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量子力学练习题参考答案一、简答题1．简述光电效应中经典物理学无法解释的实验现象。答：光电效应中经典物理学无法解释的实验现象有：（1）对入射光存在截止频率0ν，小于该频率的入射光没有光电子逸出；（2）逸出的光电子的能量只与入射光的频率ν有关，入射光的强度无关；（3）截止频率只与材料有关而与光强无关；（4）入射光的强度只影响逸出的光电子的数量；（5）无论多弱的光，只要其频率大于截止频率，一照射到金属表面，就有光电子逸出。2．简述Planck的光量子假设。答：Planck的光量子假设为，对于一定的频率为ν的辐射，物体吸收或发射的能量只能以hν为单位来进行。3．写出Einstein光电方程，并阐述Einstein对光电效应的量子解释。答：Einstein光电方程为212hmWν=+v。Einstein对光电效应的量子解释为：（1）存在截止频率0ν，0Whν=，小于该频率的入射光无光电子逸出；（2）无论多弱的光，只要0νν，一经照射，马上就有光电子逸出；（3）逸出功由材料决定，即截止频率由材料决定；（4）光强代表总入射能量的多少，并不代表单个光子的能量，光强只影响光电子的数量而不影响其能量，即光电子的能量与入射光的频率有关与光强无关。4．简述Compton散射实验。答：如果光具有粒子性，当高能光子与低能电子碰撞时，光子就会损失能量，波长就会增加，这个实验就是康普顿散射实验，它证实了光的粒子性。()01coshmcλθΔ=−5．简述Bohr的量子论，并对它进行简单的评价。答：Bohr的量子论是建立在以下的假设上的（1）定态假设：电子在原子中可以处于某种特定的状态（定态）而不辐射能量；（2）量子化假设dkkkpqnh=∫v；（3）频率条件ifhEEν=−。Bohr的量子论用量子化假设来论证量子化，带有明显的人为的性质，仍然保留经典轨道的概念，无法处理更复杂的原子的光谱，只能处理周期运动，不能处理非束缚态问题。但在处理氢原子光谱时取得很大的成功，说明其假设有一定的合理成份。6．写出Sommerfeld用正则坐标与正则动量表示的量子化条件。答：d(1,2,3,)kkkkpqnhn==∫v其中(,)kkqp代表一对共轭的正则坐标和动量。7．利用光波的双缝干涉实验，说明Born的概率波解释。答：Born认为，微观粒子的运动状态用“波函数”来描述，粒子通过双缝时，每一个缝都有一个所谓的“波”通过，只不过与经典波的强度对应的，是粒子在某点附近出现的相对概率。对通过双缝的粒子，其概率“分成”了两束（波动性），但对某个具体的粒子，它只能通过其中的一个缝（粒子性）。8．阐述概率波波函数的基本特性。答：波函数的统计诠释，必然要求波函数具有下面的性质（1）波函数必须是有界且平方可积的；（2）波函数可以有一个常数因子的不确定性；（3）概率密度（即*ψψ）必须是单值的；（4）波函数必须是连续的。9．设()ikxxeψ−=，粒子的位置几率的分布如何？此波函数能否归一化？答：粒子位置分布的概率密度为*()()1ikxikxxxeeρψψ−===在整个位置空间，粒子的概率分布相同，这不是真实的物理问题，是对物理问题进行理想化处理的结果，波函数不能归一化。10．设()()xxψδ=，粒子的位置几率的分布如何？此波函数能否归一化？答：粒子位置分布的概率密度为2*()()()xxxρψψδ==利用公式00()()d()fxxxxfxδ+∞−∞−=∫，得2d()d(0)xxxρδδ+∞+∞−∞−∞===∞∫∫该波函数也不能归一化，这也不是真实的物理问题，是对物理问题进行理想化处理的结果。11．设粒子波函数为(,,)xyzψ，写出在(,d)xxx+范围找到粒子的几率。答：在(,d)xxx+范围找到粒子的几率为ddd*(,,)(,,)xyzxyzxyzψψ+∞+∞−∞−∞∫∫或者：*dddyzxψψ∞∞−∞−∞⎡⎤⎢⎥⎣⎦∫∫12．N粒子系的波函数为12(,,,)NrrrψKKK，写出在111(,d)rrr+KKK中找到粒子1的几率（其它粒子的位置不限）。答：在111(,d)rrr+KKK范围找到粒子的几率为121212ddd*(,,,)(,,,)NNNrrrrrrrrrψψ+∞+∞−∞−∞∫∫KKKKKKKKK13．设一维自由粒子的初态0/(,0)ipxxeψ==，写出(,)xtψ。答：对一维自由粒子，其波函数为平面波的形式为00/()//(,)ipxiEtpxiEtxteeeψ−−−=⋅====14．写出动量算符、动能算符以及在直角坐标系中角动量各分量的算符的表达式。答：动量算符lpi=−∇K=动能算符l()212Tim=−∇=角动量各分量的算符xLiyzzy⎛⎞∂∂=−−⎜⎟∂∂⎝⎠=，yLizxxz∂∂⎛⎞=−−⎜⎟∂∂⎝⎠=，zLixyyx⎛⎞∂∂=−−⎜⎟∂∂⎝⎠=15．写出在球面坐标系下角动量平方算符的表达式。答：2222211sinsinsinLθθθθθϕ⎡⎤∂∂∂⎛⎞=−+⎜⎟⎢⎥∂∂∂⎝⎠⎣⎦=16．简述粒子动量与位置的不确定关系。答：若要想精确地知道粒子的动量值，就无法得知粒子的具体位置；要想精确地知道粒子的位置，就无法得知粒子的具体动量值，位置分布的均方差和动量分布的均方差受到下面关系的制约2xpΔ⋅Δ≥=17．简述量子力学的态叠加原理。答：量子力学的态叠加原理是指如果1ψ、2ψ、3ψ……均是体系的可能状态，则它们的线性组合nnnCψψ=∑也是体系的可能状态。18．描述微观粒子的隧道效应。答：微观粒子入射到势场中时，可以穿透大于粒子入射能量的势场，这种效应称为隧道效应。19．写出一维谐振子的Hamilton量、定态Schrödinger方程以及能量本征值的表达式。答：一维谐振子的Hamilton量为ll22222d1()2d2HTVxmxmxω=+=−+=定态Schrödinger方程为22222d1()()2d2mxxExmxωψψ⎛⎞−+=⎜⎟⎝⎠=能量本征值为10,1,2,2nEnnω⎛⎞=+=⎜⎟⎝⎠=20．简述处于基态的一维谐振子的特征长度（经典回转点）。答：一维谐振子的基态能量为012Eω==此时对应于经典振子的振幅为221122mAωω==于是有0xAmω===0x称为谐振子的特征长度（经典回转点），也就是经典谐振子的振幅，经典粒子无法逾越此禁区，但是微观粒子能够穿越此经典禁区。21．简述“箱归一化”方法的基本思想。答：“箱归一化”方法，其基本思想是先把波函数限制在一个正六面体的“箱”中，此时体系所处的状态是束缚态，能够把波函数归一化。当把波函数归一化后，再把“箱”扩展到无穷空间，由此来确定波函数中的“归一化常数”。22．完整阐述不确定性原理。答：由于粒子波函数对空间、动量、动能、总能量、角动量等的概率分布的同时决定，也使得它们的分布同时制约，这种制约就是不确定性原理，它是任何两个力学量在任何状态下的涨落（用均方差表示）必须满足的相互制约关系，公式表示为ll1[,]2ABABΔ⋅Δ≥⋅23．如果算符ˆA的本征值分别为123,,,AAA，在算符ˆA的自身表象中写出算符ˆA的矩阵形式。答：算符在其自身的表象中，矩阵的表示形式为一对角矩阵123000000AAA⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠A24．什么是守恒量？简述在概率密度分布不随时间改变的问题上，定态与守恒量的区别。答：如果力学量算符lA满足：（1）不显含时间；（2）与体系Hamilton算符lH对易，则称力学量A为体系的一个守恒量。在概率密度分布不随时间改变的问题上，定态与守恒量的区别为：在定态下，所有力学量的概率分布不随时间改变；在一切状态下，守恒量的概率分布不随时间改变。25．在zS表象下，写出算符ˆzS及其本征态|↑〉和|↓〉的矩阵表达式。答：在zS表象下，算符ˆzS的矩阵表达式为10012z⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠S=其本征态|↑〉和|↓〉的矩阵表达式分别为1|0↑⎛⎞〉=⎜⎟⎝⎠和0|1↓⎛⎞〉=⎜⎟⎝⎠26．设角动量1ˆJ和2ˆJ彼此独立，其量子数分别为11j=、212j=，在无偶合表象中写出总角动量12ˆˆJJ+的所有本征态。答：无偶合表象中总角动量12ˆˆJJ+的所有本征态为（根据1122|,,,jmjm〉）11|1,1,,22〉、11|1,1,,22−〉、11|1,0,,22−〉、11|1,0,,22〉、11|1,1,,22−〉和11|1,1,,22−−〉27．设角动量1ˆJ和2ˆJ彼此独立，其量子数分别为11j=、212j=，在偶合表象中写出总角动量12ˆˆJJ+的所有本征态。答：偶合表象中总角动量12ˆˆJJ+的所有本征态为（根据12|,,,jjjm〉）133|1,,,222〉、131|1,,,222〉、131|1,,,222−〉、133|1,,,222−〉、111|1,,,222〉和111|1,,,222−〉28．对非简并态的微扰，写出能级与波函数的一级近似值与能级的二级近似值。答：对非简并态的微扰，能级与波函数的一级近似值分别为(0)nnnnEEH=+′(0)(0)(0)(0)knnnkknkHEEψψψ′=+′−∑其中l(0)(0)||knknHHψψ≡〈〉′′。能级的二级近似值为2(0)(0)(0)||knnnnnknkHEEHEE′=++′′−∑29．简述变分法的基本思想。答：变分法的基本思想是，首先选取含有参数λ的尝试性波函数()ψλ，用之求体系Hamilton量lH的平均值()Hλ；然后求体系Hamilton量的平均值取最小值时参数λ的取值，由此得出体系Hamilton量平均值的最小值minH，这就是体系基态能量0E的近似值。30．设体系的微扰ˆH′从0t=时刻开始引入，在微扰作用下，在时刻[0,]t内体系从初态kΦ跃迁到终态mΦ的概率是多少？答：在时刻[0,]t内体系从初态kΦ跃迁到终态mΦ的概率是2|()|mkmWat=其中01()dmktimmkateHiωττ′=∫=，l*()dmkmkHHtϕϕτ′=′∫，()/mkmkEEω=−=二、证明题1．证明黑体辐射的辐射本领(,)ETν与(,)ETλ之间的关系。证明：黑体的辐射本领是指辐射体单位面积在单位时间辐射出来的、单位频率间隔内的能量，用(,)ETν表示。由于/cνλ=，所以黑体的辐射本领也可以表示成(,)ETλ。由定义得单位面积、单位时间内辐射的能量为00(,)d(,)dETETννλλ∞∞=∫∫利用/cνλ=，得2ddcνλλ=−，所以有020(,)d(,)dcETETνννλλ∞∞⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠∫∫20(,)dcETνλλ∞=∫由此得到辐射本领的频率表示与波长表示之间的关系为：2(,)(,)ETETcνλν=2．从Schrödinger方程出发，证明量子力学中定域几率守恒的表达式0jtρ∂+∇⋅=∂K式中，概率流密度()**2ijmψψψψ=−∇−∇K=，并阐明定域几率守恒表达式的物理意义。证明：由Schrödinger方程ˆiHtψψ∂=∂=两边左乘*ψ，得ˆ**iHtψψψψ∂=∂=（1）上式取复共轭，考虑到22ˆ2HVm=−∇+=为实算符，得ˆ**iHtψψψψ∂⎛⎞−=⎜⎟∂⎝⎠=（2）（1）式与（2）式相减，得()()222***2itmψψψψψψ∂=−∇−∇∂==()2**2mψψψψ=−∇⋅∇−∇=上式对任意闭区域Ω积分，得()()2*d**d2irVtmψψψψψψΩΩ∂=−∇⋅∇−∇∂∫∫=K=即d()drjVtρΩΩ∂=−∇⋅∂∫∫KK考虑到积分区域的任意性，即有0jtρ∂+∇⋅=∂K上式在量子力学中称为概率守恒定律的微分形式，它表明：在非相对论量子力学中，粒子既不会产生，也不会湮灭，某个地方出现粒子的概率增加了，一定是有概率“流”进去，别的地方出现粒子的概率必定会减少。反之，某个地方出现粒子的概率减少了，一定是有概率“流”出去，别的地方出现粒子的概率必定会增加。3．设1(,)rtψK和2(,)rtψK均为同一Schrödinger方程的两个解，证明：312dd*(,)(,)0drrtrttψψ=∫KK证明：由题意，有11ˆ(,)(,)irtHrttψψ