第六章 系统的频域分析及其应用 6-2

第六章系统的频域分析及其应用连续非周期信号通过系统响应的频域分析连续周期信号通过系统响应的频域分析无失真传输系统与理想滤波器抽样与抽样定理离散系统的频域分析6.3无失真传输系统与理想滤波器无失真传输系统理想滤波器的频响特性理想低通滤波器冲激响应阶跃响应一、无失真传输系统信号的无失真传输是指系统的响应与激励信号相比，只有幅度大小和出现时间的不同，而没有波形上的变化。若输入信号为f(t)，则无失真传输系统的输出信号y(t)应为)()(dttfKtyK为常数，td是输入信号通过系统后的延迟时间。1、无失真传输的时域条件一、无失真传输系统将无失真传输的时域条件两边取Fourier变换，得()()djwtYjwKFjwe()()()YjwHjFjw其幅度响应和相位响应分别为KH|)j(|d)(t2、无失真传输的频域条件无失真传输的频域响应为d-jwtKe一、无失真传输系统无失真传输系统的幅度和相位响应dt)(|H(j)|无失真传输系统应满足两个条件：1)系统的幅频响应|H(j)|在整个频率范围内应为常数K，即系统的带宽为无穷大；2)系统的相位响应()在整个频率范围内应与成正比。KH|)j(|d)(t一、无失真传输系统1）幅度失真：系统对信号中各频率分量产生的衰减程度不同，使得频率分量的幅度产生相对变化，从而产生失真。2）相位失真：系统对信号中各频率分量产生的相移与频率不成比例，使各频率分量在时间轴上的相对位置发生变化，从而引起信号相位失真。3失真原因例1已知一LTI系统的频率响应为j1j1)j(H(1)求系统的幅度响应|H(j)|和相位响应()，并判断系统是否为无失真传输系统。(2)当输入为f(t)=sint+sin3t(t)时，求系统的稳态响应。解：(1)因为)(arctan2je)j(H所以系统的幅度响应和相位响应分别为)arctan(2)(1)j(H系统的幅度响应|H(j)|为常数，但相位响应()不是的线性函数，所以系统不是无失真传输系统。))3(3sin()3j())1(sin()1j()(tHtHty)π7952.03sin()2/πsin(tt(2)例1已知一LTI系统的频率响应为j1j1)j(H(1)求系统的幅度响应|H(j)|和相位响应()，并判断系统是否为无失真传输系统。(2)当输入为f(t)=sint+sin3t(t)时，求系统的稳态响应。解：0-2-1012f(t)ty(t)π2π3π4π显然，输出信号相对于输入信号产生了失真。输出信号的失真是由于系统的非线性相位引起的。输入和输出信号的波形二、理想滤波器的频响特性|HLP(j)|cc|HHP(j)|cc|HBP(j)|1212|HBS(j)|1212滤波器是指能使信号的一部分频率通过，而使另一部分频率很少通过系统。理想低通理想高通理想带通理想带阻三、理想低通滤波器ddtωtepHj2ccj)(||0||e)j(c|H(j)|1cc0()0ccctdctd截止角频率幅频响应|H(j)|在通带wc~wc恒为1，在通带之外为0.相频响应()在通带内与成线性关系三、理想低通滤波器1.理想低通滤波器的冲激响应tHthωtde)j(π21)(jtωtωtddeeπ21jjcc)]([Saπ)(ccdttth)(thtdtcwcdπtcdπt三、理想低通滤波器1.理想低通滤波器的冲激响应分析：1)h(t)的波形是一个取样函数，不同于输入信号d(t)的波形，有失真。原因：理想低通滤波器是一个带限系统，而冲激信号d(t)的频带宽度为无穷大。减小失真方法：增加理想低通截频c。h(t)的主瓣宽度为2/c，c越小，失真越大。当c时，理想低通变为无失真传输系统，h(t)也变为冲激函数。三、理想低通滤波器1.理想低通滤波器的冲激响应分析：2)h(t)主峰出现时刻t=td比输入信号d(t)作用时刻t=0延迟了一段时间td。td是理想低通滤波器相位特性的斜率。3)h(t)在t0的区间也存在输出，可见理想低通滤波器是一个非因果系统，因而它是一个物理不可实现的系统。三、理想低通滤波器2.理想低通滤波器的阶跃响应ththtgd)()()(1d)]([Saπdccttxxtgtt)d(Saπ121)()(0dcg(t)ttdcdπtcdπt10.5三、理想低通滤波器2.理想低通滤波器的阶跃响应分析：1)阶跃响应g(t)比输入阶跃信号u(t)延迟td。td是理想低通滤波器相位特性的斜率。2)阶跃响应的建立需要一段时间。阶跃响应从最小值上升到最大值所需时间称为阶跃响应的上升时间tr。tr=2/c，即上升时间tr与理想低通截频c成反比。c越大，上升时间就越短，当c时，tr0。三、理想低通滤波器2.理想低通滤波器的阶跃响应分析：3)存在Gibbs现象即在间断点的前后出现了振荡，其振荡的最大峰值约为阶跃突变值的9%左右，且不随滤波器带宽的增加而减小。结论1.输出响应的延迟时间取决于理想低通滤波器的相位特性的斜率。2.输入信号在通过理想低通滤波器后，输出响应在输入信号不连续点处产生逐渐上升或下降的波形，上升或下降的时间与理想低通滤波器的通频带宽度成反比。3.理想低通滤波器的通带宽度与输入信号的带宽不相匹配时，输出就会失真。系统的通带宽度越大于信号的带宽，则失真越小，反之，则失真越大。例2已知某滤波器系统的频域特性如下图所示，求该滤波器的单位冲激响应。|H(j)||H2(j)||H1(j)|()0例2已知某滤波器系统的频域特性如下图所示，求该滤波器的单位冲激响应。解：将该系统幅频特性分解为幅频特性|H1(jw)|和|H2(jw)|之差，由于应该系统的相频特性的斜率为1，所以，即12|()||()||()|HjHjHj22[()()]Pww22()[()()]jwHjwPwwe故该滤波器的单位冲激响应为1()[()]htFHjw1122[()][()]jwjwFPweFwe2((1))2Sat22(0.5(1))4Sat2((1))0.5(0.5(1))SatSat|H(j)|44()022解:(1)该理想滤波器的频域特性波形图如下图所示，例3已知某理想高通滤波器的频域特性为：(1)求该滤波器的单位冲激响应h(t)。(2)若滤波器的输入为求其输出y(t)2||4()0||4jwewHjww()(6),,ftSatt将该系统幅频特性|H(jw)|分解为幅频特性|H1(jw)|和|H2(jw)|之差，|H1(j)||H2(j)|44例3已知某理想高通滤波器的频域特性为：(1)求该滤波器的单位冲激响应h(t)。(2)若滤波器的输入为求其输出y(t)2||4()0||4jwewHjww()(6),,ftSatt由幅频特性|H1(jw)|和|H2(jw)|及相频特性可知，211()|()|jwHjHje2jwe222()|()|jwHjHje28()jwPwe12()()()HjHjHj28[1()]jwPwe故该滤波器的单位冲激响应为1()[()]htFHjw12128[][()]jwjwFeFPwe(2)td88(2)()22tSa4(2)(4(2))tSatd例3已知某理想高通滤波器的频域特性为：(1)求该滤波器的单位冲激响应h(t)。(2)若滤波器的输入为求其输出y(t)2||4()0||4jwewHjww()(6),,ftSatt解：(2)因为1[()]()22ccc所以()[(6)]FjwFSat12()6Pw通过观察和分析F(jw)和H(jw)的波形，可得系统输出Y(jw)=F(jw)H(jw)的幅频特性波形图如下图所示|Y(j)|/64466例3已知某理想高通滤波器的频域特性为：(1)求该滤波器的单位冲激响应h(t)。(2)若滤波器的输入为求其输出y(t)2||4()0||4jwewHjww()(6),,ftSatt解：幅频特性分解为幅频特性|Y1(jw)|和|Y2(jw)|之差，|Y1(j)|/666|Y2(j)|/644例3已知某理想高通滤波器的频域特性为：(1)求该滤波器的单位冲激响应h(t)。(2)若滤波器的输入为求其输出y(t)2||4()0||4jwewHjww()(6),,ftSatt其中：1|()|Yj12()6Pw2|()|Yj8()6Pw2128()[()()]6jwYjPwPwe所以12|()||()||()|YjYjYj128[()()]6PwPw例3已知某理想高通滤波器的频域特性为：(1)求该滤波器的单位冲激响应h(t)。(2)若滤波器的输入为求其输出y(t)2||4()0||4jwewHjww()(6),,ftSatt故该滤波器的单位冲激响应为1()[()]ytFYjw1212128[()][()]66jwjwFPweFPwe1212[((2))622Sat88((2))]22Sat2(6(2))(4(2))3SatSat例3已知某理想高通滤波器的频域特性为：(1)求该滤波器的单位冲激响应h(t)。(2)若滤波器的输入为求其输出y(t)2||4()0||4jwewHjww()(6),,ftSatt解：(2)方法又：因为1[()]()22ccc所以()[(6)]FjwFSat12()6Pw通过观察和分析F(jw)和H(jw)的波形，可得系统输出Y(jw)=F(jw)H(jw)的幅频特性波形图如下图所示|Y(j)|/64466例3已知某理想高通滤波器的频域特性为：(1)求该滤波器的单位冲激响应h(t)。(2)若滤波器的输入为求其输出y(t)2||4()0||4jwewHjww()(6),,ftSatt解：幅频特性分解为幅频特性|Y1(jw)|和|Y2(jw)|之和，|Y1(j)|/646|Y2(j)|/646例3已知某理想高通滤波器的频域特性为：(1)求该滤波器的单位冲激响应h(t)。(2)若滤波器的输入为求其输出y(t)2||4()0||4jwewHjww()(6),,ftSatt其中：211()|()|jwYjYje22(5)6jwPwe222()|()|jwYjYje22(5)6jwPwe12()()()YjYjYj222[(5)(5)]6jwPwPwe例3已知某理想高通滤波器的频域特性为：(1)求该滤波器的单位冲激响应h(t)。(2)若滤波器的输入为求其输出y(t)2||4()0||4jwewHjww()(6),,ftSatt故该滤波器的输出响应为1()[()]ytFYjw1122[(5)][(5)]66jwjwFPweFPwe5(2)22((2))622jtSate1(2)cos(5(2))3S