2009年福建高考理科数学试题及答案

年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工农医类）一.选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.函数()sincosfxxx最小值是A．-1B.12C.12D.11．【答案】：B[解析]∵1()sin22fxx∴min1()2fx.故选B2.已知全集U=R，集合2{|20}Axxx，则CUA等于A．{x∣0x2}B{x∣0x2}C．{x∣x0或x2}D{x∣x0或x2}2．【答案】：A[解析]∵计算可得0Axx或2x∴02CuAxx.故选A3.等差数列{}na的前n项和为nS，且3S=6，1a=4，则公差d等于A．1B53C.-2D33．【答案】：C[解析]∵31336()2Saa且3112=4d=2aada.故选C4.22(1cos)xdx等于A．B.2C.-2D.+24．【答案】：D[解析]∵2sin(sin)[sin()]222222xxxx原式.故选D5.下列函数()fx中，满足“对任意1x，2x（0，），当1x2x时，都有1()fx2()fx的是A．()fx=1xB.()fx=2(1)xC.()fx=xeD()ln(1)fxx5．【答案】：A[解析]依题意可得函数应在(0,)x上单调递减，故由选项可得A正确。6.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是．2B.4C.8D.166．【答案】：C[解析]由算法程序图可知，在n=4前均执行”否”命令，故n=2×4=8.故选C7.设m，n是平面内的两条不同直线，1l，2l是平面内的两条相交直线，则//的一个充分而不必要条件是A.m//且l//B.m//l且n//l2C.m//且n//D.m//且n//l27．【答案】：B[解析]若1212//,//,.,.mlnlmn，则可得//.若//则存在1221,//,//mlnl8.已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%。现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果。经随机模拟产生了20组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为A．0.35B0.25C0.20D0.158．【答案】：B[解析]由随机数可估算出每次投篮命中的概率242605p则三次投篮命中两次为223(1)CPP0.25故选B9.设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，若ac且∣a∣=∣c∣,则∣b•c∣的值一定等于A．以a，b为两边的三角形面积B以b，c为两边的三角形面积C．以a，b为邻边的平行四边形的面积D以b，c为邻边的平行四边形的面积9．【答案】：C[解析]依题意可得cos(,)sin(,)bcbcbcbaacS故选C.10.函数()(0)fxaxbxca的图象关于直线2bxa对称。据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程2()()0mfxnfxp的解集都不可能是A.1,2B1,4C1,2,3,4D1,4,16,6410.【答案】：D[解析]本题用特例法解决简洁快速，对方程2[()]()0mfxnfxP中,,mnp分别赋值求出()fx代入()0fx求出检验即得.第二卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。若21abii（i为虚数单位，,abR）则ab_________11.【答案】：2解析：由22(1)11(1)(1)iabiiiii，所以1,1,ab故2ab。12．某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示。记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算的平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清。若记分员计算失误，则数字x应该是___________12.【答案】：1解析：观察茎叶图，可知有8889899293909291949119xx。13.过抛物线22(0)ypxp的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p________________13.【答案】：2解析：由题意可知过焦点的直线方程为2pyx，联立有22223042ypxpxpxpyx，又222(11)(3)4824pABpp。14.若曲线3()lnfxaxx存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围是_____________.14.【答案】：(,0)解析：由题意可知'21()2fxaxx，又因为存在垂直于y轴的切线，所以231120(0)(,0)2axaxaxx。15.五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为________.15.【答案】：5解析：由题意可设第n次报数，第1n次报数，第2n次报数分别为na，1na，2na，所以有12nnnaaa，又121,1,aa由此可得在报到第100个数时，甲同学拍手5次。三.解答题16.（13分）从集合1,2,3,4,5的所有非空子集．．．．中，等可能地取出一个。（1）记性质r：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r的概率；（2）记所取出的非空子集的元素个数为，求的分布列和数学期望E16、解：（1）记”所取出的非空子集满足性质r”为事件A基本事件总数n=123555CCC4555CC=31事件A包含的基本事件是{1,4,5}、{2，3，5}、{1，2，3，4}事件A包含的基本事件数m=3所以3()31mpAn（II）依题意，的所有可能取值为1，2，3，4，5又155(1)3131Cp，2510(2)3131Cp，3510(3)3131Cp455(4)3131Cp，551(5)3131Cp故的分布列为：12345P53110311031531131从而E1531+21031+31031+4531[phone]17（13分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MDABCD平面，NBABCD平面，且MD=NB=1，E为BC的中点（1）求异面直线NE与AM所成角的余弦值（2）在线段AN上是否存在点S，使得ES平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由17.解析：（1）在如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标Dxyz依题意，得1(0,0,0)(1,0,0)(0,0,1),(0,1,0),(1,1,0),(1,1,1),(,1,0)2DAMCBNE。1(,0,1),(1,0,1)2NEAM||||NEAMNEAMNEAM，所以异面直线NE与AM所成角的余弦值为1010.A（2）假设在线段AN上存在点S，使得ES平面AMN.(0,1,1)AN,可设(0,,),ASAN又11(,1,0),(,1,)22EAESEAAS.由ES平面AMN，得0,0,ESAMESAN即10,2(1)0.故12，此时112(0,,),||222ASAS.经检验，当22AS时，ES平面AMN.故线段AN上存在点S，使得ES平面AMN，此时22AS.18、（本小题满分13分）如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinx(A0,0)x[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3，23)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定MNP=120o（I）求A,的值和M，P两点间的距离；（II）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？18.本小题主要考查三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识，考查运算求解能力以及应用数学知识分析和解决实际问题的能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，解法一（Ⅰ）依题意，有23A，34T，又2T，6。23sin6yx当4x是，223sin33y(4,3)M又(8,3)p22435MP（Ⅱ）在△MNP中∠MNP=120°，MP=5，设∠PMN=，则0°60°由正弦定理得00sinsin120sin(60)MPNPMN103sin3NP,0103sin(60)3MN故010310310313sinsin(60)(sincos)33323NPMN0103sin(60)30°60°，当=30°时，折线段赛道MNP最长亦即，将∠PMN设计为30°时，折线段道MNP最长解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）在△MNP中，∠MNP=120°，MP=5，由余弦定理得222cosMNNPMNNP∠MNP=2MP即2225MNNPMNNP故22()25()2MNNPMNNPMNNP,从而23()254MNNP，即1033MNNP当且仅当MNNP时，折线段道MNP最长注：本题第（Ⅱ）问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方式，还可以设计为：①123943(26N，）；②123943(26N，）；③点N在线段MP的垂直平分线上等19、（本小题满分13分）已知A,B分别为曲线C：22xa+2y=1（y0,a0）与x轴的左、右两个交点，直线l过点B,且与x轴垂直，S为l上异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T.(1)若曲线C为半圆，点T为圆弧AB的三等分点，试求出点S的坐标；使得（II）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在a,O,M,S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。19.【解析】解法一：(Ⅰ)当曲线C为半圆时，1,a如图，由点T为圆弧AB的三等分点得∠BOT=60°或120°.(1)当∠BOT=60°时,∠SAE=30°.又AB=2,故在△SAE中,有tan30,(,);SBABst(2)当∠BOT=120°时,同理可求得点S的坐标为(1,23),综上,23(1,)3S或S(1,23)(Ⅱ)假设存在(0)aa,使得O,M,S三点共线.由于点M在以SB为直线的圆上,故BTOS.显然,直线AS的斜率k存在且k0,可