彩票中的数学模型

彩票中的数学模型一、摘要本文综合考虑了各种彩票方案的中奖概率，奖项和奖金额的设置，建立了彩民对彩票的概率满意度函数和奖金满意度函数，并由此构造了彩票方案对彩民的吸引函数。以此函数作为评价各种方案的合理性指标。在建立概率满意度和奖金满意度函数时，结合实际并参照相关理论本文将彩民分为：风险喜好型、风险中性型、风险厌恶型。针对不同类型的彩民，求得不同的奖金满意度函数和概率满意度函数。综合这两个函数建立合理性指标。通过求解得到29种方案的合理性指标值，其中第27（7/37）种、第22（7/35）种、第26（7/36）种方案为最合理的三种方案。为了确定更好的方案，通过建立求解非线性规划是困难的。本文经求解此非线性规划最优化的问题分解成若干个子问题，通过用C语言编程求得各子问题的最优解。然后进行综合考虑比较，求得原问题的最优解43选6，其一、二、三等奖奖金分别为85%、10%、5%，四、五、六等奖奖金分别为200、10、5元。然后本文又建立了一个开放性的仿真模型。通过计算计模拟彩票的发行过程，得出了一种彩票投放市场后的发行情况，并以此发行固定期数后的模拟总销售量来评价彩票的合理性。在结果分析中，本文对建立的吸引度函数的有关参数进行了灵敏度分析。给出了各参量灵敏度曲线。并就所反映出的规律联系实际，提取实际特征以此作为依据对彩票发行部门提出建议，将结果与中国正在发行的一些彩票进行了比较，进一步证明了结果的正确性。鉴于购买彩彩票是一种低风险投资，我们还对购买彩票的风险度进行了分析，从中得到一些规律，并结合文中其它规律，写出了一篇对彩民的建议。二、问题的提出近年来“彩票飓风”席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。“传统型”采用“10选16”方案：先从6组90号球中摇出6个基本号码，每组摇出一个，然后从40号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码。投注者从90十个号码中任选6个基本号码（可重复），从40中选一个特别号码，构成一注，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。以中奖号码“gabcdef”为例说明中奖等级，如表一（x表示未选中的号码）。（表一）中奖等级10选)10/16(16基本号码特别号码说明一等奖abcdefg选7中)16(二等奖abcdef选7中)6(三等奖abcdexxbcdef选7中)5(四等奖abcdxxxbcdexxxcdef选7中)4(五等奖abcxxxxbcdxxxxcdexxxxdef选7中)3(六等奖abxxxxxbcxxxxxcdxxxxxdexxxxxef选7中)2(“乐透型”有多种不同的形式，比如“33选7”的方案：先从3301个号码球中一个一个地摇出7个基本号，再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码。投注者从3301个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。又如“36选16”的方案，先从3601个号码球中一个一个地摇出6个基本号，再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码。从3601个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。这两种方案的中奖等级如表二。（表二）中奖等级33选)33/7(736选)36/16(16基本号码特别号码说明基本号码特别号码说明一等奖●●●●●●●选7中)7(●●●●●●★选7中)16(二等奖●●●●●●○★选7中)16(●●●●●●选7中)6(三等奖●●●●●●○选7中)6(●●●●●○★选7中)15(四等奖●●●●●○○★选7中)15(●●●●●○选7中)5(五等奖●●●●●○○选7中)5(●●●●○○★选7中)14(六等奖●●●●○○○★选7中)14(●●●●○○选7中)4(七等奖●●●●○○○选7中)4(●●●○○○★选7中)13(注：●为选中的基本号码；★为选中的特别号码；○为未选中的号码。以上两种类型的总奖金比例一般为销售总额的%50，投注者单注金额为2元，单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。现在常见的销售规则及相应的奖金设置方案如表三。（表三）序号奖项方案一等奖比例二等奖比例三等奖比例四等奖金额五等奖金额六等奖金额七等奖金额备注11/10650%20%30%50按序21/10660%20%20%300205按序31/10665%15%20%300205按序41/10670%15%15%300205按序57/2960%20%20%30030561/29660%25%15%20020577/3065%15%20%5005015587/3070%10%20%2005010597/3075%10%15%20030105107/3160%15%25%500502010117/3175%10%15%320305127/3265%15%20%5005010137/3270%10%20%5005010147/3275%10%15%5005010157/3370%10%20%600606167/3375%10%15%50050105177/3465%15%20%500306187/3468%12%20%50050102197/3570%15%15%300505207/3570%10%20%500100305217/3575%10%15%1000100505227/3580%10%10%20050205237/35100%20002042无特别号241/36675%10%15%500100105251/36680%10%10%50010010267/3670%10%20%50050105277/3770%15%15%150010050286/4082%10%8%200101295/6060%20%20%30030其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。低项奖数额固定，高项奖按比例分配，但一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元，各高项奖额的计算方法为：[(当期销售总额总奖金比例)-低项奖总额]单项奖比例（1）根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。（2）设计一种“更好”的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出建议。（3）给报纸写一篇短文，供彩民参考。三、符号约定ip:表示第i种中奖概率is:表示第i中奖金额)(s:奖金满意度函数)(p:概率满意度函数f:吸引度函数四、基本假设1、不考虑地区，人口，广告及彩票自身意义等对方案的影响。2、同一种地区的人群已经稳定（即有固定收入，固定喜好等）。五、问题分析一种彩票方案的优劣应该由该种彩票的销售量决定。当人口一定时，彩票的销售量又取决于该种彩票方案对彩民的吸引程度。在此，本文建立了吸引度函数来描述彩票对彩民的吸引度。吸引度函数是能够反映彩票的合理性的。一个彩票的合理要能够满足各方面的利益。对于发行方，由于国家的彩票发行政策，它能够从销售额中取得固定的利润。他们为了追求更大的利润只能在彩票的销售方案上做工作，让更多的彩民购买他们的彩票。对于彩票购买者，从整体上说彩民的利益是绝对受损的。但是从个体上看，他们个人购买彩票是为了能够得到更多的钱来满足他们的金钱需求，从他们的心理上看，这就是他们的利益（相对利益）,能够使他们购买彩票的钱增值。彩票的合理应该是建立在彩票的发行方的绝对利益和彩票购买方个体的相对利益上的。而这两方的利益是由彩票对彩民的吸引度直接决定的。也就是说吸引度函数完全能够反映彩票的优劣程度。从心理学的角度分析，这种吸引度无非来自各种彩票方案的奖金设置和中奖概率，于是再建立彩民对奖金的满意度函数和彩民对中奖概率的满意度函数，两者共同决定了彩票方案对彩民的吸引度函数。在确定奖金满意度函数和概率满意度函数时，应按照风险决策的有关理论将彩民分为风险喜好型（冒险者），风险中性型（中立者）、风险厌恶型（避险者）三类[1]，对每一类型再分别求出奖金满意度函数和概率满意度函数。解决问题1时，通过比较吸引度函数在各种方案下的值的大小来评价它们的优劣。解决问题2时，先给定一种方案（如n选m，n选1m等，其中具体给出m和n的值），将该方案七个奖项的奖金设置为七个变量，再用非线性规划求解吸引度函数的最大值，同时得到七个奖项的最优设置。然后改变m和n值，重复上述步骤。在m和n取遍适当的范围时，求解问题2就变成了求解问题1。即求m、n各种组合中，吸引度函数的最大值，则该方案的设置是更为合理的。六、模型的准备1、各种方案中各奖项的中奖概率和奖金额的计算各种方案的本质区别就在于对不同的奖项有不同的中奖概率及设置有不同的奖金额。所以应该首先对各种方案中各奖项的中奖概率和奖金额进行计算，以它们作为原始数据来求解问题。（1）、中奖概率的计算由古典概型得：中奖概率=该等奖中奖号码个数/所有可能的号码个数由该公式，推出n选m、n选1m、10选16、n选m（无特别号）四类抽奖方案各奖项的中奖概率计算公式，见表四。（表四）概率n选mn选1m10选6+1无特别号1pmnC/11/1mnC7102mnC/12pmnmmCC/111)1(/mnmnCC7108mnmnmmCCC/113pmnmnmmCCC/1)1(111)1(1/mnmnmmCCC5108.1mnmnmmCCC/224pmnmnmmCCC/1)1(212)1(1/mnmnmmCCC41061.2mnmnmmCCC/335pmnmnmmCCC/2)1(212)1(2/mnmnmmCCC-3103.42mnmnmmCCC/446pmnmnmmCCC/2)1(313)1(2/mnmnmmCCC-2104.2039mnmnmmCCC/557pmnmnmmCCC/3)1(313)1(3/mnmnmmCCC具体地对于给定的29种方案各奖项的中奖概率见表五。（表五）方案1p2p3p4p5p6p7p6+1/102.0000e-78.0000e-71.8000e-52.6100e-43.4200e-34.2039e-207/296.4071e-74.4849e-69.4184e-52.8255e-42.8255e-34.7092e-32.9800e-26+1/296.4071e-71.4096e-58.4573e-58.8802e-42.2200e-31.4800e-21.9700e-27/304.9121e-73.4385e-67.5646e-52.2694e-42.3828e-33.9714e-32.6476e-27/313.8029e-72.6620e-66.1227e-51.8368e-42.0205e-33.3675e-32.3572e-27/322.9710e-72.0797e-64.9913e-51.4974e-41.7220e-32.8700e-32.1000e-27/332.3408e-71.6386e-64.0964e-51.2289e-41.4747e-32.4578e-31.8843e-27/341.8589e-71.3012e-63.3831e-51.0149e-41.2687e-32.1145e-31.6916e-27/351.4871e-71.0410e-62.8106e-58.4318e-51.0961e-31.8269e-31.5224e-27/351.4871e-72.9147e-51.1805e-31.7051e-21.0657e-1006+1/361.1979e-73.4740e-62.0844e-52.9182e-47.2954e-46.5659e-38.7545e-37/361.1979e-78.3856e-72.3480e-57.0439e-59.5092e-41.584