向量法-求二面角的大小

空间向量法---求二面角的大小空间向量法---求二面角的大小“空间向量法”-求二面角的大小，这个方法在这几年高考解题中经常被不少考生运用．运用“空间向量法”---求“二面角的大小”的解题基本步骤：空间向量法---求二面角的大小①建立空间直角坐标系；②求出所需各点的坐标；③求出两个平面的法向量；④求出两个法向量的夹角；⑤写出所求二面角的大小。空间向量法---求二面角的大小①建立空间直角坐标系；②求出所需各点的坐标；③求出两个平面的法向量；④求出两个法向量的夹角；⑤写出所求二面角的大小。运用“空间向量法”---求“二面角的大小”的解题步骤：空间向量法---求二面角的大小①建系；②求坐标；③求法向量；④求夹角；⑤得结论。运用“空间向量法”---求“二面角的大小”的解题步骤：设a=(x,y,z)，则x2+y2+z2|a|=设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则=AB(x2-x1,y2-y1,z2-z1)设a=(a1,a2,a3)，b=(b1,b2,b3)，a1b1+a2b2+a3b3ab⇔a·b=0空间向量法的直角坐标运算的常用公式:则a·b=(1)(2)(3)(4)(5)n1·n2|n1|·|n2|cosn1·n2=【例1】如图，在五面体ABCDEF中,FA⊥平面ABCD,AD∥BC∥FE,AB⊥AD，AF=AB=BC=FE=AD.(1)求二面角A-CD-E的余弦值.BDCFE21A【例1】如图，在五面体ABCDEF中,FA⊥平面ABCD,AD∥BC∥FE,AB⊥AD，AF=AB=BC=FE=AD.(1)求二面角A-CD-E的余弦值.ABDCFE21【例1】如图，在五面体ABCDEF中,FA⊥平面ABCD,AD∥BC∥FE,AB⊥AD，AF=AB=BC=FE=AD.(1)求二面角A-CD-E的余弦值.A11112BDCFE21KA(0,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),E(0,1,1).解：以点A为原点,建立如图的空间直角坐标系,设AD=2,则BADCzyxFE设平面ACD的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),平面CDE的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),另外AF=(0,0,1),(0,-1,1)CE=DE=(-1,0,1)由,得n2·CE=0n2·DE=0又AF⊥平面ABCD∴AF是平面ACD的一个法向量,∴n1=(0,0,1).-x2+z2=0-y2+z2=0得x2=z2y2=z2令z2=1,则n2=(1,1,1),11111【例1】如图，在五面体ABCDEF中,FA⊥平面ABCD,AD∥BC∥FE,AB⊥AD，AF=AB=BC=FE=AD.(1)求二面角A-CD-E的余弦值.21n1·n2|n1|·|n2|∴cosn1·n2=×131=33=由条件知,二面角A-CD-E为锐角，∴所求二面角的余弦值为33211【练习1】如下图,在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,∠ABC=90O,SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1,AD=.(1)求面SCD与面SBA所成二面角的正切值.21ABCDSABCDS11121【练习1】如下图,在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,∠ABC=90O,SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1,AD=.(1)求面SCD与面SBA所成二面角的正切值.21【练习1】如下图,在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,∠ABC=90O,SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1,AD=.(1)求面SCD与面SBA所成二面角的正切值.21ABCDS11121zxyABCDS11121zxy(1)解:以点A为原点,建立如图的空间直角坐标系A-xyz,得:A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),S(0,0,1),设平面SCD的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),由,得n1·SC=0n1·SD=0另外SC=(1,1,-1),SD=(,0,-1),21得y1=-z1x1=2z1令z1=1,则n1=(2,-1,1),x1+y1-z1=0x1-z1=021平面SBA的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),又BC⊥平面SBA∴BC是平面SBA的一个法向量.BC=(1,0,0),∴n2=(1,0,0),D(,0,0)21【练习1】如下图,在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,∠ABC=90O,SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1,AD=.(1)求面SCD与面SBA所成二面角的正切值.21n1·n2|n1|·|n2|∴cosn1·n2=×62=1=36得tanq=22∴所求面SCD与面SBA所成二面角的正切值是22设所求面SCD与面SBA所成二面角的大小为q,由图形知q是锐角,∴cosq=36【练习2】已知点E、F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1、CC1上的点,且BE1=2EB,CF=2FC1.(1)求面AEF与面ABC所成二面角的正切值.【练习3】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠ABC=60O,PA⊥底面ABCD,PA=2,M,N分别为PC,BC的中点.(2)求二面角C-AM-N的大小.(1)证明:AN⊥平面PAD.BDCPMAN【练习3】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠ABC=60O,PA⊥底面ABCD,PA=2,M,N分别为PC,BC的中点.(2)求二面角C-AM-N的大小.(1)证明:AN⊥平面PAD.ABDCPM(1)证明:∵PA⊥底面ABCD,N为BC的中点.∴PA⊥AN又菱形ABCD,∠ABC=60O.∴AN⊥AD∴AN⊥平面PAD又PA∩AD=A,N【练习3】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠ABC=60O,PA⊥底面ABCD,PA=2,M,N分别为PC,BC的中点.(2)求二面角C-AM-N的大小.(1)证明:AN⊥平面PAD.ABDCPM(2)分析:N【练习3】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠ABC=60O,PA⊥底面ABCD,PA=2,M,N分别为PC,BC的中点.(2)求二面角C-AM-N的大小.(1)证明:AN⊥平面PAD.ABDCPM(2)分析:N【练习3】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠ABC=60O,PA⊥底面ABCD,PA=2,M,N分别为PC,BC的中点.(2)求二面角C-AM-N的大小.(1)证明:AN⊥平面PAD.ABDCPM(2)分析:N?⊥平面AMC或C?⊥平面AMNN?⊥平面APC或C?⊥平面AMN或平面C??⊥平面AMN平面N??⊥平面APCNF【练习3】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠ABC=60O,PA⊥底面ABCD,PA=2,M,N分别为PC,BC的中点.(2)求二面角C-AM-N的大小.(1)证明:AN⊥平面PAD.ABDCPM(2)分析:N?⊥平面AMC则NE⊥平面APCE或C?⊥平面AMNN?⊥平面APC或C?⊥平面AMN平面NAC⊥平面APC或平面C??⊥平面AMN平面NAC∩平面APC=AC作NE⊥AC于E,则NF⊥AM作EF⊥AM于F,∠NFE是二面角C-AM-N的一个平面角N(2)求二面角C-AM-N的大小.(1)证明:AN⊥平面PAD.FABDCPME(2)解:∵PA⊥底面ABCD,N为BC的中点.∵PA⊥底面ANC又M为PC的中点,∴PA⊂平面AMC∵底面ANC⊥平面AMC又底面ANC∩平面AMC=AC则NE⊥平面APC作NE⊥AC于E,则NF⊥AM作EF⊥AM于F,∴∠NFE是二面角C-AM-N的一个平面角.【练习3】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠ABC=60O,PA⊥底面ABCD,PA=2,M,N分别为PC,BC的中点.N(2)求二面角C-AM-N的大小.(1)证明:AN⊥平面PAD.FABDCPME(2)解:……∴∠NFE是二面角C-AM-N的一个平面角.∵菱形ABCD的边长为2,∠ABC=60O,PA=2,M,N分别为PC,BC的中点.在△NFE中,可得:tan∠NFE=AMAQ∴NE=32342,EF==32342=63∴二面角C-AM-N的大小是arctan63【练习3】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠ABC=60O,PA⊥底面ABCD,PA=2,M,N分别为PC,BC的中点.N(2)求二面角C-AM-N的大小.(1)证明:AN⊥平面PAD.ABDCPM(2)分析:【练习3】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠ABC=60O,PA⊥底面ABCD,PA=2,M,N分别为PC,BC的中点.如何运用”空间向量法”,求二面角C-AM-N的大小?N(2)求二面角C-AM-N的大小.(1)证明:AN⊥平面PAD.ABDCPMN(2)解:【练习3】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠ABC=60O,PA⊥底面ABCD,PA=2,M,N分别为PC,BC的中点.以点A为原点,建立如图的空间直角坐标系A-xyz,空间向量法---求二面角的大小①建系;②求坐标;③求法向量;④求夹角;⑤得结论.小结运用这个方法解题的五个基本步骤：本节课学习了：求“二面角的大小”的一个方法－“空间向量法”F【练习3】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠ABC=60O,PA⊥底面ABCD,PA=2,M,N分别为PC,BC的中点.(2)求二面角C-AM-N的大小.(1)证明:AN⊥平面PAD.ABDCPMN(2)分析:E