平行线分线段成比例培优

14.2平行线分线段成比例知识梳理平行线分线段成比例定理及其推论1.平行线分线段成比例定理：三条_________截两条直线，所得的________线段的比________。如下图，如果1l∥2l∥3l，则BCEFACDF，ABDEACDF，ABACDEDF.2.平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的_______线段的比_________.如图，在三角形中，如果DEBC∥，则ADAEDEABACBC3.平行的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例，那么这条直线于三角形的第三边。如上图，如果有BCDEACAEABAD，那么DE∥BC。专题讲解专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】如图，DEBC∥，且DBAE,若510ABAC，，求AE的长。【例2】如图，已知////ABEFCD，若ABa，CDb，EFc，求证：111cab.【巩固】如图，ABBD，CDBD，垂足分别为B、D，AC和BD相交于点E，EFBD，垂足为F.证明：111ABCDEF.【巩固】如图，找出ABDS、BEDS、BCDS之间的关系，并证明你的结论.【例3】如图，在梯形ABCD中，ABCD∥，129ABCD，，过对角线交点O作EFCD∥交ADBC，于EF，，求EF的长。【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD中，ADBC∥，ADaBCbEF，，，分别是ADBC，的中点，AF交BE于P，CE交DF于Q，求PQ的长。l3l2l1FEDCBAABCDEEDCBAEDCBAFEDCBAFEDCBAFEDCBAOFEDCBAQPFEDCBA2专题二、定理及推论与中点有关的问题（1）如图（1），在ABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，且14AEAB，连接EM并延长，交BC的延长线于D，则BCCD_______.（2）如图（2），已知ABC中，:1:3AEEB，:2:1BDDC，AD与CE相交于F，则EFAFFCFD的值为（）A.52B.1C.32D.2例4、如图，在ABC中，D为BC边的中点，E为AC边上的任意一点，BE交AD于点O.（1）当1A2AEC时，求AOAD的值；（2）当11A34AEC、时，求AOAD的值；（3）试猜想1A1AECn时AOAD的值，并证明你的猜想.【例4】如图，AD是ABC的中线，点E在AD上，F是BE延长线与AC的交点.（1）如果E是AD的中点，求证：12AFFC；（2）由（1）知，当E是AD中点时，12AFAEFCED成立，若E是AD上任意一点（E与A、D不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BEAC，延长BE交AC于F。求证：AFEF。【例5】（宁德市中考题）如图，ABC中，D为BC边的中点，延长AD至E，延长AB交CE的延长线于P。若2ADDE，求证:3APAB。【巩固】（济南市中考题；安徽省中考题）如图，ABC中，若11DE，分别是ABAC，的中点，则1112DEa；若22DE、分别是11DBEC、的中点，则2213224aDEaa；若33DE、分别是22DBEC、的中点，则33137248DEaaa；EDCBAOEnDnE3D3E2D2E1D1CBA(1)MEDCBA(2)FEDCBAFEDCBAFEDCBAPEDCBA3…………若nnDE、分别是-1-1nnDBEC、的中点，则nnDE_________.专题三、利用平行线转化比例【例6】如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，直线l平行于BD，且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P.求证：PMPNPRPS【巩固】已知，如图，四边形ABCD，两组对边延长后交于E、F，对角线BDEF∥，AC的延长线交EF于G．求证：EGGF．【例7】已知：P为ABC的中位线MN上任意一点，BP、CP的延长线分别交对边AC、AB于D、E，求证：1ADAEDCEB【例8】在ABC中，底边BC上的两点E、F把BC三等分，BM是AC上的中线，AE、AF分别交BM于G、H两点，求证：::5:3:2BGGHHM【例9】如图，M、N为ABC边BC上的两点，且满足BMMNNC，一条平行于AC的直线分别交AB、AM和AN的延长线于点D、E和F.求证：3EFDE.【例10】已知：如图，在梯形ABCD中，//ABCD，M是AB的中点，分别连接AC、BD、MD、MC，且AC与MD交于点E，DB与MC交于F.lSRPNMODCBAGFECDBAPNMEDCBAMHGFECBAFNMEDCBAFEMDCBA4（1）求证：//EFCD（2）若ABa,CDb，求EF的长.【巩固】（山东省初中数学竞赛题）如图，在梯形ABCD中，ADBC∥，396ADBCAB，，,4CD，若EFBC∥，且梯形AEFD与梯形EBCF的周长相等，求EF的长。【例11】（山东省竞赛题）如图，ABCD的对角线相交于点O，在AB的延长线上任取一点E，连接OE交BC于点F，若ABaADcBEb，，,求BF的值。【例12】已知等腰直角ABC中，E、D分别为直角边BC、AC上的点，且CECD，过E、D分别作AE的垂线，交斜边AB于L，K．求证：BLLK．家庭作业【习题1】如已知DEAB∥，2OAOCOE，求证：ADBC∥.【习题2】在ABC中，BDCE，DE的延长线交BC的延长线于P，求证：ADBPAECP.【习题3】如图，在ABC的边AB上取一点D，在AC取一点E，使ADAE，直线DE和BC的延长线相交于P，求证：BPBDCPCEPEDCBAFEDCBAOFEDCBALKEDCBADOECBAPEDCBA