平面的法向量与平面的向量表示

3.23.2.2平面的法向量与平面的向量表示理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二第三章空间向量与立体几何考点三返回返回3．2.2平面的法向量与平面的向量表示返回若l1，l2是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，且l1⊥α，l2⊥β.问题1：若l1∥l2，则α与β有什么位置关系？提示：α∥β.问题2：若l1⊥l2，则α、β有什么位置关系？提示：α⊥β.返回1．平面的法向量已知平面α，如果向量n的基线与平面α，则向量n叫做平面α的法向量或说向量n与平面α正交．2．平面的向量表示式设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，适合条件·n＝0的点M构成的图形是过点A并且与向量n垂直的，通常称为一个平面的向量表示式．垂直平面AM·n＝0返回3．两平面平行、垂直的判定设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则①α∥β或α与β重合⇔；②α⊥β⇔⇔．4．正射影与三垂线定理(1)正射影：已知平面α和一点A，过点A作α的垂线l与α相交于点A′，则A′就是点A在平面α内的，简称．n1∥n2n1⊥n2n1.n2=0正射影射影返回(2)三垂线定理：如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的垂直，则它也和这条斜线垂直．(3)三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在平面内的垂直．射影射影返回1．用向量法证明线线、线面、面面之间的垂直关系，主要是找出直线的方向向量、平面的法向量之间的关系，因此求直线的方向向量及平面的法向量是解题关键．2．一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可以根据需要进行选取，一个平面的所有法向量共线．返回返回[例1]已知点A(1，0，0)、B(0，2，0)、C(0，0，3)，求平面ABC的一个法向量．[思路点拨]返回[精解详析]设坐标原点为O，由已知可得：AB＝OB－OA＝(0，2，0)－(1，0，0)＝(－1，2，0)，AC＝OC－OA＝(0，0，3)－(1，0，0)＝(－1，0，3)．设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n·AB＝(x，y，z)·(－1，2，0)＝－x＋2y＝0，n·AC＝(x，y，z)·(－1，0，3)＝－x＋3z＝0.不妨令x＝6，则y＝3，z＝2.因此，可取n＝(6，3，2)为平面ABC的一个法向量．返回[一点通]利用待定系数法求法向量的解题步骤：返回1．已知平面内的两个向量a＝(2，3，1)，b＝(5，6，4)，则该平面的一个法向量为()A．(1，－1，1)B．(2，－1，1)C．(－2，1，1)D．(－1，1，－1)解析：显然a与b不平行，设平面的法向量为n＝(x，y，z)，则有a·n＝0b·n＝02x＋3y＋z＝0，5x＋6y＋4z＝0.令z＝1，得x＝－2，y＝1.∴n＝(－2，1，1)．答案：C返回2.四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1，在如图所示的坐标系Axyz中，分别求平面SCD和平面SAB的一个法向量．返回解：A(0，0，0)，D(1，0，0)，C(2，2，0)，S(0，0，2)，∵AD⊥平面SAB，∴AD＝(1，0，0)是平面SAB的一个法向量．设平面SCD的法向量为n＝(1，y，z)，则n·DC＝(1，y，z)·(1，2，0)＝1＋2y＝0，∴y＝－12.又n·DS＝(1，y，z)·(－1，0，2)＝－1＋2z＝0，∴z＝12.∴n＝(1，－12，12)即为平面SCD的一个法向量.返回[例2]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BB1，CD，AA1的中点．(1)证明：C1M∥平面ADE；(2)平面ADE⊥平面A1D1F.[思路点拨]建立空间坐标系．求出平面ADE与平面A1D1F的法向量求解．返回[精解详析](1)以D为原点，向量DA、DC、1DD的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立坐标系如图，设正方体的棱长为1.则D(0，0，0)，A(1，0，0)，E(1，1，12)，C1(0，1，1)，M(1，0，12)，DA＝(1，0，0)，DE＝(1，1，12)，1CM＝(1，－1，－12)．返回设平面ADE的法向量为m＝(a，b，c)，则m·DA＝0，m·DE＝0a＝0，a＋b＋12c＝0.令c＝2，得m＝(0，－1，2)，∵m·1CM＝(0，－1，2)·(1，－1，－12)＝0＋1－1＝0，∴1CM⊥m.又C1M平面ADE，∴C1M∥平面ADE.返回(2)由D1(0，0，1)，A1(1，0，1)，F(0，12，0)得11DA＝(1，0，0)，1DF＝(0，12，－1)，设平面A1D1F的法向量为n＝(x，y，z)，则n·11DA＝0，n·1DF＝0x＝0，12y－z＝0.令y＝2，则n＝(0，2，1)．∵m·n＝(0，－1，2)·(0，2，1)＝0－2＋2＝0，∴m⊥n.∴平面ADE⊥平面A1D1F.返回[一点通]设直线l的方向向量a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量u＝(a2，b2，c2)，平面β的法向量v＝(a3，b3，c3)，且l⊄α，α与β不重合，则(1)l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0；(2)l⊥α⇔a∥u⇔(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)；(3)α∥β⇔u∥v⇔(a2，b2，c2)＝m(a3，b3，c3)；(4)α⊥β⇔u⊥v⇔u·υ＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.返回3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：平面A1BD∥平面CD1B1.证明：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A1(1，0，1)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，B1(1，1，1)，C(0，1，0)，D(0，0，0)．所以1AD＝(－1，0，－1)，1AB＝(0，1，－1)，11DB＝(1，1，0)，1DC＝(0，1，－1)．返回设平面A1BD的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)．则n11AD＝0，n1·1AB＝0－x1－z1＝0，y1－z1＝0.令z1＝1，得x1＝－1，y1＝1.所以平面A1BD的一个法向量为n1＝(－1，1，1)．设平面CD1B1的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则n2·11DB＝0，n2·1DC＝0x2＋y2＝0，y2－z2＝0.令y2＝1，得x2＝－1，z2＝1，所以n2＝(－1，1，1)，所以n1＝n2，即n1∥n2.所以平面A1BD∥平面CD1B1.返回4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：平面AED⊥平面A1FD1.证明：如图，建立空间直角坐标系Dxyz.返回设正方体棱长为1，则E(1，1，12)、D1(0，0，1)、F(0，12，0)、A(1，0，0)．∴DA＝(1，0，0)＝11DA，DE＝(1，1，12)，1DF＝(0，12，－1)．设m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面AED和A1FD1的一个法向量，由m·DA＝0m·DE＝0x1＝0，x1＋y1＋12z1＝0.返回令y1＝1，得m＝(0，1，－2)．又由n·11DA＝0n·1DF＝0x2＝0，12y2－z2＝0，令z2＝1，得n＝(0，2，1)．∵m·n＝(0，1，－2)·(0，2，1)＝0，∴m⊥n，故平面AED⊥平面A1FD1.返回[例3]在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BDC1.[思路点拨]根据正方体中的垂直关系，找到A1C在平面ABCD和平面CDD1C1内的射影，由三垂线定理证明BD⊥A1C，C1D⊥A1C.返回[精解详析]在正方体中，AA1⊥平面ABCD，所以AC是A1C在平面ABCD内的射影，又AC⊥BD，所以BD⊥A1C.同理D1C是A1C在平面CDD1C1内的射影．所以C1D⊥A1C.又C1D∩BD＝D，所以A1C⊥平面BDC1.返回[一点通](1)三垂线定理及其逆定理主要用于证明空间两条直线的垂直问题．对于同一平面内的两直线垂直问题也可用“平移法”，将其转化为空间两直线的垂直问题，用三垂线定理证明．(2)当图形比较复杂时，要认真观察图形，证题的思维过程是“一定二找三证”，即“一定”是定平面和平面内的直线，“二找”是找平面的垂线、斜线和斜线在平面内的射影，“三证”是证直线垂直于射影或斜线．返回5．正三棱锥PABC中，求证：BC⊥PA.证明：在正三棱锥PABC中，P在底面ABC内的射影O为正三角形ABC的中心，连接AO，则AO是PA在底面ABC内的射影，且BC⊥AO，所以BC⊥PA.返回6．在空间四边形ABCD中，A在平面BCD内的射影O1是△BCD的垂心，试证明B在平面ACD内的射影O2必是△ACD的垂心．证明：连接DO1、BO1、AO2、CO2.∵O1是△BCD的垂心，∴DO1⊥BC.又AO1⊥平面BCD，∴BC⊥AD(三垂线定理)．∵BC是平面ACD的斜线，BO2⊥平面ACD，CO2是BC在平面ACD内的射影，∴CO2⊥AD(三垂线定理的逆定理)．同理，AO2⊥CD.故O2是△ACD的垂心．返回1．确定平面的法向量通常有两种方法：(1)利用几何体中已知的线面垂直关系；(2)用待定系数法，设出法向量，根据它和α内不共线两向量的垂直关系建立方程组进行求解．由于一个平面的法向量有无数个，故可从方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．2．用空间向量处理平行问题的常用方法：(1)线线平行转化为直线的方向向量平行．(2)线面平行转化为直线的方向向量与平面法向量垂直．返回(3)面面平行转化为平面法向量的平行．(4)线线垂直转化为直线的方向向量垂直．(5)线面垂直转化为直线的方向向量与平面的法向量平行．(6)面面垂直转化为平面的法向量垂直．3．三垂线定理及逆定理是证明线线垂直的重要方法．返回点击下图进入“应用创新演练”