第五章 力法

第五章力法§5-1超静定结构概述§5-2力法的基本概念§5-3力法计算示例§5-4对称结构的计算§5-6支座移动和温度改变时的计算§5-7超静定结构位移的计算§5-8超静定结构计算的校核a)静定结构b)超静定结构§5.1超静定结构概述一、超静定结构的组成静力特性FAxFAyFByAB未知力的数目等于静力平衡方程的数目，结构的支座反力和各截面内力可以用静力平衡条件唯一确定。未知力的数目大于静力平衡方程的数目，结构的支座反力和各截面内力不能完全由静力平衡条件唯一确定。几何组成方面a)静定结构是无多余约束的几何不变体系。b)超静定结构是有多余约束的几何不变体系。二、超静定次数的确定超静定次数=多余约束的个数=多余未知力的个数把原结构变成静定结构时所需撤除的约束个数=未知力的个数—平衡方程的个数（1）撤除一根支杆、切断一根链杆、把固定端化成固定铰支座或在连续杆上加铰，等于撤除了一个约束。X1X2P1X1XX1X3X2（2）撤除一个铰支座、撤除一个单铰或撤除一个滑动支座，等于撤除两个约束。X4X3X1X2X1X2（3）撤除一个固定端或切断一个梁式杆，等于撤除三个约束。X1X2X3X2X1每个无铰封闭框都有三次超静定超静定次数=3×封闭框数=3×5=15超静定次数=3×封闭框数－单铰数目=3×5－5=10X1X3§5-2力法的基本概念qABlEIRBX1基本体系（基本结构）ABRBqAB1一次超静定结构qAB=0（变形协调条件）X1AB基本体系（基本结构）为静定结构Δ11Δ1P01111PX1=11111111X011111PX（力法方程）力法方程的实质是变形协调条件（即：位移方程）1011111PX力法方程P1基本结构在荷载单独作用下沿X1方向的位移。qAB基本体系X1qABqABX1ABΔ11Δ1P11基本结构在单位力X1=1单独作用下沿X1方向的位移。01ABX1=111ABABl221ql1MPM1ABlqAB基本体系X1qABqABX1ABΔ11Δ1P01ABX1=111ABABl221ql1MPMEIllllEI332)21(1311EIqllqllEIP843)231(1421代入力法方程：01111PX得：qlXP831111PMMXM11AB281ql281qlM基本体系有多种选择；qAB基本体系X1011qABX1qABBA01111PP111X1=1BA11011111PXBABA281qlEIllEI332)121(111EIqlqllEIP2421)8132(13212111181qlXPPMMXM11AB281ql281qlM1MPM对于多次超静定结构，（以二次超静定结构为例）qllEIEIABCqX2X1基本体系qX12111X222121P2P100222212112111PP200基本体系qX12111X22212P2P100222212112111PP原结构X1=121111212111111XX2212X2=12222221212XX002222121212121111PPXXXX1M2MPM1M2MPMMMM21PMMXMXM2211n次超静定结构0...................................................................................0...............0...............221122222212111212111nnPnnnnnPnnnPnnXXXXXXXXX1）ij,iP的物理意义；2）由位移互等定理jiij；3）表示柔度，只与结构本身和基本未知力的选择有关，与外荷载无关；ij4）柔度系数及其性质nn2n1nn22221n11211.....................................................................对称方阵系数行列式之值0主系数0ii副系数000ij5)最后内力Pnn2211MXM.............XMXMMij位移的地点产生位移的原因力法计算超静定结构的步骤1）确定超静定次数，确定基本未知量（即：解除多余约束代以多余约束力），选择基本体系（基本结构）；2）建立力法典型方程;4）求解力法方程，得基本未知量;5）根据叠加原理作内力图，并校核。3）作图和图，计算柔度系数和自由项;iMPMPnn2211MXM.............XMXMM§5-3力法计算示例1、连续梁和超静定刚架qABCD例1：用力法计算图示连续梁。已知连续梁各跨的刚度均为EI用力法解连续梁时，其基本体系是将杆在中间支座处变为铰，如下图所示。X1X2qABCD0B0C基本体系002222212111212111PPXXXX力法方程X1=1X2=1ABCDqABCDABCDEIllEI32232)121(111032602463221321XEIlXEIlEIqlXEIlXEIlEIllEI631)121(12112EIllEI32232)121(122EIqlqllEIP2421)8132(122102P将系数和自由项代入力法方程2221601151qlXqlXPMMXMXM2211ABCD1MPM2M11281ql绘制弯矩图2151ql212011ql2601qlM例2：用力法计算图示刚架的M图。qllE1I1E2I2kIEIE2211qX1X2基本体系002222212111212111PPXXXXABC10A20Cq力法方程X1=111MX2=1112M281qlPMqX1=111MX2=1112M281qlPM)(2211kIEIE222211332)121(1IEllIE22222112631)121(1IEllIE)1(33332)121(132)121(1222211221122kkIElIElIEllIElIE11321112421)8132(1IElqllIEP02P将系数和自由项代入力法方程，并求解4314121kqlX4312122kqlX讨论：1）当k=0，即E1I1很小或E2I2很大，则：4314121kqlX4312122kqlX2281qlX21161qlX柱AC相当于在横梁BC的C端提供了固定约束。2）当k=1，即E1I1=E2I2，则：3）当k=∞，即E1I1很大或E2I2很小。由于柱AC抗弯刚度趋近于零，只提供轴向支撑，故梁BC相当于简支梁。ABC281ql2161qlMB2161qlC281ql2161ql刚架弯矩图如图a所示。刚架弯矩图如下。21281qlX22141qlX刚架弯矩图如图b所示。ABC2141ql2281qlM2565ql结论：在荷载作用下，超静定结构的内力只与各杆抗弯刚度EI的比值k（抗弯刚度的相对值）相关，而与杆件抗弯刚度EI的绝对值无关。若荷载不变，只要k不变，结构内力也不变。ABC281qlMk=1时k=∞时图（a）图（b）2、超静定排架例求图示排架M图。排架结构求解时，通常切断链杆以得到力法基本结构。这样，MP图和M1图局部化，求解力法方程系数比较简单。EIEIEIEAEA6m2m5kN/mEIEIEIEAEA6m2m5kN/m5kN/mX1X2基本体系原结构X1=1661MX2=128282MEIEI1442)632()6621(111EIEI108)231832()6621(12112EIEI10242)832()8821(122X1X15kN/m90kN/mPMX1=1661MX2=128282MEIEIP810)643()90631(11375.71kNX02P将系数和自由项代入力法方程，并求解334.22kNXPMMXMXM221145.754.6725.5818.67M（kNm）3、超静定桁架和组合结构X1X1=11111122000PF2基本体系NPFX1X1力法方程的物理意义是：基本结构在荷载和X1共同作用下，杆AB切口左右截面相对水平位移等于零。基本结构中包括AB杆。求图示桁架各杆轴力，各杆EA相同。ABFP011111PXPF1NFFPllFPFPPFEAlFFEAlFEAlEAlFFPPPPNNP)221(2)]2)(2[(22)1(11EAlEAlEAllEAFN)21(422)2(41222111NPNNFFXF11X1=11111122000NPFPF1NFFPFPPF21111PPFXFPNF2PF2PF2PF2PFPF22PF22PF2思考：可否采用如下基本体系？力法方程如何建立？X1基本体系EAlXXP111111llABFPX1ABX1X1力法方程的物理意义是：基本结构在荷载和X1共同作用下，结点A、B相对水平位移等于杆AB的伸长，但符号相反。基本结构中不包括AB杆。EAlFiNii2EAlFFjiNNijEAlFFNPNiiP超静定组合结构的计算分析图示加劲梁X1基本体系l/2l/2E1I1E2A2↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓组合结构中既有链杆也有梁式杆，计算力法方程的系数和自由项时，对链杆只考虑轴力的影响；对梁式杆通常只考虑弯矩的影响，忽略轴力和剪力的影响。EAlFdxEIMiNiii22EAlFFdxEIMMjiNNjiijEAlFFdxEIMMNPNiPiiP011111PXX1=1l/4↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ql2/8000332322113332222212111248)2(2)1(2)432()4221(1AEhaAEhIElAEahaAEhlllEIEAlFdxEIMN33232211311411112483845AEhaAEhIElIEqlXP1142111384502)485()8232(1IEqllqllEIEAlFFdxEIMMNPNPP011111PXNPF1NFPM1MPMXMM11由上式：横梁由于下部桁架的支承，弯矩大为减小。如E2A2和E3A3都趋于无穷大，则X1趋于5ql/8，横梁的弯矩图接近于两跨连续梁的弯矩图。如E2A2或E3A3趋于零，则X1都趋于零，横梁的弯矩图接近于简支梁的弯矩图。↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ql2/32↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ql2/8↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓PNNNFXFF1133232211311411112483845AEhaAEhIElIEqlXP力法基本体系的合理选择力法基本体系有多种选择，但必须是几何不变体系。同时应尽量使较多