北京市高二上学期期末考试理科数学试题-有答案

怀柔区高二年级第一学期期末统一考试数学理科试卷2016.1(考试时间120分钟满分150分)第一部分(选择题共40分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)1．命题p:,1Rxx的否定是A.:,1RpxxB.:,1RpxxC.:,1RpxxD.:,1Rpxx2．双曲线2214xy的实轴长为A．3B．4C．5D．123．点(1,2)P到直线86150xy的距离为A．2B．72C．12D．1[_科_网Z_X_X_K]4．若直线220axy与直线320xy平行，则a的值为A．3B．23C．6D．325．下列四个命题中错误．．的个数是①垂直于同一条直线的两条直线相互平行②垂直于同一个平面的两条直线相互平行③垂直于同一条直线的两个平面相互平行④垂直于同一个平面的两个平面相互平行A.1B.2C.3D.46．“平面内一动点P到两个定点的距离的和为常数”是“平面内一动点P的轨迹为椭圆”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．已知点(,)Pxy为圆C:22680xyx上的一点，则22xy的最大值是A.2B.4C.9D.168．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB//CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4（俯视图）2（左视图）22（主视图）A.1B.2C.3D.4第二部分(非选择题共110分)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把正确答案填在答题卡上)9．直线21yx的斜率为．10．命题“若12x，则11x”的逆命题是__________________．11．抛物线24xy的焦点坐标是__________．12．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于．13．一个球的体积在数值上等于其表面积的2倍，则该球半径为________．14．平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1，0)的距离和到直线x＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P(－1，0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是_________．三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请写在答题卡上)15．(本小题满分13分)已知正方形ABCD的边长为2，PA平面ABCD，且PA=2，E是PD中点．以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz．(Ⅰ)求点,,,,,ABCDPE的坐标；(Ⅱ)求||CE．16．(本题满分13分)已知点(0,6)A，(1,5)B，且D为线段AB的中点．(Ⅰ)求中点D的坐标；(Ⅱ)求线段AB的垂直平分线的方程．17．(本题满分13分)如图，正四棱柱1111ABCDABCD中，124AAAB，点E在1CC上且ECEC31．(Ⅰ)证明：1AC平面BED；(Ⅱ)求向量1ACuuur和1DCuuur所成角的余弦值．18．(本小题共13分)已知直线l经过点(2,1)和点(4,3).(Ⅰ)求直线l的方程；(Ⅱ)若圆C的圆心在直线l上，并且与y轴相切于(0,3)点，求圆C的方程．[:网]19．(本小题满分14分)如图，PA矩形ABCD所在的平面，M，N分别是PC，AB的中点，且2PAABAD．(I)求证:MNCD；(II)求二面角PABM的余弦值大小；(III)在线段AD上是否存在一点G，使GMPBC平面？若不存在，说明理由；若存在，确定点G的位置．20．(本小题满分14分)已知椭圆12222byax:C(0ba)的离心率为22，椭圆的四个顶点所围成菱形的面积为28．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)四边形BCDA的顶点在椭圆C上，且对角线BDAC,均过坐标原点O，若21BDACkk．(1)求OBOA的取值范围；(2)证明：四边形BCDA的面积为定值．CDABPMN参考答案及评分标准2016.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9.210.若11x，则12x11.(0,1)12.413.614.(－∞，－1)∪(1，＋∞)三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．(本小题满分13分)解：(Ⅰ)由题意有：0,0,0A，2,0,0B，2,2,0C0,2,0D，0,0,2P，0,1,1E--------------------6分(Ⅱ)∵(0,1,1),(2,2,0)AEACuuuruuur，∴(2,1,1)CEAEAC，∴22||(2)(1)16CE------------------------13分16．(本题满分13分)解：(Ⅰ)因为点(0,6)A，(1,5)B，所以线段AB的中点D的坐标为111(,)22．----------------------6分(Ⅱ)直线AB的斜率56110ABk，因此线段AB的垂直平分线的方程是111()22yx，即50xy．--------------------------------------------------------------13分17．(本题满分13分)解:(Ⅰ)以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系Dxyz．题号123[:网]45678答案ABCCBBDD则(000)D，，，1(220)(020)(021)(204)BCEA，，，，，，，，，，，，1(024)C，，．XK](021)(220)DEDB，，，，，，1(224)ACuuur，，．因为01DBCA，01DECA，故1ACDB，1ACDE．又DBDED，所以1AC平面DBE．-----------------------------------6分(Ⅱ)1(224)ACuuur，，，1DCuuur(024)，，111111cos,||||ACDCACDCACDCuuuruuuruuuruuuruuuruuur3010----------------13分18．(本小题共13分)解：(Ⅰ)由已知，直线l的斜率31142k，所以，直线l的方程为10xy.-----------------------------------6分(Ⅱ)因为圆C的圆心在直线l上，可设圆心坐标为(,1)aa，因为圆C与y轴相切于(0,3)点，所以圆心在直线3y上.所以4a.所以圆心坐标为(4,3)，半径为4.所以，圆C的方程为22(4)(3)16xy.------------------------------13分[:学§科§网]19．(本小题满分14分)(I)如图建立空间直角坐标系Axyz，则(0,0,0)A，(2,0,0)B，(2,1,0)C，(0,1,0)D，(0,0,2)P，1(1,,1)2M，(1,0,0)N---------------2分1(0,,1)2MN，(2,0,0)DC--------------3分因为0MNDC，所以MNCD.----------------------------------5分xyzCDABPMN(II)(2,0,0)AB，1(1,,1)2AM设平面MAB的一个法向量为(,,)xyzn则00ABAMnn，即0102xxyz，令2y，则(0,2,1)n.又平面PAB的一个法向量为(0,1,0)m.cos,nmnmnm255故二面角PABM的余弦值为255.-----------------------------10分(III)假设存在一点G，使GMPBC平面.设(0,,0)G(01)则1(1,,1)2GM，(0,1,0)BC，(2,1,2)PC.由00GMPCGMBC，即10212202，解得1(0,1)2.-故线段AD上存在中点1(0,,0)2G，使GMPBC平面.----------------14分20．(本小题满分14分)解：(I)由已知，22228222122abc,ba,ac于是8222a,b,c所以椭圆的方程为14822yx-----------------------------------------------5分(II)当直线AB的斜率不存在时，2OAOB.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为mkxy，设),(),,(2211yxByxA联立8222yxmkxy，得0824)21(222mkmxxk2222244(12)(28)8840kmkmkm（）22212212182214kmxxkkmxx(24m)∵oAoBACBDkkkk212121xxyy12222212121421822121kmkmxxyy2212122121)())((mxxkmxxkmkxmkxyy=222222142182mkkmkmkmk222812mkk或22222218214kkmkm2228)4(kmm2242km-------------9分2121yyxxOBOA2222222222844424421212121212mmmkkkkkk2242OAOB，且OBOA的最大值为2因此，2,0)(0,2OAOB------------------------------------------10分(ii)设原点到直线AB的距离为d，则22442)4(16642||218242142||4)(2||1||||121||212222222222212212122mkmmmkmkmkkmmxxxxmkmxxkdABSAOB284AOBABCDSS四边形为定值．---------------------------------------14分