信号与系统习题课(郑君里)

信号与系统——习题讲解第一章绪论习题1-1分析：模拟：幅值、时间均连续连续量化：幅值离散，时间连续信号抽样：时间离散，幅值连续离散数字：幅值、时间均离散解：（a）连续信号（模拟信号）；（b）连续（量化）信号；（c）离散信号，数字信号；（d）离散信号；（e）离散信号，数字信号；（f）离散信号，数字信号。习题1-4分析：方法一：方法二：方法三：)23()23()2()(tftftftf)23()32(3)3()(tftftftf)23()]2([)()(tftftftf方法一：解：方法二：方法三：习题1-5)()()]([:)()4()()()]([:)()3()()()]([:)()2()()()]([:)()1(0000000000000000attftatfattafatatfattftatfattafatatfattfatatfttaftatfattfatatfttaftatf右移左移右移左移习题1-19分析：对连续时间系统进行仿真，所用的三个基本运算单元器件为加法器、标量乘法器和积分器。解：（1）选取中间变量，使之与激励满足关系：)(tq)(te)()()(0tetqadttdq)()()(0tqatedttdq将式代入原微分方程：)(te)(tq0a)]()([)]()([)()(01000tqatqbtqatqbtratr)]()([)]()([10010tqbtqbatqbtqb)()()(10tqbtqbtr)(te)(tq)(tq0a1b0b)(tr)(tq)(tq1b0b)(tr)(te0a)(tq)(tq1b0b)(tr（2）同（1）。取中间变量，使与满足：)(tq)(tq)(te)()()()(01tetqatqatq将代入原微分方程，得和满足：)(tq)(tr)()()(10tqbtqbtr)(te)(tq)(tq)(tq)(tr1a0a1b将和用方框图实现，得到如下系统仿真框图习题1-20分析：一个线性系统必须满足三个条件：可分解性，即全响应可分解为零输入响应和零状态响应；零输入响应满足线性性；零状态响应满足线性性。这里“线性性”意味着同时满足叠加性和均匀性。若系统起始状态为零，则零输入响应和零状态响应为零，系统的输入和输出满足满足线性性。系统的时不变特性是指当激励延时一段时间t0时，其响应也同样延迟t0,波形的形状不变。系统的因果性是指系统在t0时刻的响应只与t=t0和tt0时刻的输入有关，换言之，如果激励发生在前，响应出现在后，则系统就是因果的。)()()()()()()()](sin[)()()()](sin[)()(22112211222111tuteCtuteCteCteCtutetrtetutetrte由于而)()(2211trCtrC线性的（2）)1()2()()()2()()1()()1()()()1()1()(121211trtututrtututetetututrtutute由于当时而当时，时变的)()()(tutetr由可知，响应只与激励的现在值有关因果的（3）)()]()(sin[)()()()()](sin[)()()()](sin[)()(22112211222111tuteCteCtrteCteCtutetrtetutetrte)()](sin[)()](sin[)()(22112211tuteCtuteCtrCtrC非线性的由于而当激励为时，响应)(0tte)()()](sin[)()](sin[)(000101ttrttuttetuttetr时变的)()](sin[)(tutetr由可知，响应只与激励的现在值有关因果的（8）deCeCteCteCdetrtedetrtettt52211221152225111)()([)()()()()()()()()()()()(2211552211trCtrCdeCdeCt由于而线性的dtettet500)()(at0)0(505)()()(0ttttttrdaaedaae时变的detrt5)()(由于对于令t=1,有der5)()1(输出与未来时刻的输入有关非因果的习题1-21分析：若系统在不同激励信号作用产生不同的响应，则该系统是可逆的。两个互逆系统的冲击响应和满足关系。)(1th)(2th)()()(21tthth解：（2）该系统不可逆。当（，且均为常数）时，即不同的激励产生相同的的响应，不满足一一对应的关系。则系统不可逆。(3)该系统可逆。微分运算和积分运算是互逆的运算。逆系统为,)(,)(2211CteCte21CC)()(tedtdtr习题1-23解：因为系统起始时刻系统无储能，所以响应就是零状态响应。由LTI系统的微分性质，即若当激励为时产生的响应为，则当激励为时产生的响应为有)(te)(trdttde)(dttdr)(dttuedtrttetuetrtutett)]([)()()()()()()(2211)()()()(tuettetuettt第二章连续时间系统的时域分析习题2-4（1）系统的特征方程：特征根为：零输入响应的形式：将代入上式，求出常数：0222jj1,121)sincos()(21tAtAetrtzi)0(t2)0(,1)0(rr3121AA求出的零输入响应)sin3(cos)(ttetrtzi)0(t习题2-5分析：当系统用微分方程表示时，系统的状态到状态有没有跳变，取决于微分方程右端是否包含及其各阶导数。解（2）将代入原方程，得微分方程右端包含，因而在处没有跳变。用冲激函数匹配法确定。由微分方程右端存在3，所以左端必定含3。所以在时刻有存在表示到单位跳变函数，即00)(t)()(tute)(3)(2)(ttrtrdtd)(t)(tr0t)0(r)(t)(trdtd)(t)(tr0t)(3tu)(tu003)0()0(rr3)0(3)0(rr习题2-6解：（2）用经典法求全响应。首先用函数平衡法确定和。)(t)0(r)0(r将代入原方程，有：)()(3tuetet)()(3)()(3)(2)(3)(33ttuettuetrtrtrtt方程右端包含因而)(t)()()()()(tuatrtubtatr将代入，由平衡方程两边的系数。可得)(t1a因而1)0()0(rr31)0()0(rr1)0()0(rr由于0,)(3tetet故设特解0,)(3tCetrtp代入原微分方程03329933333tttttCeCeCeCeCe所以得0C0)(trp特征方程为:0232特征根为：2,1210,)(221teDeDtrtth齐次解为：0,)()()(221teDeDtrtrtrtthp全响应为：3)0(,1)0(rr将初始条件代入上式4,521DD0,45)(2teetrtt故全响应：零输入响应：2,1023212特征方程：特征根：1)0()0(2)0()0(0,)(221zizizizittzirrrrteAeAtr0,34)(3,4221teetrAAttzi零输入响应：ttttzizseeeettrtr223445)(r-)()(全响应0,2teett零状态响应：习题2-9解：（2）系统的阶跃响应满足方程：)()()()()()()(22tuttutudtdtgtgdtdtgdtd0)0()0(gg起始状态：0,)()2321()2321(tBeAAetgtjtj其解的形式为：0t对代入方程，得1B利用冲激函数匹配法求。设)0(),0(gg)()()()()(tuatgtubtatg代入方程：1a1)0()0(agg因而：因为包含的均为连续项)(tg0)0()0(gg将1)0(,0)0(gg代入，有1)2321()2321(01AjAjAAjAjA32121,32121)(]1)23sin(31)23cos([)(2121tutetetgtt)()]23sin(31)23cos([)(2121tutetethtt因而系统阶跃响应：冲激响应dttdgth)()(系统的冲激响应：习题2-12解：（1）)()()()(12tedtdtudtdtte因为：)()(12trdtdtrzszs所以：)()()()()(2)()()(2111ttrtrtrtuetrtrtrzszizstzi根据题意：-得：)(2)()()(11tuettrtrtzszs)()121()()1(1tptrpzs引入算子P：)()111111()(1tppptrzs)()(11tuetpt将上式代入：)()(tuetrtzi（2）由于)()(2tte)()()()()(12tuettrthtrtzszs当)()(3tuetet时，))()(()()()()(33tuettuethtetrttzs)()(tutetuett)()2()()()(33tuettrtrtrtzszi所以全响应：习题2-13分析：卷积具有以下有用性质：dttdfdfdfdttdftftfttftttftfttftt)(])([])([)()()()()()()()()(21212100除以上这些性质外：卷积还满足交换律、结合律和分配律。解：（1）利用性质])([)()()(2121dfdttdftftft)(]11[)(tuett)(]1[1tuet（2）利用性质)45cos()45cos()()()(21wtwtttftf（5）根据卷积定理的定义得到dtueutftft)()()sin()()()(21dett0)(sin因为为的虚部，所以可先考虑积分tsintjtejtsincosdeettj0)(再取其虚部。]1[1)(0)(0)(tjttjtttjejedeedee)(]1cossin1sincos[22tuettjetttt因此)(1cossin)()(221tuetttftft习题2-21解：（1）根据题意：是因果信号，是时限的因果信号)(th)(te且：)()()(tethtr由卷积积分的图解过程可知，当时，2tttttdeetuetuetr0)(22)()()(ttee2当时，2t)2()()]2()