冲击波第三讲

第二章正冲击波·绪论TheHistoryofStudyingShockWavesFirstof19Century,Piosson’ssolutionofsimplewave(简单波解）:u=F(x-c0t).Halfcenturylater,Stocks,thesolutionisnotexclusive（解不唯一）,i.e.əu/əxdiscontinuous.10yearslater,Riemann,mistaken“adiabaticreversibleprocess”（绝热可逆过程）10yearslater,Rankin,throughshockwave,itisnotadiabaticprocess（非绝热过程）underthecertaincondition1887，Hugoniot,irreversibleprocess.Discontinuoussolution:mathematicdiscontinuous,adiscontinuousplanewithoutthicknessInfact,certainthickness,somemolecularfreelength(分子自由程）Pp0Pp0FormationofShockWaveFor1-Dimensional(e.g.inapipe)pushingapistoncanformashockwaveFor3-Dimensionalspace,themotionprojectilemustmoveinsupersonicvelocity,ashockwavecanbeproducedHighspeedimpactExplosion例：活塞压缩形成冲击波当活塞朝气体推进时，将导致气体的密度和压力增大，这时产生的简单波是压缩波。若活塞是作加速运动，则活塞速度将不断增大，活塞面上气体的u和（u+c）也随之增大，于是活塞轨迹上发出的C+族特征线是聚拢的，在一定时候将出现同族特征线相交，形成包络(如图)。在包络上解成为多值的，即出现间断解。在出现间断之前，简单波解成立，压缩波是向前简单波，简单波区（I）的解为或设话塞速度为w(t)=at，则活塞轨迹，得21xuctFuucconst001212xcutFuccu2222xRtatwta202cFuuuaa得u的解由于在波区内总有xc0t，故波内u0。其他各量p和ρ的解仍为可见，波内p，ρ，c都是增加的。0112ucat2001122cataxct02100210012112112ccuuppcuc右图给出了均匀加速活塞所产生的压缩波内不同时刻的速度u分布的示意图。在某一时刻，由于同族特征线的相交，u变为多值的而形成间断(图中(c))。假若继续使用简单波的连续解，则将出现图(d)所示的分布，这在物理上是不合理的。我们需找出间断形成的时间和地点，在这之后简单波连续解不再成立。形成间断的时间和地点现设在时刻t*时于x*处形成间断，这就意味着t*时的速度分布曲线在x*处变为垂直的，即微商或。另外，在活塞是均匀加速的情况下，间断将出现在简单波波头上，这里波前气体是静止的，因此，在间断处还有u=0。所以，确定t*及x*的两个条件为于是而所以tux0txu00txuu**0*2010tFxctF0cFuuaa0*20*2121ctacxa如果活塞不是均匀加速，或者波前也不是静止的，则间断不一定出现在压缩波的波头上，而可能出现在波区内，这时第二个条件u=0不成立。因此，需另外找一个条件。2200ttxuxu2.1冲击波基本概念和关系式间断面上的质量、动量和能量守恒三个关系式，就是冲击波的基本关系式。由第二讲知，在一维平面情况下它们是（2.1）（2.2）（2.3）把相对波面而言介质质点朝向波面流动的一边叫作波前，另一边叫作波后。以后用带下标“0”的量表示波前的量。加上状态方程e=e（p，ρ），4个方程5个变量，需给出冲击波强度00DuDu22000DupDup2200001122ppeDueDu常用冲击波关系式或（2.4）（2.5）（2.6）这是研究冲击波的一条重要直线，它通常称为瑞利（Rayleigh）直线。该式还可以写为（2.7）000uuD00DuDu000000DuuuppDuuupp220000000ppppDu2200000ppppDu由(2.6)式和(2.7)式还可得到（2.8）将(2.5)式的两式相乘，再考虑(2.8)，得（2.9）用(2.6)式与(2.7)式相减，则得（2.10）000ppDuDu2000uupp22000DuDupp(2.5)式～(2.10)式各式都是等价的，它们都不涉及能量关系式，而只是第一、二两个关系式的不同表现形式，它们对不同的物质都是相同的。此外，以上各表达式中运动量与状态量是分离的，等式左端是运动量，右端是状态量。现在来化简能量关系式(2.3)，用(2.10)式代入该式，稍经化简，得（2.11）这就是著名的雨贡纽(Hugoniot)关系式，它对研究冲击波的性质有着重要作用。还可以把雨贡纽曲线写为焓h=e+p/ρ的形式，由（2.11）式容易得（2.12）000001,,2epeppp00012hhpp2.2多方气体冲击波关系式对于多方气体，内能和焓的表达式很简单，它们是及用以上的e代入（2.11）式，得（2.13）或（2.14）1pecT1pphcT0000011111111pp0001111pppp下面推导速度与热力学量之间的关系式。先由（2.14）式可得（2.15）或者（2.16）用它代入(2.6)、（2.7）式，得（2.17）以上第一式又可写为（2.18）另外，用（2.16）式代入（2.9）式，得（2.19）0000211pppp00001112pppp20002011211121DuppDupp20002111pDup222000000221111ppppuupppp临界速度还可以推导出只包含运动量的关系式。考虑到多方气体的焓可表示为，则能量守恒关系式（2.3）可写为（2.20）或（2.21）我们看到，当时上式给出，所以c*是相对速度等于声速c时的速度，称为临界速度。21hc2222002211DucDuc2222200*12121111DucDuccDuc*DuccDu普朗佗(Prandtl)关系式可以得到（2.22）这是一个只含速度的关系式由此式看到，当时，它们共同等于c*，而则表明，即冲击波相对于波后介质以声速传播。此外，若则。20*DuDuc0DuDu*DucDuc0*Duc*Duc例如，若给定了波前状态，并给出了冲击波速度D，则可由下式求出波后的u、p和ρ，即（2.23）200020200000021121111111cuuDuDupDuppppp如果引进马赫数其中是波前的气体声速，则(2.23)式可表示为无量纲关系式（2.24）00DuMac000202202112111112uuMacMacpMapMaMa现将（2.23）式改写为（2.25）2000200112002002220002020032112112111112111221cuuDuDuDufcDufcpDuDuDuf强冲击波其中，f1、f2及f3是冲击波强度Ma=（D-u0）／c0的函数，在图中给出了γ=1.4时它们随1／Ma的变化曲线。我们看到，当Ma10即l／Ma0.1时，所有三个函数的值与1相差均小于5％。因此，当冲击波很强时，置c0／(D-u0)=0，即f1=f2=f3=1，所带来的误差将小于5％，这时(2.25)式就变为强冲击波关系式（2.26）000200211121uuDupDu2.3凝聚介质冲击波关系式对于凝聚介质，即使冲击波不强，其波后压力和比内能都远大于该物质正常状态时对应的值，所以，当冲击波波前处于正常状态时，可以认为p0=e0=0，并设波前是静止状态，u0=0，这时，冲击波的基本关系式（2.1）式～（2.3）式化为(2.27)000()1()2DuDpDuep大量实验表明，在凝聚介质中冲击波的速度D与其波后质点速度u之间，在相当宽的速度范围(或压力范围)内存在着线性关系D=c0十λu(2.28)其中c0及λ是常数。美国LosAlamos国家实验室和LawrenceLivermore实验室对大量物质进行了系统的测试，获得了详尽的数据。在表4.1及表4.2中列出部分物质的雨贡纽参数。可以把（2.27）式化为以u表出的形式：(2.29)0020000//()DcuDDupDuucu采用实用状态方程时的冲击波关系式对聚介质可采用实用状态方程（2.30）由状态方程(2.30)得出e，将它代入基本关系式(2.27)的最后一式，得稍经整理，就得凝聚介质的雨贡纽关系式（2.31）或（2.32）200()(1)pce20001(1)()112cpp22000000002()2()(1)(1)(1)(1)ccp2002000(1)2(1)2pcpc同样，若以冲击波速度D为参量，则冲击波的三个关系式可写为（2.33）式中为特征压力。0002220022*02()1(1)(1)22(1)1cuDccDDDcpDpc2*00pc若引进冲击波的马赫数Ma=D／c0，则(2.33)式可写为（2.34）02202*21()1(1)(1)22(1)1uMacMaMaMapMap二次冲击波的关系式现仍以下标“0”代表介质的初始正常状态，以“l”表示第一次冲击波的波后状态，