量子力学题库

1目录第二章波函数和薛定谔方程.......................................................................................................2一、简答题...............................................................................................................................2二、证明题...............................................................................................................................6三、计算题...............................................................................................................................72第二章波函数和薛定谔方程一、简答题1.何谓微观粒子的波粒二象性？2.粒子的德布罗意波长是否可以比其本身限度长或短？二者之间是否有必然联系？3.粒子按轨道运动这个概念的实质是什么？试直接从德布罗意假设出发，论证对微观粒子不存在轨道的概念。4.波动性与粒子性是如何统一于统一客体之中的？物质在运动过程中是如何表现波粒二象性的？5.“电子是粒子，又是波”，“电子不是粒子，又不是波”，“电子是粒子，不是波”，“电子是波，不是粒子”，以上哪一种说法是正确的？6.试述牛顿力学与量子力学中的自由粒子运动状态。7.在量子力学中，能不能同时用粒子坐标和动量的确定值来描述粒子的量子状态？8.判别一个物理体系是经典体系还是量子体系的基本标准是什么？9.是比较粒子和波这两个概念在经典物理和量子力学中的含义。10.微观粒子体系的状态完全由波函数),(tr描述，波函数应满足什么样的标准条件？波函数的物理意义是什么？11.叙述波函数的统计解释（物理意义），并写出薛定谔方程的一般数学形式。12.什么是波函数的统计解释？量子力学的波函数与声波和光波的主要区别是什么？13.写出波函数的物理意义和标准条件，并说明如何理解波函数可以完全表述微观粒子的状态及波函数的标准条件。14.简述玻恩关于波函数的统计解释，按这种解释，描写粒子的波是什么波？15.根据量子力学中波函数的几率解释，说明量子力学中的波函数与描述声波、光波等其它波动过程的波函数的区别。16.简要说明波函数和它所描写的粒子之间的关系。17.波函数的物理意义-微观粒子的状态完全由其波函数描述，这里“完全”的3含义是什么？18.波函数归一化的含义是什么？什么样的波函数可以归一化？归一化随时间变化吗？19.Bron对波函数的统计解释什么？2,,,trtr和dxdydztr2,分别表示什么含义？20.将描写体系量子状态的波函数乘上一个常数后，所描写体系的量子状态是否改变？21．若)(1x是归一化的波函数，问：)(1x，1)()(12cxcx，)()(13xexi为任意实数是否描述同一态？分别写出它们的位置几率密度公式。22.归一化波函数是否可以含有任意相因子(ie为实常数）？23.波函数与K、ie（,K均为常数）是否描写同一状态。24.写出波函数的物理意义和标准条件，并说明如何理解波函数可以完全表述微观粒子的状态及波函数的标准条件。25.设ikxex)(，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？26.对一个粒子而言，归一化的波函数),(tr的模方2),(tr表示什么？设(,)Cpt为归一化的动量表象下的波函数，则2|(,)|Cptdp的物理意义是什么？27.写出定态波函数的形式。28.设)()(2221为常数xAex，求A=？29.“双狭缝干涉实验中，电子必定通过两缝之一而打到屏上，因此落到屏上的总电子数必定等于分别通过两缝的电子数之和”这种说法对吗？30.下列波函数在什么情况下才是描述同一状态？21，2211cc，212211iiecec（这里，为实常数，为复常数，2,121,cc）31.阐述量子力学中态的叠加原理，并以两态为例说明用粒子通过狭缝后在空间出现的干涉效应。432.设描写粒子状态的函数可以写成2211cc，其中1c和2c为复数，1和2为粒子的分别属于能量1E和2E的构成完备系的能量本征态。试说明式子2211cc的含义，并指出在状态中测量体系的能量的可能值及其几率。33.（1）如果1和2是体系的可能状态，那么它们的线性迭加：2211cc（1c，2c是复数）是这个体系的一个可能状态吗？（2）如果1和2是能量的本征态，它们的线性迭加：2211cc还是能量本征态吗？为什么？34..叙述波函数的统计解释（物理意义），并写出薛定谔方程的一般数学形式。36.一粒子有波函数由dpetpCtxpxi-,21,描写，则tpC,=？。37.粒子在势场U(r)中运动，试写出粒子的哈密顿算符。38.一维线性谐振子处在2212333()()xxNeHx态中，其相应的能量为？39.一维线性谐振子处在2212222()()xxNeHx态中，其相应的能量为?40.试述薛定谔对量子力学的贡献。41.薛定谔方程是如何建立的？是推导出来的吗？42.试写出表示微观粒子的运动规律的运动方程。43.写出球坐标中拉普拉斯算符的表示。44.如何应用波动方程得出几率守恒—波函数的归一化不随时间改变？45.写出量子力学中概率密度、粒子流密度和粒子数守恒定律。46.用波函数来表示几率密度w、几率流密度J，以及两者之间满足的连续性方程的数学形式。47.什么是定域的几率守恒？48.几率流密度的物理意义是什么？49.对什么波函数描述的态，几率流密度与电流密度均为零？50.对什么波函数描述的态，几率流密度与电流密度均不随时间改变？51.平面波的几率密度及几率流密度有什么特征？52.何谓量子力学中的定态问题？定态问题哈密顿算符满足什么条件？并请从5薛定谔方程推导出定态薛定谔方程。53.什么是定态？一个量子体系处于定态的条件是什么？它有什么特点？54.对于定态，是否几率流密度必为零？55.试判断下列函数中的哪些所描述的状态是定态？//1,ixiEtixiEtrtuxevxe12//2,ixiEtixiEtrtuxeuxe//3,iEtiEtrtuxeuxe56.请说明束缚态和自由态及其相应能级的特点。57.通常情况下，无限远处为零的波函数所描述的状态称为什么态？一般情况下，这种态所属的能级有什么特点？58.分别说明什么样的状态是束缚态、简并态、正宇称态和负宇称态？59.什么样的状态是束缚态？它是否可看成是平面波的叠加？60.什么是束缚态？它有何特征？束缚态是否必为定态？定态是否必为束缚态？举例说明。60.简述量子力学基本原理一、二。62.简述势垒贯穿效应，并举例说明其在实际中的应用。63.扫描隧道显微镜的工作原理是隧道效应，简述什么是隧道效应。64.简要解释一维线性谐振子的零点能。65.解释量子力学中的简并和简并度。66.写出一维线性谐振子第二激发态的波函数和能级，并指出节点数及宇称。67.设质量为m的粒子在一维无限深势阱运动（ax0），写出其第一激发态的波函数、能级及节点数。68.一质量为的粒子在一维无限深势阱axaxxV2,0x20,0，中运动，写出其状态波函数和能级表达式。69.给出三维无限深势阱的能级分布及能级简并度。70.质量为m的粒子处在二维简谐振子势场221,2Vxymxy中，分析该粒子能量的本征态的简并度。71.给出给出三维谐振子的能级分布及能级简并度。672.三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm，且l=N-2n，则在一确定的能量(N+23)下，简并度为？73.对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，粒子是否以一定的几率穿过势垒？二、证明题1．证明在定态中，概率密度及概率流密度与时间无关。2.证明在定态中，几率流与时间无关。3.证明EtiEtiexVexUtx,是定态波函数。4.证明)1,1(01112xxxxx是标准波函数。5.考虑单粒子的Schrödinger方程trriVrVtrmtrti,,2,2122（1）其中，1V与2V为实函数。证明粒子的几率（粒子数）不守恒。6.考虑单粒子的Schrödinger方程trriVrVtrmtrti,,2,2122其中，1V与2V为实函数。证明粒子在空间体积内的几率随时间的变化为*32***322rdVSdimrddtdS7.设1和2是Schrödinger方程的两个解，证明0,,2*13trtrrddtd。8.粒子在势能为ax,000x21当，当，当UaxUxU的势场中运动，证明对于能量21UUE的状态，能量有关系式21112sin2sinmUkmUknka决定，7其中22mEk。9.在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：)()(xUxU，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。10.试证明xxexx3)(233)(212，是线性谐振子的波函数，并求此波函数对应的能量。11.试证：对于一维运动，设有两个波函数1及2是对应于同一级量E的解，则'12'21常数。12.试证明：一维运动的束缚态都是不简并的。13.证明非简并态能级波函数可以表示为实函数。14.利用Hermite多项式的递推关系，证明谐振子波函数满足下列关系)(21)(12)(121)()(21)(21)(222211xnnxnxnnxxxnxnxxnnnnnnn15.利用Hermite多项式的求导公式。证明2222211211212)(212)(nnnnnnnnnnnnxdxdnnxdxd16.试证明对于任意势垒，粒子的反射系数Ｔ满足Ｒ＋Ｔ＝１。三、计算题1.请从薛定谔方程推导出定态薛定谔方程。2.一般的薛定谔方程推倒出粒子数守恒定律，并给出概率密度和概率密度的形式。3.由薛定谔方程解出定态波函数4.由下列定态波函数计算几率流密度：ikrikrerer1)2(1)1(218从所得结果说明1表示向外传播的球面波，2表示向内(即向原点)传播的球面波。5.质量为m的粒子，在一维无限深势阱中axaxaxaxV,,,0中运动。求粒子的能量本征值和本征函数。6.质量为m的粒子，在一维势场axaxxxU，，，000)(中运动，求粒子的能级和对应的波函数。7.一粒子在一维势场axaxuxu||0||0中运动，其中00u，求束缚态能级所能满足的方程。8.一粒子在一维有限深势阱中运动，0,0v,x0,0,xuxaxa。求确定束缚态能级方程。9.求在一维势场axaxxU,0,)(中运动的粒子的能级。10.设一粒子在一维势场cbxaxxU2中运动