大，平面图形对该轴的惯性矩（或对极点的极惯性矩）也愈大。常将图形的惯性矩表示为图形面积A与某一长度平方的乘积，即截面的几何性质例7-3矩形截面的尺寸如图7-6所示。试计算矩形截面对其形心轴z、y的惯性矩、惯性半径及惯性积。解(1)计算矩形截面对z轴和y轴的惯性矩取平行于z轴的微面积dA，dA到z轴的距离为y，则dA=bdy截面对z轴的惯性矩为AzdAyI2截面对y轴的惯性矩为AydAzI2bh/2zCydydz223212hhbhbdyy223212bbhbhdzz截面的几何性质(2)计算矩形截面对z轴、y轴的惯性半径截面对z轴和y轴的惯性半径分别为12123hbhbhAIizz12123bbhhbAIiyybh/2zCy(3)计算矩形截面对y、z轴的惯性积因为z、y轴为矩形截面的两根对称轴，故AzyyzdAI0截面的几何性质截面的几何性质第三节组合图形的惯性矩一、平行移轴定理0AySzAaaSIAaayyAayAyIzzAAAz22222112d)2(d)(dAaIIzz211dAz1y1y1z1rbaCzy以形心为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴。CCybyxax截面的几何性质AbIIAaIIyyzz2211abAIIzyyz11图形对任一轴的惯性矩，等于图形对与该轴平行的形心轴的惯性矩，再加上图形面积与两平行轴间距离平方的乘积。由于a2（或b2）恒为正值，故在所有平行轴中，平面图形对形心轴的惯性矩最小。截面的几何性质例7-5计算如图7-9所示的矩形截面对z1轴和y1轴的惯性矩。z1b/2b/2h/2h/2zCy3212232321bhbhhbhAhIIzz解z、y轴是矩形截面的形心轴，它们分别与z1轴和y1轴平行，则由平行移轴公式得，矩形截面对z1轴和y1轴的惯性矩分别为3212232321hbbhbhbAbIIyy截面的几何性质二、用平行移轴公式计算组合截面的惯性矩组合图形对任一轴的惯性矩，等于组成组合图形的各简单图形对同一轴惯性矩之和。即iynyyyyiznzzzzIIIIIIIIII2121计算组合图形的惯性矩步骤1.确定组合图形的形心位置，2.查表求得各简单图形对自身形心轴的惯性矩，3.利用平行移轴公式，就可计算出组合图形对其形心轴的惯性矩。截面的几何性质580120500250zC例7-7试计算图示T形截面对形心轴z、y的惯性矩。a1a2ycz1C1z2C2zoOA1A2截面的几何性质23211(500120)6010,(58060)640Ammmmymmmm23222580(250580)14510,2902Ammmmymmmm3333601064014510290392601014510iiAyycmmmmA解求截面形心位置由于截面有一根对称轴y，故形心必在此轴上，即zc=0选坐标系yoz′，以确定截面形心的位置yC。将截面图形分为两个矩形。500580120yc250z1C1zCz2C2z’OA1A2矩形Ⅱ矩形Ⅰ23211(500120)6010,(58060)640Ammmmymmmm23222580(250580)14510,2902Ammmmymmmm截面的几何性质12ZzzIII33441122500120250580,1212ZZImmImmZIyI计算及整个截面图形对z轴、y轴的惯性矩应分别等于两个矩形对z轴、y轴的惯性矩之和。即两个矩形对自身形心轴的惯性矩分别为33441122500120250580,1212ZZImmImm500580120yc250z1C1zCz2C2z’OA1A2截面的几何性质3224841111150012024850012037.61012ZZIIaAmmmm3224842222225058010225058055.61012ZZIIaAmmmm8848412(37.61055.610)93.210zZZIIImmmm应用平行移轴公式得所以500580120a1a2yc250z1C1zCz2C2z’OA1A23224841111150012024850012037.61012ZZIIaAmmmm3224841111150012024850012037.61012ZZIIaAmmmm截面的几何性质y轴正好经过矩形截面A1和A2的形心，所以4843321mm1020.1mm1225058012500120yyyIII500580120yc250z1C1zCz2C2z’OA1A2截面的几何性质对平面图形而言，对通过O点的任意两根正交坐标轴z、y的惯性积Iyz，如Iyz＝0，则这对坐标轴称为通过O点的主惯性轴，简称主轴。截面对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩，简称主惯矩。如果O点在截面形心，如同样满足上述条件，这时通过形心的主惯性轴称为形心主惯性轴，简称形心主轴；图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩，简称形心主惯矩。第四节形心主惯性轴形心主惯性截面的几何性质对于具有对称轴的平面图形，其形心主轴的位置可按如下方法确定：1）如果图形有一根对称轴，则该轴必是形心主轴，而另一根形心主轴通过图形的形心且与该轴垂直。2）如果图形有两根对称轴，则该两轴就是形心主轴。3）如果图形具有两个以上的对称轴，则任一根对称轴都是形心主轴，且对任一形心主轴的惯性矩都相等。zyzy截面的几何性质