第五章 勒让德多项式

深圳大学电子科学与技术学院第五章：勒让德多项式深圳大学电子科学与技术学院深圳大学电子科学与技术学院•几个微分方程的引入•勒让德方程的求解•勒让德多项式的性质•函数展成勒让德多项式的级数本章提要:参考了孙秀泉教授的课件深圳大学电子科学与技术学院三维波动方程：22222222222azyxat三维热传导方程：)()(),(tTrutr222222222azyxat分离变量：（亥姆霍兹方程）022uku一、几个微分方程的引入深圳大学电子科学与技术学院xyzrcossinsincossinrzryrx球坐标下：022uku0sin1sinsin1122222222ukururrurrr深圳大学电子科学与技术学院)()()(),,(rRru0)()(''2m0)sin(sinsin1222mdddd0)(2222RrkdrdRrdrd球贝塞尔方程022RdrdRrdrd欧拉方程k=0k=0深圳大学电子科学与技术学院0)sin(sinsin1222mdddd)()(cosxyx0)1()1(2222yxmdxdyxdxd连带勒让德方程：勒让德方程：0)1(22ydxdyxdxdm=0深圳大学电子科学与技术学院)(,0)()()(bxayxyxqxdydxkxdd取：1)(0)(1)(xxqxk、、022ydxyd亥姆霍兹方程xxxmxqxxk)()()(2、、02xyyxmdxdyxdxd参数形式的贝塞尔方程取：=1时02xyyxmdxdyxdxdSturm-Liouville（施图姆-刘维尔）型方程贝塞尔方程101)(2、、qxxk0)1(2ydxdyxdxd勒让德方程取：深圳大学电子科学与技术学院从拉普拉斯方程直接引入勒让德方程球坐标系中的拉氏方程为：0sin1sinsin112222222ururrurrr)()()(),,(rRru设具有变量分离的形式解0sin)(sinsin)(2222222ddrRddddrRrdRdrrddr两边同乘以，并移项，得Rr22222sin1)(sinsin1)(1ddddddrdRdrrddR(1)02u深圳大学电子科学与技术学院2222sin1)(sinsin1)(1ddddddrdRdrrddR左端只与r有关，右端只与、有关，要使两边相等，只能等于常数。令该常数等于l(l+1)，l为实数。)1()(12llrdRdrrddR)1(sin1)(sinsin1222lldddddd(3)(2)(4)(3)为欧拉方程，其通解为)1()(llllrBrArR(4)两边同乘以sin2，并移项，得2221sin)1()(sinsin1ddlldddd(5)深圳大学电子科学与技术学院2221sin)1()(sinsin1ddlldddd22sin)1()(sinsin1mlldddd01222mdd(6)(7)(7)的通解为mBmBsincos)(21(6)为连带勒让德方程。令x=cos，y(x)=()，则01)1('2'')1(222yxmllxyyx当m=0时，0)1('2'')1(2yllxyyx勒让德方程(5)深圳大学电子科学与技术学院二、勒让德方程的求解0)1('2'')1(2yllxyyx设此方程在x=0处有幂级数解0kkkxCy11'kkkxkCy22)1(''kkkxCkky(8)代入式(8)深圳大学电子科学与技术学院0)1)(()1)(2()1()1()1)(2()1(2)1()1()1(2)1()1()1(2)1()1(0200202201222011222kkkkkkkmmmkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkxClklkCkkxCllkkxCmmxCllkkkxCkkxCllxkCxCkkxCkkxCllxkCxxCkkx求和为零的充分必要条件是任意项xk的系数为零k=m+2)1)(()1()1(22lklklklkllkk深圳大学电子科学与技术学院0)1)(()1)(2(2kkClklkCkkkkCkklklkC)1)(2()1)((2002!2)1()10)(20()10)(0(CllCllC024!4)3)(1()2()12)(22()12)(2(CllllCllC06!6)5)(3)(1()2)(4(CllllllC02!)2()12()3)(1()2()22()1(CiilllllilCii0k2k4k深圳大学电子科学与技术学院1k113!3)2)(1()11)(21()11)(1(CllCllC3k15!5)4)(2)(1)(3(CllllC5k17!7)6)(4)(2)(1)(3)(5(CllllllC112!)12()2()6)(4)(2)(1)(3()12()1(CiillllllilCiikkCkklklkC)1)(2()1)((2深圳大学电子科学与技术学院420!4)3)(1()2(!2)1(1)(xllllxllxy531!5)4)(2)(1)(3(!3)2)(1()(xllllxllxxy勒让德方程有两个线性独立的解y0(x)和y1(x)，称为勒让德函数，称为第一类勒让德函数。通解：)()()(1100xyCxyCxyy0(x)只包含x的偶次幂，y1(x)只包含x的奇次幂。C0与C1线性无关深圳大学电子科学与技术学院的收敛半径为判别法，这两个幂级数幂级数收敛的达朗贝尔从系数的递推公式依据1)11)(1()11)(21(lim)1)(()1)(2(limlim2klklkklklkkkCCRkkkkk420!4)3)(1()2(!2)1(1)(xllllxllxy531!5)4)(2)(1)(3(!3)2)(1()(xllllxllxxy勒让德函数在x1内收敛勒让德函数在x1时发散。可以证明，在边界x=1上是无界的。在实际问题中，又常常要求勒让德方程在闭区间[-1,1]上有界。考虑将无穷级数y0(x)和y1(x)截断，使它们变成多项式。多项式是一定有界的。深圳大学电子科学与技术学院kkCkklklkC)1)(2()1)((2当l=k时，Ck+2、Ck+4、…均为零，无穷级数y0(x)和y1(x)中，必有一个退化为l次多项式。当实数l限于l=0,1,2,3,…时，勒让德方程的解为多项式。)2,...,2,1,0()1)(()1)(2(2lkClklkkkCkk取2)!(2)!2(llCll)2,...,2,1,0()!2()!(!2)!22()1(2lmmlmlmmlClmml)!2()!1(2)!22()12(2)1(2lllClllClll)2(!22!)1(220lmllCll常数项深圳大学电子科学与技术学院MmmllmlxmlmlmmlxP02)!2()!(!2)!22()1()(为奇数时。当或为偶数时，当llllM,2)1(,2l阶勒让德多项式勒让德方程的通解为：)()()]()([)]()([)(1010xBQxAPxYxYBxyxyAxyll当l为偶数时，y0(x)被截断成多项式，但y1(x)仍是无穷级数[记作Y1(x)]；当l为奇数时，y1(x)被截断成多项式，但y0(x)仍是无穷级数[记作Y0(x)]。Y0(x)与Y1(x)组合表示为Ql(x)，在x1时收敛，在x=1上是发散的，称为第二类勒让德函数。深圳大学电子科学与技术学院.21lMl为奇数时，取当问题:如何具体写出勒氏多项式..2lMl为偶数时，取当.0200)1(Ml时，取)!020()!00(!02)!0202()1()(00000mxP020x1111.02111)2(Mn时，取)!021()!01(!02)!0212()1()(10001mxP021xxx111.1222)3(Ml时，取)10(、m)!022()!02(!02)!0222()1()(202xP)!122()!12(!12)!1222()1(21022x122x)0(m022123xx)13(212x)0(m.12133)4(Ml时，取)10(、m)!023()!03(!02)!0232()1()(303xP023x)!123()!13(!12)!1232()1(31123x132325xx)35(213xxMmmllmlxmlmlmmlxP02)!2()!(!2)!22()1()(深圳大学电子科学与技术学院问题:如何具体写出勒氏多项式..21lMl为奇数时，取当.2lMl为偶数时，取当.2244)5(Ml时，取)210(、、m.22155)6(Mn时，取)210(、、mMmmllmlxmlmlmmlxP02)!2()!(!2)!22()1()()!024()!04(!02)!0242()1()(404xP)!124()!14(!12)!1242()1(41024x124x)!224()!24(!22)!2242()1(42224x)33035(8124xx)!025()!05(!02)!0252()1()(505xP025x)!125()!15(!12)!1252()1(51125x)!225()!25(!22)!2252()1(52225x)157063(8135xxx.3266)7(Ml时，取)3210(、、、m.32177)8(Ml时，取)3210(、、、m深圳大学电子科学与技术学院时，得到特别是，当5,4,3,2,1,0l)(0xP)(1xP)(2xP)(3xP对应的图形如下：)157063()()33035()()35()()13()()(1)(35815248143213221210xxxxPxxxPxxxPxxPxxPxP问题：Pn(x)的最高幂次是？深圳大学电子科学与