DFT的共轭对称性

第十讲3.2.5DFT的共轭对称性3.3频域抽样理论--抽样Z变换3.4.1用DFT计算线性卷积3.2.5DFT的共轭对称性与DTFT对称性的区别DTFT以(-∞,+∞)为变换空间，所以在讨论对称性质中，以原点为对称中心，序列的移位范围无任何限制，因为无论如何不会移出变换区间；DFT以(0,N-1)为变换空间，所以在讨论对称性质中，序列的移位会移出变换区间，所以要在区间(0,N-1)上定义有限长序列的圆周共轭对称序列和反对称序列；DFT以(0,N-1)为变换空间，所以在讨论对称性质中，将会得出其对称中心为n=N/2。1.周期序列共轭对称分量与共轭反对称分量周期为N的周期序列的共轭对称分量与共轭反对称分量分别定义为]))(())(([21)](~)(~[21)(~]))(())(([21)](~)(~[21)(~****NNoNNenNxnxnxnxnxnNxnxnxnxnx同样，有)(~)(~)(~)(~)(~)(~)(~**nxnxnxnxnxnxnxooeeoe*1()[()()]2exnxnxn*1()[()()]2exnxnxn(())Nxn*(())NxNn2.有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量分别定义为)(]))(())(([21)()(~)()(]))(())(([21)()(~)(**nRnNxnxnRnxnxnRnNxnxnRnxnxNNNNoopNNNNeep由于)()(~)()(~)()](~)(~[)()(~)(nRnxnRnxnRnxnxnRnxnxNoNeNoeN所以)()()(nxnxnxopep这表明长为N的有限长序列可分解为两个长度相同的两个分量。2.有限长序列的圆周共轭对称与圆周共轭反对称性质()()01()()01epepopopxnxNnnNxnxNnnN**1()[()()]21()[()(()]2epopxnxnxNnxnxnxNn上式已给出有限长序列x(n)的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量的对称中心为N=N/2，其圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量可简写为：共轭对称与共轭反对称序列示意图()(),01222()(),01222epepopopNNNxnxnnNNNxnxnn3.有限长序列x(n)的对称分量分解及其DFT表示:()()()DFT[()]()()()1()[()()]21DFT[()][()()]()21()[()()]21DFT[()][()()]()2riepoprrepiiopxnxnjxnxnXkXkXkxnxnxnxnXkXNkXkxnxnxnxnXkXNkXk若有则有：证明：圆周共轭对称分量。的该序列复数序列实部的DFTDFT*圆周共轭反对称分量。的该序列的复数序列虚部乘以DFTDFTj*4.有限长序列x(n)的实虚分解及其DFT表示)](Im[)]()([21])(DFT[)]()([21)()](Re[)]()([21)]([DFT)]()([21)(:)()()()]([DFT:)()()(:kXjkXkXnxnNxnxnxkXkXkXnxnNxnxnxkjXkXkXnxnxnxnxopopepepIRopep证明则有若有5.实、虚序列的对称特性当x(n)为实序列时，则X(k)=Xep(k)又据Xep(k)的对称性：)())(()(*kRkNXkXNNepep当x(n)为纯虚序列时，则X(k)=Xop(k)又据Xop(k)的对称性：)())(()(*kRkXkXNNopop)())(()(*kRkNXkXNN)())(()(*kRkXkXNN序列DFT共轭对称性总结1：复数序列的共轭对称性()()xnXkRe[()]()epxnXkIm[()]()opjxnXk()Re[()]epxnXk()Im[()]opxnjXk序列DFT共轭对称性总结2:实数序列的共轭对称性Re[()]()()epxnXkXkIm[()]0()0opjxnXk()Re[()]epxnXk()Im[()]opxnjXk共轭对称性总结3:纯虚序列的共轭对称性序列DFTRe[()]0()0epxnXkIm[()]()()opjxnXkXk()Re[()]epxnXk()Im[()]opxnjXk假设x1(n)和x2(n)都是N点的实数序列，可用一次N点DFT运算来计算它们各自的DFT:11[()]()DFTxnXk22[()]()DFTxnXk利用两序列构成一个复序列12()()()wnxnjxn12()[()][()()]WkDFTwnDFTxnjxn则12[()][()]DFTxnjDFTxn12()()XkjXk6.共轭对称性的应用举例1()Re[()]xnwn由得11()[(]()epXkDFTxnWk*1[(())(())]()2NNNWkWNkRk2()Im[()]xnwn由得221()[()]()opXkDFTxnWkj*1[(())(())]()2NNNWkWNkRkj3.3频域抽样理论--抽样Z变换讨论：时域抽样:对一个频带有限的信号,根据抽样定理对其进行抽样,所得抽样信号的频谱是原带限信号频谱的周期延拓,因此,完全可以由抽样信号恢复原信号。频域抽样:对一有限序列(时间有限序列)进行DFT所得x(k)就是序列傅氏变换的采样.所以DFT就是频域抽样。问题:能否由频域抽样X(k)恢复序列x(n)能否由频域抽样X(k)恢复序列x(z)或若能恢复其条件是什么？如何推导内插恢复公式?()jXe回忆时域内插恢复公式!()(()())kNnkNzWnXkNWznXXzx对在单位圆上点等间隔抽样，得周期序列：()()??Xkxn分析：()z()()nnxnXzxnz任意绝对可和的非周期序列，其变换：一.由频域抽样恢复原序列()()NxnXkIDFS令为的：101()[()]()NnkNNkxnIDFSXkXkWN101[()]NmknkNNkmxmWWN1()01()[]NmnkNmkxmWN()rxnrN1()0110NmnkNkmnrNWmN其它r为任意整数x(n)为无限长序列—混叠失真x(n)为有限长序列，长度为M()Xk由频域抽样序列还原得到的周期序列是原非周期序列的周期延拓序列，其周期为频域抽样点数N。()xn所以：时域抽样造成频域周期延拓同样，频域抽样造成时域周期延拓1NM），不失真2NM），混叠失真讨论：频率采样定理若序列长度为M，则只有当频域采样点数:时，才有即可由频域采样不失真地恢复原信号，否则产生时域混叠现象。NM()()[()]()()NNNxnRnIDFSXkRnxn()Xk()xn1101()1NNkkNzXkNWz()MxnNNM点有限长序列，频域点等间隔抽样，且1100()()()MNnnnnXzxnzxnz11001()NNnknNnkXkWzN11001()NNnknNknXkWzN11011()1NkNNNkkNWzXkNWz内插恢复和表示二、由---)()()(jeXZXkX1.由X(k)恢复X(Z)则：1101()()1NNkkNzXkXzNWz内插公式：111()1NkkNzzNWz内插函数：10()()()NkkXzXkz则内插公式简化为：内插公式与内插函数内插函数的特性将内插函数写成如下式:)(11)(1kNNNkWzzzNZ20,1,...,1jrNzerN零点：，20(-1)jkNzeN极点：，阶极点与一零点相消。这样只有(N-1)个零点,抽样点称作本抽样点。因此说，内插函数仅在本抽样点处不为零,其他(N-1)个抽样点均为零。kNjeZ2kNje22()()()jjkkzeezkN()jXe用频域采样表示的内插公式()Xk10()()()()jNjjkzekXeXzXke12sin12()sin2NjNeN内插函数：2.102()()()NjkXeXkkN内插恢复过程描述：212()20kikNkNiikN3.4DFT的应用举例3.4.1用DFT计算线性卷积112120()()()()(())()LLLmynxnxnxmxnmRn1122()[()]()[()]XkDFTxnXkDFTxn0≤k≤L-1则由时域循环卷积定理有Y(k)=DFT［y(n)］=X1(k)X2(k),0≤k≤L-1如果1.用DFT计算循环卷积由此可见，循环卷积既可在时域直接计算，在频域计算。由于DFT有快速算法FFT，当N很大时，在频域计算的速度快得多，因而常用DFT(FFT)计算循环卷积。图3.4.1用DFT计算循环卷积在实际应用中，为了分析时域离散线性非移变系统或者对序列进行滤波处理等，需要计算两个序列的线性卷积，为了提高运算速度，也希望用DFT(FFT)计算线性卷积。为此需导出线性卷积和循环卷积之间的关系以及循环卷积与线性卷积相等的条件。假设h(n)和x(n)都是有很长序列，长度分别是N和M。它们的线性卷积和循环卷积分别表示如下：1010()()()()()()()()()(())()NlmLcLLmynhnxnhmxnmynhnxnhmxnmRn2.循环卷积与线性卷积其中，L≥max［N,M］1010()()()()()()()NcLmqNLqmynhmxnmqLRnhmxnmqLRn(())(),LqxnxnqL可以看出，上式中10()()()()()()NlmclLqhmxnqLMynqLynynqLRn图3.4.2线性卷积与循环卷积0123451234h(n)x(n)nL＝60123451234nL＝867h(n)x(n)0123451234nL＝1067h(n)x(n)（d）（e）(f)0123451234nN＋M－1＝867h(n)x(n)*nM＝5012341x(n)nN＝401231h(n)（a）（b）（c）89*○*○*○－18910图3.4.3用DFT计算线性卷积框图补L－N个零点L点DFT补L－M个零点L点DFTL点IDFTy(n)h(n)x(n)设序列h(n)长度为N，x(n)为无限长序列。将x(n)均匀分段，每段长度取M，则0()()()()()kkkMxnxnxnxnRnkM于是，h(n)与x(n)的线性卷积可表示为000()()()()()()()()kkkkkkkynhnxnhnxnhnxnyn3.长序列的分段卷积图3.4.4重叠相加法卷积示意图M0NMMx1(n)x0(n)x2(n)N＋M－1N＋M－1y0(n)y1(n)N＋M－1y2(n)2MM3M＋N－10N－1y(n)＝y0(n)＋y1(n)＋y2(n)＋…nnnnnnh(n)