平行线分线段成比例培优

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14.2平行线分线段成比例知识梳理平行线分线段成比例定理及其推论1.平行线分线段成比例定理:三条_________截两条直线,所得的________线段的比________。如下图,如果1l∥2l∥3l,则BCEFACDF,ABDEACDF,ABACDEDF.2.平行线分线段成比例定理的推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线),所得的_______线段的比_________.如图,在三角形中,如果DEBC∥,则ADAEDEABACBC3.平行的判定定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例,那么这条直线于三角形的第三边。如上图,如果有BCDEACAEABAD,那么DE∥BC。专题讲解专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】如图,DEBC∥,且DBAE,若510ABAC,,求AE的长。【例2】如图,已知////ABEFCD,若ABa,CDb,EFc,求证:111cab.【巩固】如图,ABBD,CDBD,垂足分别为B、D,AC和BD相交于点E,EFBD,垂足为F.证明:111ABCDEF.【巩固】如图,找出ABDS、BEDS、BCDS之间的关系,并证明你的结论.【例3】如图,在梯形ABCD中,ABCD∥,129ABCD,,过对角线交点O作EFCD∥交ADBC,于EF,,求EF的长。【巩固】(上海市数学竞赛题)如图,在梯形ABCD中,ADBC∥,ADaBCbEF,,,分别是ADBC,的中点,AF交BE于P,CE交DF于Q,求PQ的长。l3l2l1FEDCBAABCDEEDCBAEDCBAFEDCBAFEDCBAFEDCBAOFEDCBAQPFEDCBA2专题二、定理及推论与中点有关的问题(1)如图(1),在ABC中,M是AC的中点,E是AB上一点,且14AEAB,连接EM并延长,交BC的延长线于D,则BCCD_______.(2)如图(2),已知ABC中,:1:3AEEB,:2:1BDDC,AD与CE相交于F,则EFAFFCFD的值为()A.52B.1C.32D.2例4、如图,在ABC中,D为BC边的中点,E为AC边上的任意一点,BE交AD于点O.(1)当1A2AEC时,求AOAD的值;(2)当11A34AEC、时,求AOAD的值;(3)试猜想1A1AECn时AOAD的值,并证明你的猜想.【例4】如图,AD是ABC的中线,点E在AD上,F是BE延长线与AC的交点.(1)如果E是AD的中点,求证:12AFFC;(2)由(1)知,当E是AD中点时,12AFAEFCED成立,若E是AD上任意一点(E与A、D不重合),上述结论是否仍然成立,若成立请写出证明,若不成立,请说明理由.【巩固】(天津市竞赛题)如图,已知ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上的一点,且BEAC,延长BE交AC于F。求证:AFEF。【例5】(宁德市中考题)如图,ABC中,D为BC边的中点,延长AD至E,延长AB交CE的延长线于P。若2ADDE,求证:3APAB。【巩固】(济南市中考题;安徽省中考题)如图,ABC中,若11DE,分别是ABAC,的中点,则1112DEa;若22DE、分别是11DBEC、的中点,则2213224aDEaa;若33DE、分别是22DBEC、的中点,则33137248DEaaa;EDCBAOEnDnE3D3E2D2E1D1CBA(1)MEDCBA(2)FEDCBAFEDCBAFEDCBAPEDCBA3…………若nnDE、分别是-1-1nnDBEC、的中点,则nnDE_________.专题三、利用平行线转化比例【例6】如图,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,直线l平行于BD,且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P.求证:PMPNPRPS【巩固】已知,如图,四边形ABCD,两组对边延长后交于E、F,对角线BDEF∥,AC的延长线交EF于G.求证:EGGF.【例7】已知:P为ABC的中位线MN上任意一点,BP、CP的延长线分别交对边AC、AB于D、E,求证:1ADAEDCEB【例8】在ABC中,底边BC上的两点E、F把BC三等分,BM是AC上的中线,AE、AF分别交BM于G、H两点,求证:::5:3:2BGGHHM【例9】如图,M、N为ABC边BC上的两点,且满足BMMNNC,一条平行于AC的直线分别交AB、AM和AN的延长线于点D、E和F.求证:3EFDE.【例10】已知:如图,在梯形ABCD中,//ABCD,M是AB的中点,分别连接AC、BD、MD、MC,且AC与MD交于点E,DB与MC交于F.lSRPNMODCBAGFECDBAPNMEDCBAMHGFECBAFNMEDCBAFEMDCBA4(1)求证://EFCD(2)若ABa,CDb,求EF的长.【巩固】(山东省初中数学竞赛题)如图,在梯形ABCD中,ADBC∥,396ADBCAB,,,4CD,若EFBC∥,且梯形AEFD与梯形EBCF的周长相等,求EF的长。【例11】(山东省竞赛题)如图,ABCD的对角线相交于点O,在AB的延长线上任取一点E,连接OE交BC于点F,若ABaADcBEb,,,求BF的值。【例12】已知等腰直角ABC中,E、D分别为直角边BC、AC上的点,且CECD,过E、D分别作AE的垂线,交斜边AB于L,K.求证:BLLK.家庭作业【习题1】如已知DEAB∥,2OAOCOE,求证:ADBC∥.【习题2】在ABC中,BDCE,DE的延长线交BC的延长线于P,求证:ADBPAECP.【习题3】如图,在ABC的边AB上取一点D,在AC取一点E,使ADAE,直线DE和BC的延长线相交于P,求证:BPBDCPCEPEDCBAFEDCBAOFEDCBALKEDCBADOECBAPEDCBA

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