大学物理-矢量

标量矢量(VECTOR)1、标量(scalar)和矢量(vector)大小，由单一的数和单位描写。大小和方向（单位）。矢量特别提示，注意书本上的印刷体符号，如果是斜写的黑体，就是矢量，如：F，f。AmabA矢量可作图表示：A矢量可作文字表示：矢量由大小和其方向构成：=AAAAAAAAAB负矢量：方向相反，大小相等。概念：单位矢量，模为大小，为单位矢量，大小为1。=AAA2、矢量加法（VECTORADDITION）ABC矢量加法遵循平行四边形法则或三角形法则ABC解决了矢量加法，也就解决了矢量的减法。同时，也解决了多个矢量的加法问题。()ABABDABCAB-BCAB矢量加法服从：交换律：结合律：ABBA()()ABCABCABCAB3、矢量的乘法(PRODUCTCTSOFVECTORS)矢量和标量乘结果是一个矢量。大小、方向？矢量和矢量乘结果是一个标量。大小？结果是一个矢量。大小、方向？矢量的标积或点乘(Scalarproduct)cosABABBcosθAB表示：两个矢量的标积是一个标量，其大小是第一个矢量的大小乘以第二个矢量在第一个矢量上的投影。是指这两个矢量的夹角。cosABAB1)2)如果:则反之亦成立。3）两个矢量平行、反平行时，标积最大、最小。ABBA0ABABAB矢量的矢积或叉乘（Vectorproduct）sinABCABABCC两个矢量的矢积是一个矢量，其大小是第一个矢量的大小与第二个矢量的大小以及两矢量夹角的正弦值，这三者的乘积，方向按右手螺旋法则确定。矢量与、矢量构成的平面永远垂直！它的意义是、矢量构成的平行四边形的有向面积。CAABB1)2)如果:则反之亦成立。3）两个矢量垂直时，矢积的模最大，方向按右手螺旋法则。ABBA0ABAB矢量的分量(Components)一个矢量可以分解为两个或多个矢量之和。OYXAxAycossinxyAAAA例如：等等分法，但有意义的是在特定的坐标系里分解。最常见的是直角坐标系。ABCDEFA22xyAAAA1tanyxAA因此，平面上的一个矢量，可以用其两个坐标分量确定；也可以由其大小和方向确定。OYXAxAyOZYXPAyAzAxxyzxyzOPAAAAiAjAk单位矢量：(Unitevectors)ijk222xyzAAAAAcosxxAAAAcosyAA222coscoscos1coszAA因此，一个矢量可以表示为三个分矢量之和；也可以由其大小和三个方向角决定（四个变量？）。可以写为：(,,)xyzxyzAAAAAAAijkOZYXPAyAzAxijk5、矢量的分量运算VectorOperationbyComponents()()()()()xyzxyxxyyzzzAAiAjAkBiBjBkijkBABABABxyzAAiAjAkxyzBBiBjBk()()xyxxyzxyyzzzAiAjAkBiBjBkABABABAB注意到如下关系：10iijjkkijjkki同样因为有如下关系：0,,iijjkkijkjkikij()()()()()yzzxyzxyyzxxzxyyxzABABABiABABjABABkAiAjAkBiBjBk利用行列式，可表达为：xyzxyzijkABAAABBBMotion01.swf矢量的微分VectorDifferencerzyxoBrBArA要研究物理量的时间变化率，就经常要对矢量求导数，即矢量的时间变化率。图中，在时间从t→t＋t质点沿轨道从A点运动到B点，其矢径ABrr为在此时间内的位移矢量，当t→0时，可得该位移矢量的微分：，此时位移矢量的微分方向为A点处轨道的切线方向。BArrr0dlim()BAtrrr位移矢量对时间的变化率为速度矢量：0dlimdtrrvtt速度的方向为轨道上质点所在处的切线方向。在直角坐标系中：AArBBrrvozyxddddddddrxyzvijktttt注意到矢量有大小和方向两个属性，因此其微分：。举例：直线运动和圆周运动。00ddAddddAAAAttt圆周运动0A0A考虑在圆周运动情况下，单位矢量对时间的变化率的大小和方向，注意到：0A0dAdt0000dlimlidmddttAtAttt000limdtAA即圆轨道切线方向由上述分析可知，圆周运动的速度方向为沿切线方向。ω是圆周运动情况下的角速度大小。通常把角速度按如下图规定为矢量，则可得速度矢量与角速度矢量和矢径的关系。rvvr角速度矢量的方向矢量微分的应用：加速度(Acceleration)加速度是反映速度变化的物理量t1时刻，质点速为t2时刻，质点速度为1v2vt时间内，速度增量为：12vvv平均加速度2smtva平均加速度的方向与速度增量的方向一致xozy1v2v1v2vv当t0时，平均加速度的极限即为瞬时加速度。瞬时加速度：2220ddmsddlimtvvratttddddddddyxzvvvvaijkttttkajaiazyx222222ddddddxyzijkttt222222ddddddddddddyxzxyzvvvxyzaaatttttt加速度的大小：222zyxaaaa加速度的方向：当t趋向零时，速度增量的极限方向v加速度的分量：自然坐标系中的切向加速度和法向加速度速度增量：vvv平均加速度：tva瞬时加速度：0limtvat1P2Pvvsvvv某一质点作一般曲线运动t时刻位于P1点，速度为，经过t时间位于P2点，速度为。vvvvvnvnvvv000limlimlimntttvvvattt00dlimlimdttvvvattt右边第一项称为切向加速度，用表示a•切向加速度反映速度大小的变化•其方向沿轨道切线方向v切向加速度：000limlimlimnntttvvvsattst其中：0dlimdtssvtt01limts法向加速度：2van右边第二项称为法向加速度tvantnlim0方向：沿法线方向，指向曲率中心。nvan2大小：vvvnvv总加速度：aaan总加速度的大小：22aan总加速度的方向：arctannaa例：抛体运动anagm圆周运动加速度小结圆周运动是一般曲线运动的一个特例，曲率半径恒为r。一般圆周运动：ddvatrvan2匀速圆周运动：0,=0arvaan21d(rads)dt20d(rads)dlimtttdd()ddddvrarrttt学习小结1、矢量是有大小、有方向的量。2、矢量的几种运算：加法、点乘、叉乘，以及运算规则。3、矢量在直角坐标系中的分解，以及对几种运算的应用。4、矢量的微分。5、熟悉质点运动的一般描写。作业：矢量习题。阅读：附录“矢量”