排列组合的策略

从n个不同元素中,任取m个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.2.组合的定义:从n个不同元素中,任取m个元素,并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.3.排列数公式:4.组合数公式:1.排列的定义:)!(!)1()2)(1(mnnmnnnnAmn排列与组合的区别与联系:与顺序有关的为排列问题,与顺序无关的为组合问题.)!(!!!)1()2)(1(mnmnmmnnnnAACmmmnmn(3)记忆口诀:相邻元素捆绑法,相离问题插空法,定序问题属组合,定元、定位优先排,至多、至少间接法,选排问题先选后排,部分符合淘汰法.一.特殊元素和特殊位置优先法例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置先排末位共有___然后排首位共有___最后排其它位置共有___13C13C14C14C34A34A由分步计数原理得=28813C14C34A位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法。7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？25451440AA练习题（1）0,1,2,3,4,5这六个数字可组成多少个无重复数字的五位数？（2）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字的五位奇数？练习2二.相邻元素捆绑法例2.7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.甲乙丙丁由分步计数原理可得共有种不同的排法55A22A22A=480解：要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.练习题5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有多少种不同的排法?3366AA共有=4320种不同的排法.例3用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重复数字的三位数，其中1不在个位的数共有_______种。三、总体淘汰法(间接法）对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合要求的减去，此时应注意既不能多减又不能少减。分析：五个数组成三位数的全排列有个，0排在首位的有个，1排在末尾的有，减掉这两种不合条件的排法数，再加回百位为0同时个位为1的排列数（为什么？）故共有种。392132435AAA（1）三个男生，四个女生排成一排，甲不在最左，乙不在最右，有几种不同方法？（2）五人从左到右站成一排，其中甲不站排头，乙不站第二个位置，那么不同的站法有（）A.120B.96C.78D.72直接练习3四、.不相邻问题插空法例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有种，55A第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种不同的方法46A由分步计数原理,节目的不同顺序共有种55A46A相相独独独元素不相邻问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（）30练习题（1）三个男生，四个女生排成一排，男生、女生各站一起，有几种不同方法？〈2〉三个男生，四个女生排成一排，男生之间、女生之间不相邻，有几种不同排法？捆绑法：插空法：〈3〉如果有两个男生、四个女生排成一排，要求男生之间不相邻，有几种不同排法？插空法：练习4五.定序问题倍缩空位插入法例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少种不同的排法解:（空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙丙共有种坐法，则共有种方法47A147A思考:可以先让甲乙丙就坐吗?（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有方法4*5*6*7练习题期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有多少种不同的安排顺序?9921A(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7733AA定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插入模型处理例6有4名男生，3名女生。3名女生高矮互不等，将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？（五）顺序固定问题用“除法”对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数.所以共有种。473377AAA分析：先在7个位置上作全排列，有种排法。其中3个女生因要求“从矮到高”排，只有一种顺序故只对应一种排法，33A77A（1）五人排队，甲在乙前面的排法有几种？练习5〈2〉三个男生，四个女生排成一排，其中甲、乙、丙三人的顺序不变，有几种不同排法？分析：若不考虑限制条件，则有种排法，而甲，乙之间排法有种，故甲在乙前面的排法只有一种符合条件，故符合条件的排法有种.六.重排问题求幂法例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有种分法.7把第二名实习生分配到车间也有7种分法，依此类推,由分步计数原理共有种不同的排法67一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为种nm某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法（）87练习题七.排列组合混合问题先选后排例6.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有__种方法.再把5个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有_____种方法.25C44A根据分步计数原理装球的方法共有_____25C44A解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.练习题一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有________种192八.元素相同问题隔板法例7.（1）有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有___________种分法。一班二班三班四班五班六班七班69C将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用块隔板，插入n个元素排成一排的个空隙中，所有分法数为11mnCm-1n-1例7.（2）有10个运动员名额，分给7个班，有些班级可以把名额让给其它班,有多少种分配方案？616C例7.（2）有10个运动员名额，分给7个班，有些班级可以把名额让给其它班,有多少种分配方案？616C将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份可以没有元素,可以用块隔板，插入n个元素和m-1块板共n+m-1个位置中，所有分法数为m-111mmnC练习题（1）10个相同的球装在5个盒中,每盒至少一个，有多少种装法？49C（2）10个相同的球装在5个盒中,盒可空，有多少种装法？414C九.平均分组问题除法例8.6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？解:分三步取书得种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),则中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有种取法,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有种分法。222642CCC222642CCC33A222642CCC33A平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以(n为均分的组数)避免重复计数。nnA1.将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队,有多少分法？544138422CCCA2.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为______2226422290ACCA练习题十.合理分类与分步策略例9.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能够唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法?解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。以只会唱歌的5人是否选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有____种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员________种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有____种，由分类计数原理共有______________________种。2233CC112534CCC2255CC2233CC112534CCC2255CC++本题还有如下分类标准：*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准*以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准*以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准都可经得到正确结果解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有_______34练习题十一.构造模型法例10.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有________种35C一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决练习题某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？120十一.实际操作穷举法例11.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,23,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,.有多少投法解：从5个球中取出2个与盒子对号有_____种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5号球,3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法3号盒4号盒5号盒34525C十一.实际操作穷举策略例11.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,23,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,.有多少投法解：从5个球中取出2个与盒子对号有_____种还剩下3球3盒序号不能对应，25C利用实际操作法，如果剩下3,4,5号球,3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法,25C同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有2种对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果练习题1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？(9)2.给图中区域涂色,要求相邻区域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有____种2134572我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?练习题1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有_______34练习题2.3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人,2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船,这3人共有多少乘船方法.27十二。分排问题用“直排法”把n个元素排成若干排的问题，若没有其他的特殊要求，可采用统一排成一排的方法来处