1996年大学生数学建模竞赛试题(最优捕鱼)

1996年大学生数学建模竞赛试题最优捕鱼策略一、问题考虑对某种鱼（鲳鱼）的最优捕捞策略：假设这种鱼分４个年龄组：称１龄鱼，……，４龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07,11.55,17.86,22.99（克）；各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（１/年）；这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条４龄鱼的产卵量为1.109×105(个）；３龄鱼的产卵量为这个数的一半，２龄鱼和１龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后４个月；卵孵化并成活为１龄鱼，成活率（１龄鱼条数与产卵总是n之比）为1.22×10^11/(1.22×10^11+n).渔业管理部门规定，每年只允许在产卵卵化期前的８个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比。比例系数不妨称捕捞强度系数。通常使用１３mm网眼的拉网，这种网只能捕捞３龄鱼和４龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42:1。渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。１）建立数学模型分析如何可持续捕获（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量）。２）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务５年，合同要求鱼群的生产能力不能受到太大的破坏。已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为：122,29.7,10.1,3.29(×109条），如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司采取怎样的策略才能使总收获量最高。二、模型假设1．这种鱼在一年内的任何时间都会发生自然死亡，即死亡是一个连续的过程。2．捕捞也是一个连续的过程，不是在某一时刻突然发生。3．3、4龄鱼在一年中的后4个月的第一天集中一次产卵4．i龄鱼到来年分别长一岁成为i+1龄鱼，i=1，2，3，其中上一年存活下来的4龄鱼到下一年全部死亡。34:::():1,2,3,4(0):1,2,3,4::::3:40.5:3:4:iiTttxttiixiirnfkkmm年份时间间隔时间在时刻龄鱼的条数，每年初龄鱼的条数，自然死亡率年产卵数量年捕捞量龄鱼捕捞强度系数龄鱼捕捞强度系数龄鱼年产卵量龄鱼年产卵量孵化存活率用到的符号三、模型建立问题一模型1．1，2龄鱼及3，4龄鱼后四个月的生长只受自然死亡率的影响，由此可知1，2龄鱼的生长的微分方程满足方程（1）：T年的i龄鱼在T+1年变为i+1龄鱼，2．而对于3，4龄鱼的生长，在前八个月，他们的生长不仅受自然生长率的影响，还受捕捞强度系数的影响。前八个月3、4龄鱼生长的微分方程满足：年捕捞量为：(1)()1rxTexTii则有：4,3)(ixkrdtdxiii320)(320)1()(rkiiiiiexrkkdttxki,1,2,3,4idxrxidt0,i()0xrtxtxei可得：为每年年初龄鱼的数量T：年份r:自然死亡率k：捕捞强度所以年初1龄鱼的总量3．根据以上分析，可以建立非线性规划模型：目标函数：约束条件：22(0.42)()33340.5rkrknmxemxe11111.22*101.22*10n)()1(1TnTx3203204433)(99.22)(86.17maxdttxkdttxk22(0.42)()333412232(*0.423)340.5krkrrrkrnmxemxexnxnexnexne产卵量：卵化存活率：K：捕捞强度T:年份r:自然死亡率问题二模型整个生存过程满足的关系式为)3/2(342312111113/2)3/2(43/2)(3343)()1()()1()()1()1(1022.1)1(1022.1)1()()(2/)1(rkrrrkrketxtxtxetxtxetxtntntxetmxetxmtn四、模型求解问题一求解目标函数为：约束条件：)1)1*5.0(*(*11^10*22.111^10*22.111^10*22.1)8.032()38.828.032()34.628.0(kkkkeeemnn)1(8.099.22)1(8.042.042.086.17max)8,.0(32)342.0*32()42.08,.0(326.1krkkenekkenekk问题一：model:max=17.86*0.42*k/(0.8+0.42*k)*1.22*10^11/(1.22*10^11+n)*n*@exp(-1.6)*(1-@exp(-2/3*(0.8+0.42*k)))+22.99*k/(0.8+k)*1.22*10^11/(1.22*10^11+n)*n*@exp(-0.28*k-2.4)*(1-@exp(-2/3*(0.8+k)));n=1.22*10^11*(1.109*10^5*(0.5*@exp(-0.28*k-6.4/3)+@exp(-(0.28+2/3)*k-8.8/3))-1);x1=n*1.22*10^11/(1.22*10^11+n);x2=@exp(-0.8)*n*1.22*10^11/(1.22*10^11+n);x3=@exp(-1.6)*n*1.22*10^11/(1.22*10^11+n);x4=@exp(-(0.28*k+2.4))*n*1.22*10^11/(1.22*10^11+n);k3=0.42*k;k4=k;end结果：max=0.3887076E+12；k3=7.292429;k4=17.36293;X10.1195994E+12X20.5373946E+11X30.2414670E+11X40.8395523E+08问题二求解第六年1龄鱼数量占第一年1龄鱼数量的比例为：%98%1001.22001.1956%100)1()6(111xxq)3/2(342312111113/2)3/2(43/2)(3343)()1()()1()()1()1(1022.1)1(1022.1)1()()(2/)1(rkrrrkrketxtxtxetxtxetxtntntxetmxetxmtn问题二：x1(1)=1.22*10^11;x2(1)=2.97*10^10;x3(1)=1.01*10^10;x4(1)=3.29*10^9;max(1)=17.86*0.42*17.36/(0.8+0.42*17.36)*x3(1)*(1-exp(-2/3*(0.8+0.42*17.36)))+22.99*17.36/(0.8+17.36)*x4(1)*(1-exp(-2/3*(0.8+17.36)));fort=1:5;n(t+1)=0.5*1.109*10^5*x3(t)*exp(-2/3*(0.42*17.36+0.8))+1.109*10^5*x4(t)*exp(-2/3*(17.36+0.8))；x1(t+1)=1.22*10^11*n(t+1)/(1.22*10^11+n(t+1))x2(t+1)=x1(t)*exp(-0.8)x3(t+1)=x2(t)*exp(-0.8)x4(t+1)=x3(t)*exp(-(2/3*0.42*17.36+0.8))max(t+1)=max(t)+17.86*0.42*17.36/(0.8+0.42*17.36)*x3(t+1)*(1-exp(-2/3*(0.8+0.42*17.36)))+22.99*17.36/(0.8+17.36)*x4(t+1)*(1-exp(-2/3*(0.8+17.36)))end结果：x1=1.0e+11*1.22001.16421.17731.19651.19541.1956x2=1.0e+10*2.97005.48185.23125.28985.37615.3712x3=1.0e+10*1.01001.33452.46312.35052.37692.4156x4=1.0e+09*3.29000.03510.04640.08570.08180.0827max=1.0e+12*0.23410.44870.84431.22281.60541.9942