§1-二阶与三阶行列式

第一章行列式(Determinant)§1二阶与三阶行列式一、二阶行列式二、三阶行列式三、小结用消元法解二元线性方程组:122a,2212221212211abxaaxaa:212a,1222221212112abxaaxaa得两式相减消去,2x一、二阶行列式的引入)2()1(.,22221211212111bxaxabxaxa;212221121122211baabxaaaa）（，得类似地，消去1x,211211221122211abbaxaaaa）（时，当021122211aaaa方程组的解为，211222112122211aaaabaabx）（3.211222112112112aaaaabbax由方程组的四个系数确定.由四个数排成二行二列（横排称行(row)、竖排称列(column))的数表)4(22211211aaaa1.定义)5(42221121121122211aaaaaaaa行列式，并记作）所确定的二阶称为数表（表达式即.2112221122211211aaaaaaaaDaij称为行列式(4)的元素或元.aij的第一个下标i称为行标.aij的第二个下标j称为列标.行列式第i行第j列的元素aij称为行列式(4)的(i,j)元.其中为行列式的展开式，它是两项的代数和.2112221122211211aaaaaaaaD11a12a22a21a主对角线副对角线对角线法则2211aa.2112aa2.二阶行列式的计算若记,22211211aaaaD.,22221211212111bxaxabxaxa对于二元线性方程组系数行列式,2221211ababD.2211112babaD二元线性方程组的解为,2221121122212111aaaaababDDx注意分母都为原方程组的系数行列式..2221121122111122aaaababaDDx3.则当系数行列式时，0D例1.2975,10462121xxxx求解二元线性方程组解7546D)20(42,0627294101D,1862951062D,124DDx11,362186DDx22.262124例2,122D0?0DD为何值时，当解)2(22D020)1(D时，＝或＝当020)2(D时，且当)0(2)01(的充分条件是什么？的充要条件是什么？）注：（DD二、三阶行列式1.定义333231232221131211)5(339aaaaaaaaa列的数表行个数排成设有记,312213332112322311322113312312332211)6(aaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.(1)对角线法则2.三阶行列式的计算333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa.322311aaa322113aaa312312aaa312213aaa332112aaa注意红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．323122211211aaaaaa.312213332112322311aaaaaaaaa(2)沙路法322113312312332211aaaaaaaaaD333231232221131211aaaaaaaaaD说明(1)对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．(2)三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.三元线性方程组;,,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa称为其系数行列式333231232221131211aaaaaaaaaD3.利用三阶行列式求解三元线性方程组,3333123221131112abaabaabaD.3323122221112113baabaabaaD则三元线性方程组的解为:,11DDx,22DDx.33DDx333231232221131211aaaaaaaaaD,3332323222131211aabaabaabD,0D若例1解线性方程组.0,132,22321321321xxxxxxxxx解由于方程组的系数行列式111312121D1111321211111221315,0同理可得1103111221D,51013121212D,100111122213D,5故方程组的解为:,111DDx,222DDx.133DDx222111cbacbaD计算三阶行列式例2解按对角线法则，有Dcbacbaabcabc222222))()((abacbc（此为三阶Vandermonde行列式））例行列式见（.2eVandermond18P.01140101)1(xx求解方程例3解(1)方程左端12xD解得由012x.1121xx或(2)方程左端)1(2xxD解得由0)1(2xx021,xx.014001)2(xxxx求解方程.x13例1,0,0.___________014001xxxxx的解为方程二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.对角线法则二阶与三阶行列式的计算.2112221122211211aaaaaaaa,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa三、小结思考题使求一个二次多项式,xf.283,32,01fff思考题解答解设所求的二次多项式为：,2cbxaxxf由题意得,01cbaf,3242cbaf,28393cbaf得一个关于未知数的线性方程组,cba,,又,020D.20,60,40321DDD得,21DDa,32DDb13DDc故所求多项式为.1322xxxf