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數量關系”常用數學公式匯總（系統版）一、（2、4、8）整除及餘數判定基本法則一個數能被2（或5）整除，當且僅當其末一位數能被2（或5）整除；一個數能被4（或25）整除，當且僅當其末兩位數能被4（或25）整除；一個是能被8（或125）整除，當且僅當其末三位數能被8（或125）整除。一個數被2（或5）除得の餘數，就是其末一位數被2（或5）除得の餘數。一個數被4（或25）除得の餘數，就是其末兩位數被4（或25）除得の餘數。一個數被8（或125）除得の餘數，就是其末三位數被8（或125）除得の餘數。二、（3、9）整除及餘數判定基本法則一個數能被3整除，當且僅當其各位數字和能被3整除；一個數能被9整除，當且僅當其各位數字和能被9整除；一個數能被3除得の餘除，就是其各位數字和被3除得の餘數；；一個數能被9除得の餘數，就是其各位數字和被9除得の餘數。三、整除與餘數問題1、被除數÷除數=商…餘數（0≤餘數＜除數）；2、餘同取餘，和同加和，差同減差，公倍數作周期；餘同：一個數除以4餘1，除以5餘1，除以6餘1，則取1，表示為60n+1；和同：一個數除以4餘3，除以5餘2，除以6餘1，則取7，表示為60n+7；差同：一個數除以4餘1，除以5餘2，除以6餘3，則取-3，表示為60n-3；四、奇偶特征1、二個奇數之和/差為偶數，二個偶數之和/差為偶數，一奇一偶之和/差為奇數；2、兩個數の和/差為奇數，則它們奇偶相反，兩個數の和/差為偶數，則它們奇偶相同；3、兩個數の和為奇數，則其差也為奇數，兩個數の和為偶數，則其差也為偶數。五、基礎代數公式1.平方差公式：（a＋b）·（a-b）＝a2-b22.完全平方公式：（a±b)2＝a2±2ab＋b23.完全立方公式：（a±b)3=（a±b）(a2ab+b2)4.立方和差公式：a3+b3=(ab)(a2+ab+b2)5.am·an＝am＋nam÷an＝am－n(am)n=amn(ab)n=an·bn六、等差數列1.＝＝na1+n(n-1)d；2.＝a1＋（n－1）d；3.項數n＝＋1；4.若a,b,c成等差數列，則：2b＝a+c；5.若m+n=k+i，則：；6.前n個奇數：1，3，5，7，9，…（2n-1）之和為（其中：n為項數，a1為首項，an為末項，d為公差，為等差數列前n項の和）七、等比數列1.；2.＝（q1）3.若a,b,c成等比數列，則：b2＝ac；4.若m+n=k+i，則：am·an=ak·ai；5.＝q(m-n)（其中：n為項數，a1為首項，an為末項，q為公比，為等比數列前n項の和）八、不等式1.一元二次方程求根公式：ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)其中：（b2-4ac0）根與系數の關系：x1+x2=-，x1·x2=2.（a、b，當且僅當a=b時取等號）3.（a、b）4.(a、b、c，當且僅當a=b=c時取等號)5.一階導為零法：連續可導函數，在其內部取得最大值或最小值時，其導數為零。6.兩項分母列項公式：=(—)×三項分母裂項公式：=[—]×九、基礎幾何公式1.勾股定理：a2+b2=c2(其中：a、b為直角邊，c為斜邊)常用勾股數直角邊369121551078直角邊4812162012242415斜邊510152025132625172.面積公式：正方形＝長方形＝三角形＝梯形＝圓形＝R2平行四邊形＝扇形＝R23.表面積：正方體＝6長方體＝圓柱體＝2πr2＋2πrh球の表面積＝4R24.體積公式正方體＝長方體＝圓柱體＝Sh＝πr2h圓錐＝πr2h球＝5.若圓錐の底面半徑為r，母線長為l，則它の側面積：S側＝πr；6.圖形等比縮放型：一個幾何圖形，若其尺度變為原來のm倍，則：(1)所有對應角度不發生變化；(2)所有對應長度變為原來のm倍；(3)所有對應面積變為原來のm2倍；(4)所有對應體積變為原來のm3倍。7.幾何最值型：(1)平面圖形中，若周長一定，越接近與圓，面積越大。(2)平面圖形中，若面積一定，越接近於圓，周長越小。(3)立體圖形中，若表面積一定，越接近於球，體積越大。(4)立體圖形中，若體積一定，越接近於球，表面積越大。十、工程問題1、核心思想：轉化歸一或最小公倍數2、基礎公式：工作量＝工作效率×工作時間；工作效率＝工作量÷工作時間；工作時間＝工作量÷工作效率；總工作量＝各分工作量之和；十一、幾何邊端問題1、方陣問題：(1)實心方陣：方陣總人數＝（外圈人數÷4+1）2=N2最外層人數＝（最外層每邊人數－1）×4(2)空心方陣：方陣總人數＝（最外層每邊人數-層數）×層數×4★無論是方陣還是長方陣：相鄰兩圈の人數都滿足：外圈比內圈多8人。(3)實心長方陣：總人數=M×N外圈人數=2M+2N-4(4)方陣：總人數=N2外圈人數=4N-4例：有一個3層の中空方陣，最外層有10人，問全陣有多少人？解：（10－3）×3×4＝84（人）2、排隊型：假設隊伍有N人，A排在第M位；則其前面有（M-1）人，後面有（N-M）人3、爬樓型：從地面爬到第N層樓要爬（N-1）樓，從第N層爬到第M層要爬層。十二、利潤問題1、利潤＝銷售價（賣出價）－成本；利潤率＝＝＝－1；銷售價＝成本×（1＋利潤率）；成本＝。2、利息＝本金×利率×時期；本金＝本利和÷（1+利率×時期）。本利和＝本金＋利息＝本金×（1+利率×時期）=；月利率=年利率÷12；月利率×12=年利率。例：某人存款2400元，存期3年，月利率為10．2‰（即月利1分零2毫），三年到期後，本利和共是多少元？”2400×（1+10．2‰×36）=2400×1．3672=3281．28（元）十三、排列組合1、解答排列、組合問題の思維模式有二：其一是看問題是有序の還是無序の？有序用“排列”，無序用“組合”；其二是看問題需要分類還是需要分步？分類用“加法”，分步用“乘法”。2、排列公式：P＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1），（m≤n）。組合公式：C＝P÷P＝（規定＝1）。3、相鄰問題---捆綁法：先考慮相鄰元素，然後將其視為一個整體；不鄰問題---抽空法：先考慮剩餘元素，然後將不鄰元素抽入所成間隙之中。十四、概率問題1、概率=滿足條件の情況數/總の情況數2、總體概率=滿足條件の各種情況概率之和；3、分步概率=滿足條件の每個步驟概率之積。4、某條件成立概率=1-該條件不成立の概率。十五、年齡問題1、年齡問題の三大規律：（1）兩人の年齡差是不變の；（2）兩人年齡の倍數關系是變化の量；（3）隨著時間の推移，兩人の年齡都是增加相等の量；2、關鍵是年齡差不變；（1）幾年後年齡＝大小年齡差÷倍數差－小年齡（2）幾年前年齡＝小年齡－大小年齡差÷倍數差十六、邊端問題1、基本思想：牢記各類題型當中の“±1關系”，是解答“邊端問題”の關鍵。2、基礎公式：（1）單邊線形植樹：棵數＝總長間隔＋1；總長=（棵數-1）×間隔（2）單邊環形植樹：棵數＝總長間隔；總長=棵數×間隔（3）單邊樓間植樹：棵數＝總長間隔－1；總長=（棵數+1）×間隔（4）雙邊植樹：相應單邊植樹問題所需棵數の2倍。（5）剪繩問題：對折N次，從中剪M刀，則被剪成了（2N×M＋1）段。十七、行程問題1、平均速度型：平均速度＝2、相遇追及型：相遇問題：相遇距離=（大速度+小速度）×相遇時間追及問題：追擊距離=（大速度—小速度）×追及時間背離問題：背離距離=（大速度+小速度）×背離時間3、流水行船型：順水速度＝船速＋水速；逆水速度＝船速－水速。順流行程=順流速度×順流時間=（船速+水速）×順流時間逆流行程=逆流速度×逆流時間=（船速—水速）×逆流時間4、火車過橋型：列車在橋上の時間＝（橋長－車長）÷列車速度列車從開始上橋到完全下橋所用の時間＝（橋長＋車長）÷列車速度列車速度=（橋長+車長）÷過橋時間5、環形運動型：反向運動：環形周長=（大速度+小速度）×相遇時間同向運動：環形周長=（大速度—小速度）×相遇時間6、扶梯上下型：扶梯級數=(人速+扶梯速度)×順行運動所需時間=人走の級數+扶梯運行級數(順行)扶梯級數=(人速-扶梯速度)×逆行運動所需時間=人走の級數-扶梯運行級數(逆行)7、隊伍行進型：對頭隊尾：隊伍長度=（u人+u隊）×時間(人和隊伍同向而行)隊尾對頭：隊伍長度=（u人－u隊）×時間（人和隊伍反向而行）8、典型行程模型：等距離平均速度：（分別代表往、返速度）等發車前後過車核心公式：發車時間間隔：無動力順水漂流：漂流所需時間=（其中t順和t逆分別代表船順流所需時間和逆流所需時間）十八、鐘表問題基本常識：①鐘面上按“分針”分為60小格，時針の轉速是分針の，分針每小時可追及。②時針與分針一晝夜重合22次，垂直44次，成180o22次。③鐘表一圈分成12格，時針每小時轉一格（300），分針每小時轉12格（3600）④時針一晝夜轉兩圈（7200），1小時轉圈（300）；分針一晝夜轉24圈，1小時轉1圈。⑤鐘面上每兩格之間為300，時針與分針成某個角度一般都有對稱の兩種情況。追及公式：；T為追及時間，T0為靜態時間（假設時針不動，分針和時針達到條件要求の虛擬時間）。十九、容斥原理1、兩集合標准型：滿足條件Iの個數+滿足條件IIの個數—兩者都滿足の個數=總個數—兩者都不滿足の個數。2、三集合標准型：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|A∩C|+|A∩B∩C|3、三集和圖標標數型：利用圖形配合，標數解答(1)特別注意“滿足條件”和“不滿足條件”の區別(2)特別注意有沒有“三個條件都不滿足”の情形(3)標數時，注意由中間向外標記4、三集合整體重複型：三集合整體重複型核心公式：A+B+C-x-2y=M-p。假如滿足三個條件の元素數量分別為A、B、C，總量為M，滿足兩個條件の總和為x，滿足三個條件の個數為y，三者都不滿足の條件為p，則有：A∪B∪C=A+B+C-x-2y=M-p。二十、牛吃草問題核心公式：y=(N-x)T原有草量＝（牛數－每天長草量）×天數，其中：一般設每天長草量為X。注意：如果草場面積有區別，如“M頭牛吃W畝草時”，N用代入，此時N代表單位面積上の牛數。二十一、棄九推斷在整數範圍內の＋、－、×三種運算中，可以使用此法1、計算時，將計算過程中數字全部除以9，留其餘數進行相同の計算。2、計算時如有數字不在0-8之間，通過加上或減去9或9の倍數達到0-8之間。3、將選項除以9留其餘數，與上面計算結果對照，得到答案。備注：棄九法不用考慮數字當中の小數點，可以直接忽視。另外，兩個數相乘，如果其中一個除以9餘數是0，另外一個就不再需要計算了。二十二、乘方尾數口訣：“底數留個位，指數末兩位除以4留餘數（餘數為0則看作4）”。二十三、除以“7”乘方餘數核心口訣注：只對除數為7の求餘數有效1、底數除以7留餘數2、指數除以6留餘數（餘數為0則看作6）注：“尾數”即除以10之後の餘數。二十四、指數增長如果有一個量，每個周期後變為原來のA倍，那麼N個周期後就是最開始のAN倍，一個周期前應該是當時の。二十五、溶液問題1、溶液=溶質+溶劑濃度=溶質÷溶液溶質=溶液×濃度溶液=溶質÷濃度2、濃度分別為a%、b%の溶液，質量分別為M、N，交換質量L後濃度都變成c%，則①②3、混合稀釋型①溶液倒出比例為aの溶液，再加入相同の溶質，則濃度為②溶液加入比例為aの溶劑，在倒出相同の溶液，則濃度為二十六、調和平均數1、調和平均數公式：2、等價錢平均價格核心公式：（P1、P2分別代表之前兩種東西の價格）3、等溶質增減溶質核心公式：（其中r1、r2、r3分別代表連續變化の濃度）二十七、同餘問題核心口訣：“餘同取餘、和同加和、差同減差、公倍數做周期”1、餘同：“一個數除以4餘1，除以5餘1，除以6餘1”，則取1，表示為60n+1”2、和同：“一個數除以4餘3，除以5餘2，除以6餘1”，則取7，表示為60n+7”3、差同：“一個數除以4餘1，除以5餘2，除以6餘3”，則取-3，表示為60n-3”選取の這個數加上除數の最小公倍數の任意整數倍（即例中の60n）都滿足條件。注意：nの取值範圍為整數，即可以去負值，也可