第十讲---培优--------矩形性质与判定应用辅导

1/6第十讲矩形性质与判定培优竞赛辅导一、知识梳理1、矩形的定义：2、矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质对称性：．矩形的性质定理①：．矩形的性质定理②：．推论：①直角三角形斜边上的中线等于．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则AB边上的中线CD＝______．②直角三角形中，的角所对的直角边等于．3、矩形的判定判定①：是矩形．判定②：是矩形．判定③：是矩形．基础巩固1、下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（）A、对边相等B、对角相等C、对角线相等D、对边平行2、矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠AOB＝60°，AC＝10cm，则AB＝______cm，BC＝______cm．3、P是矩形ABCD内一点，PA=3，PB=4，PC=5，则PD=______.4、矩形邻边之比3∶4，对角线长为10cm，则周长为_____．5、矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线是13cm，那么矩形的周长是____________6、在矩形ABCD中，点E为AB边的中点，且DE⊥CE，若矩形的周长为30，则AB=_______,AD=_______.7、如图矩形ABCD对角线AC、BD交于O，AEBD于E，31DAEBAE∶∶，则EAC__．8、如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连结CE，则CE的长______．9、如图在矩形ABCD中，已知AD＝12，AB＝5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，则PE＋PF＝__________．10、如图矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，求∠BOE的度数．EODCBA2/6二、经典例题矩形的性质【例1】已知：如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，BE∶ED＝1∶3，从两条对角线的交点O作OF⊥AD于F，且OF＝2，求BD的长．【变式题组】1、如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE＝AD，DF⊥AE与F，连接DE．求证：DF＝DC．2、如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：PA＝PQ．ABCDQPABCDEF3/6ABCEFD【例2】已知：如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AEC＝90°．求证：△BED是直角三角形．【变式题组】1、矩形ABCD，E是CB延长线上一点，且CE＝CA，F是AE的中点．求证：DF⊥BF．矩形的判定【例3】已知：如图，在□ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别是∠DAB、∠ABC、∠BCD、∠CDA的平分线，AQ与BN相交于P，CN与DQ相交于M，试说明四边形MNPQ是矩形．4/6【变式题组】1、如图，在ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AFBD，连结BF．⑴求证：BDCD．⑵如果ABAC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．2、如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F。①求证：EO=FO；②当O点运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说明理由。三、矩形与折叠【例】如图所示，四边形OABC是矩形，点D在OC边上，以AD为折痕，将△OAD向上翻折，点O恰好落在BC边上的点E处，若△ECD的周长为12，△EBA的周长为36，⑴矩形OABC的周长为_______；⑵若点A坐标为(15，0)，求线段AD所在直线的解析式．ABCEDOxyFEDCBA5/6【变式题组】⑴观察与发现：讲矩形纸片AOCB折叠，使点C与点A重合，点B落在点B＇处(如图1)，折痕为EF．小明发现△AEF为等腰三角形，你同意吗？请说明理由．⑵实验与应用：以点O为坐标原点，分别以矩形的边OC、OA为x轴、y轴建立如图所示的直角坐标系，若顶点B的坐标为(9，3)，请求出折痕EF的长．培优升级检测1、如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD＝2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B＝______°。2、矩形ABCD中，将它沿对角线折叠，使点C落在点F处，若∠ABE=60°，则∠DBC=;若AB=4，BC=8那么图中阴影部分的面积是．3、已知，如图，在ABC中，ABAC，AD是BC边上的高，AF是BAC的外角平分线，DE∥AB交AF于E，试说明四边形ADCE是矩形．ABCFEB＇OABCFEB＇Oyx图1图2321FEDCBA6/64、已知：如图，在四边形ABCD中，AC、BD互相平分于点O，∠AEC＝∠BED＝90°．求证：四边形ABCD是矩形．5、如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．（1）若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q两点之间的距离是多少cm？（2）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？（3）若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？