2007年福建高考理科数学试卷及答案详解(文字版)

12007年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（福建卷及详解）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数21(1i)等于（）A．12B．12C．1i2D．1i2解析：=.2．数列{}na的前n项和为nS，若1(1)nann，则5S等于（）A．1B．56C．16D．130解析：=，所以，选B.3．已知集合{}{12}AxxaBxx，，且()ABRRð，则实数a的取值范围是（）A．1a≤B．1aC．2a≥D．2a解析：或，因为，所以，选C.4．对于向量，，abc和实数，下列命题中真命题是（）A．若0ab，则0a=或0b=B．若0a=，则0或0aC．若22ab，则ab或a=bD．若ab=ac，则b=c解析：时也有，故A不正确；同理C不正确；由得不到b=c，如为零向量或与b、c垂直时，选B.25．已知函数()sin(0)fxx的最小正周期为，则该函数的图象（）A．关于点0，对称B．关于直线x对称C．关于点0，对称D．关于直线x对称由函数的最小正周期为得，由得，对称点为（，0）（），当k=1时为（，0），选A.6．以双曲线221916xy的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（）A．221090xyxB．2210160xyxC．2210160xyxD．221090xyx右焦点即圆心为（5，0），一渐近线方程为，即，，圆方程为，即A：，选A.7．已知()fx为R上的减函数，则满足1(1)ffx的实数x的取值范围是（）A．(11)，B．(01)，C．(10)(01)，，D．(1)(1)，，由已知得解得或，选C.8．已知mn，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．mnmn，，∥，∥∥B．mnmn∥，，∥3C．mmnn⊥，⊥∥D．nmnm∥，⊥⊥A中m、n少相交条件，不正确；B中分别在两个平行平面的两条直线不一定平行，不正确；C中n可以在内，不正确，选D.9．把21(1)(1)(1)nxxx展开成关于x的多项式，其各项系数和为na，则21lim1nnnaa→等于（）A．14B．12C．1D．2令=1得=1+2+22+……+2n=，，选D.10．顶点在同一球面上的正四棱柱ABCDABCD中，12ABAA，，则AC，两点间的球面距离为（）A．B．C．24D．22正四棱柱的对角线为球的直径，由得R=1，AC=，所以∠AOC=（其中O为球心）A、C两点间的球面距离为，选B.11．已知对任意实数x，有()()()()fxfxgxgx，，且0x时，()0()0fxgx，，则0x时（）A．()0()0fxgx，B．()0()0fxgx，C．()0()0fxgx，D．()0()0fxgx，由已知为奇函数,图像关于原点对称,在对称区间的单调性相同;为偶函数,在对称区间的单调性相反,时,递增,当时,递增,4;递减,,选B.12．如图，三行三列的方阵中有9个数(123123)ijaij，，；，，，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（）A．37B．47C．114D．1314从中任取三个数共有种取法，没有同行、同列的取法有，至少有两个数位于同行或同列的概率是，选D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置．13．已知实数xy，满足2203xyxyy≥，≤，≤≤，则2zxy的取值范围是________．画出可行域知在（-1，3）取得最小值-5，在（5，3）取得最大值7，范围是[-5，7].14．已知正方形ABCD，则以AB，为焦点，且过CD，两点的椭圆的离心率为______．设c=1，则.15．两封信随机投入ABC，，三个空邮箱，则A邮箱的信件数的数学期望E．ξ的取值有0，1，2，，所以Eξ=111213212223313233aaaaaaaaa516．中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．如果集合A中元素之间的一个关系“”满足以下三个条件：（1）自反性：对于任意aA，都有aa；（2）对称性：对于abA，，若ab，则有ba；（3）传递性：对于abcA，，，若ab，bc，则有ac．则称“”是集合A的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）．请你再列出三个等价关系：______．解析：．答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）在ABC△中，1tan4A，3tan5B．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若ABC△最大边的边长为17，求最小边的边长．解析：(Ⅰ),.又,.(Ⅱ),边最大,即.又,角最小,边为最小边.由且,6得.由得:.所以,最小边18．（本小题满分12分）如图，正三棱柱111ABCABC的所有棱长都为2，D为1CC中点．（Ⅰ）求证：1AB⊥平面1ABD；（Ⅱ）求二面角1AADB的大小；（Ⅲ）求点C到平面1ABD的距离．解析：(Ⅰ)取中点,连结.为正三角形,.正三棱柱中,平面平面,平面.连结,在正方形中,分别为的中点,,.在正方形中,,平面.(Ⅱ)设与交于点,在平面中,作于,连结,由(Ⅰ)得ABCD1A1C1B7平面.,为二面角的平面角.在中,由等面积法可求得,又,.所以二面角的大小为.(Ⅲ)中,,.在正三棱柱中,到平面的距离为.设点到平面的距离为.由得,.点到平面的距离为.(Ⅰ)取中点,连结.为正三角形,.在正三棱柱中,平面平面,平面.取中点,以为原点,,,的方向为轴的正方向建立空间直角8坐标系,则,,,,,,,.,,,.平面.(Ⅱ)设平面的法向量为,.,令得为平面的一个法向量.由(Ⅰ)知平面,为平面的法向量.,9二面角的大小为.(Ⅲ)由(Ⅱ),为平面法向量,.点到平面的距离19．（本小题满分12分）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（35a≤≤）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（911x≤≤）时，一年的销售量为2(12)x万件．（Ⅰ）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值()Qa．解：（Ⅰ）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：2(3)(12)[911]Lxaxx，，．（Ⅱ）2()(12)2(3)(12)Lxxxax(12)(1823)xax．令0L得263xa或12x（不合题意，舍去）．35a≤≤，2288633a≤≤．在263xa两侧L的值由正变负．所以（1）当28693a≤即932a≤时，2max(9)(93)(129)9(6)LLaa．（2）当2289633a≤≤即952a≤≤时，23max2221(6)63126433333LLaaaaa，10所以399(6)32()1943532aaQaaa，≤，，≤≤答：若932a≤，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值()9(6)Qaa（万元）；若952a≤≤，则当每件售价为263a元时，分公司一年的利润L最大，最大值31()433Qaa（万元）．20.（2007年福建理20）如图，已知点F（1，0），直线l：＝－1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且.（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，已知，，求的值.解析：(Ⅰ)设点,则,由得:,化简得.(Ⅱ)设直线的方程为:.11设,,又,联立方程组,消去得:,,故由,得:,,整理得:,,.(Ⅰ)由得:,,12,.所以点的轨迹是抛物线,由题意,轨迹的方程为:.(Ⅱ)由已知,,得.则:.…………①过点分别作准线的垂线,垂足分别为,,则有:.…………②由①②得:,即.21．（本小题满分12分）等差数列{}na的前n项和为1312932nSaS，，．（Ⅰ）求数列{}na的通项na与前n项和nS；（Ⅱ）设()nnSbnnN，求证：数列{}nb中任意不同的三项都不可能成为等比数列．(Ⅰ)由已知得,,故.(Ⅱ)由(Ⅰ)得.假设数列中存在三项(互不相等)成等比数列,则.即.13,.与矛盾.所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列.22．（本小题满分14分）已知函数()exfxkxxR，（Ⅰ）若ek，试确定函数()fx的单调区间；（Ⅱ）若0k，且对于任意xR，()0fx恒成立，试确定实数k的取值范围；（Ⅲ）设函数()()()Fxfxfx，求证：12(1)(2)()(e2)()nnFFFnnN．解析：(Ⅰ)由得,所以.由得,故的单调递增区间是,由得,故的单调递减区间是.(Ⅱ)由可知是偶函数.于是对任意成立等价于对任意成立.由得.①当时,.此时在上单调递增.故,符合题意.②当时,.当变化时的变化情况如下表:14由此可得,在上,.依题意,,又.综合①,②得,实数的取值范围是.(Ⅲ),,,由此得,故.