2006年福建高考数学试题(理科)及答案

第1页2006年福建高考数学试题（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设,,,abcR则复数()()abicdi为实数的充要条件是（A）0adbc（B）0acbd（C）0acbd（D）0adbc（2）在等差数列na中，已知1232,13,aaa则456aaa等于（A）40（B）42（C）43（D）45（3）已知3(,),sin,25则tan()4等于（A）17（B）7（C）17（D）7（4）已知全集,UR且2|12,|680,AxxBxxx则()UCAB等于（A）[1,4)（B）(2,3)（C）(2,3]（D）(1,4)（5）已知正方体外接球的体积是323，那么正方体的棱长等于（A）22（B）233（C）423（D）433（6）在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同。从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于（A）27（B）38（C）37（D）928（7）对于平面和共面的直线m、,n下列命题中真命题是（A）若,,mmn则n∥（B）若m∥,n∥,则m∥n（C）若,mn∥,则m∥n（D）若m、n与所成的角相等，则m∥n（8）函数2log(1)1xyxx的反函数是（A）2(0)21xxyx（B）2(0)21xxyx（C）21(0)2xxyx（D）21(0)2xxyx（9）已知函数()2sin(0)fxx在区间,34上的最小值是2，则的最小值等于第2页（A）23（B）32（C）2（D）3（10）已知双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60o的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（A）(1,2]（B）(1,2)（C）[2,)（D）(2,)（11）已知1,3,.0,OAOBOAOB点C在AOC30o。设(,)OCmOAnOBmnR，则mn等于（A）13（B）3（C）33（D）3（12）对于直角坐标平面内的任意两点1122(,),(,)AxyBxy，定义它们之间的一种“距离”：2121.xxyy给出下列三个命题：①若点C在线段AB上，则;ACCBAB②在ABC中，若90,oC则222;ACCBAB③在ABC中，.ACCBAB其中真命题的个数为（A）0（B）1（C）2（D）3二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。（13）251()xx展开式中4x的系数是＿＿＿＿＿（用数字作答）。（14）已知直线10xy与抛物线2yax相切，则______.a（15）一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2。将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是＿＿＿＿＿。（16）如图，连结ABC的各边中点得到一个新的111,ABC又连结111ABC的各边中点得到222ABC，如此无限继续下去，得到一系列三角形：ABC，111ABC，222ABC，...，这一系列三角形趋向于一个点M。已知(0,0),(3,0),ABxyACB1A1C1B2A2C2BO第3页(2,2),C则点M的坐标是＿＿＿＿。三．解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）已知函数22()sin3sincos2cos,.fxxxxxxR（I）求函数()fx的最小正周期和单调增区间；（II）函数()fx的图象可以由函数sin2()yxxR的图象经过怎样的变换得到？（18）（本小题满分12分）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，2,2.CACBCDBDABAD（I）求证：AO平面BCD；（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；（III）求点E到平面ACD的距离。（19）（本小题满分12分）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：3138(0120).12800080yxxx已知甲、乙两地相距100千米。（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？（20）（本小题满分12分）已知椭圆2212xy的左焦点为F，O为坐标原点。（I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；（II）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，CADBOExylGABFO第4页线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。（21）（本小题满分12分）已知函数2()8,()6ln.fxxxgxxm（I）求()fx在区间,1tt上的最大值();ht（II）是否存在实数,m使得()yfx的图象与()ygx的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。（22）（本小题满分14分）已知数列na满足*111,21().nnaaanN（I）求数列na的通项公式；（II）证明：*122311...().232nnaaannnNaaa第5页2006年高考(福建卷)数学理试题答案一．选择题：本大题考查基本概念和基本运算。每小题5分，满分60分。（1）D（2）B（3）A（4）C（5）D（6）A（7）C（8）A（9）B（10）C（11）B（12）B二．填空题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题4分满分16分。（13）10（14）14（15）49（16）52(,)33三．解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力。满分12分。解：（I）1cos23()sin2(1cos2)22xfxxx313sin2cos22223sin(2).62xxx()fx的最小正周期2.2T由题意得222,,262kxkkZ即,.36kxkkZ()fx的单调增区间为,,.36kkkZ（II）方法一：第6页先把sin2yx图象上所有点向左平移12个单位长度，得到sin(2)6yx的图象，再把所得图象上所有的点向上平移32个单位长度，就得到3sin(2)62yx的图象。方法二：把sin2yx图象上所有的点按向量3(,)122a平移，就得到3sin(2)62yx的图象。（18）本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。满分12分。方法一：（I）证明：连结OC,,.BODOABADAOBD,,.BODOBCCDCOBD在AOC中，由已知可得1,3.AOCO而2,AC222,AOCOAC90,oAOC即.AOOC,BDOCOAO平面BCD（II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知ME∥AB,OE∥DC直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角在OME中，121,1,222EMABOEDCOM是直角AOC斜边AC上的中线，11,2OMAC2cos,4OEM异面直线AB与CD所成角的大小为2arccos.4（III）解：设点E到平面ACD的距离为.hABMDEOC第7页,11....33EACDACDEACDCDEVVhSAOS在ACD中，2,2,CACDAD2212722().222ACDS而21331,2,242CDEAOS31.212.772CDEACDAOShS点E到平面ACD的距离为21.7方法二：（I）同方法一。（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则(1,0,0),(1,0,0),BD13(0,3,0),(0,0,1),(,,0),(1,0,1),(1,3,0).22CAEBACD.2cos,,4BACDBACDBACD异面直线AB与CD所成角的大小为2arccos.4（III）解：设平面ACD的法向量为(,,),nxyz则.(,,).(1,0,1)0,.(,,).(0,3,1)0,nADxyznACxyz0,30.xzyz令1,y得(3,1,3)n是平面ACD的一个法向量。xCABODyzE第8页又13(,,0),22EC点E到平面ACD的距离.321.77ECnhn（19）本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力。满分12分。解：（I）当40x时，汽车从甲地到乙地行驶了1002.540小时，要耗没313(40408)2.517.512800080（升）。答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。（II）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为()hx升，依题意得3213100180015()(8).(0120),1280008012804hxxxxxxx332280080'()[phone]xxhxxxx令'()0,hx得80.x当(0,80)x时，'()0,()hxhx是减函数；当(80,120)x时，'()0,()hxhx是增函数。当80x时，()hx取到极小值(80)11.25.h因为()hx在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值。答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。（20）本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力。满分12分。解：（I）222,1,1,(1,0),:2.abcFlx圆过点O、F，圆心M在直线12x上。设1(,),2Mt则圆半径13()(2).22rxylGABFO第9页由,OMr得2213(),22t解得2.t所求圆的方程为2219()(2).24xy（II）设直线AB的方程为(1)(0),ykxk代入221,2xy整理得2222(12)4220.kxkxk直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根。记1122(,),(,),AxyBxyAB中点00(,),Nxy则21224,21kxxkAB的垂直平分线NG的方程为001().yyxxk令0,y得222002222211.21212124210,0,2GGkkkxxkykkkkkx点G横坐标的取值范围为1(,0).2（21）本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。满分12分。解：（I）22()8(4)16.fxxxx当14,t即3t时，()fx在,1tt上单调递增，22()(1)(1)8(1)67;htfttttt当41,tt即34t时，()(4)16;htf当4t时，()fx在,1tt上单调递减，2()()8.htfttt第10页综上，22