92不定积分的计算

不定积分的计算一、第一换元积分法二、第二换元积分法三、分部积分法问题cos2xdx解决方法利用复合函数求导的逆运算，设置中间变量.过程令xt2,21dtdxxdx2cosdttcos21Ctsin21.2sin21CxxCx2cos]2sin21[说明结果正确一、第一换元积分法(())()fxxdx,ux对于形如的积分，设(())()()fxxdxFxC(())()()(())()FxCFxxfxx()fux及如果(),fuduFuC+连续，且则该积分法可由下面的逆运算证明这种积分方法也叫做“凑微分法”。定理1(())()()(()).fxxdxfuduFxC可导,则有换元公式设f(u)具有原函数F(u),u=(x)连续dxxg)(如何应用上述公式来求不定积分?则使用此公式的关键在于将[()]()fxxdx化为的形式，,)(dxxg假设要求所以，第一类换元积分法也称为凑微分法.例1求1.21dxx解u=2x+1,du=d(2x+1)=2dx,则111112(21)21221221dxdxdxxxx112duu1ln||2uC1ln|21|.2xC想到公式duulnuC注意换回原变量例2求2sin.xxdx221sinsin22xxdxxxdx1sin2udu1cos.2uC解：则2,2uxduxdx21cos.2xC想到公式sinduucosuC这种换元法又称为凑微分法或配元法,即引进一个新变量以代替原来的变量,对于变量代换熟练以后,可以不写出中间变量u.例1求1.21dxx解法二：111(21)21221dxdxxx1ln|21|.2xC例3求1sin.xdxx一般地,有1sinxdxx解1()2().fxdxfxdxx2cos.xC12dxdxx2sinxdx12sin2xdxx例4求tan.xdxsintancosxxdxdxx解lncos.xCcotxdx类似?dcotxxsinsindxxlnsinxCcossinxdxx1cos,cosdxxcossindxxdx1sin,cosxdxx1lnduuCu例5求2sincos.xxdx2sincosxxdx解31sin.3xCsin(cos)(cos)cos;xfxdxfxdxcos(sin)(sin)sin.xfxdxfxdx一般地,有sincosdxxdx2sinsinxdx323uuduC例6求解.cossin52xdxxxdxx52cossin24sincoscosxxxdx)(sin)sin1(sin222xdxx)(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx说明:当被积函数是三角函数(如正弦函数和余弦函数)相乘时，拆开奇次项去凑微分.sincosdxxdx)(sincossin42xxdx例7求3sin.xdx3sinxdx解2(cos1)cosxdx2coscoscosxdxdx31coscos.3xxC2sinsinxxdx2sincosxdxcossindxxdx323uuduC例8求211xxxxedxdxeee解211()xxdeearctan.xeC()().xxxxefedxfede1.xxdxee一般地,有xxdeedx211arctanduuuC例9求一般地,有.2lndxxx2lndxxx解1lnln.2xC1(ln)(ln)ln.fxdxfxdxx1(ln)2lndxx1lndxdxx1lnduuCu),(212xdxdx,ln1xddxx),1(12xddxx,21xddxx,xxdedxe,cossinxdxdx第一类换元法在积分学中是经常使用的，不过如何适当地选择变量代换，却没有一般的法则可循．这种方法的特点是凑微分，要掌握这种方法，需要熟记一些函数的微分公式，例如,等等，并善于根据这些微分公式，从被积表达式中拼凑出合适的微分因子．例10求221.dxax2222111()dxdxxaxaa解1arctan.xCaa211()1()xdxaaa211arctanduuuC1xddxaa例11求221(0).dxaax2221111()dxdxaxaxa解21()1()xdaxaarcsin.xCa211arcsinduuuC1xddxaa例12求.(12ln)dxxx(1ln)dxxx解1ln12ln.2xC1(ln)12lndxx11(2ln1)212lndxx1lnduuCu1lndxdxx例13求2331.xxdx2331xxdx解3322(1).3xC1322(1)3xxdx1332(1)1xdx1332(1)xdx132223uduuC例14求22.dxxa22()()dxdxxaxaxa解111()2dxaxaxa111()2dxdxaxaxa111[()()]2dxadxaaxaxa1(lnln)2xaxaCa1ln.2xaCaxa例15求2sin.xdx21cos2sin2xxdxdx解1(cos2)2dxxdx11cos2(2)24dxxdx11sin2.24xxC11cos222dxxdxxxtansec解xxdsecxxdsecxxtansec)tan(secxxxxxxxxdtansectansecsec2)tan(secdxxCxxtansecln类似可得xxdcscCxxcotcscln例16.求secd.xx小结积分常用技巧:(1)分项积分:(2)降低幂次:(3)统一函数:利用三角公式;凑微分法（陪元方法）(4)巧妙换元或配元。等xx22cossin1;)2cos1(sin212xx;)2cos1(cos212xx利用积化和差;分式分项等;利用倍角公式,如作业P1551(1)--(18)二、第二换元积分法0,xtt且fxdx设将积分化为()()ftdtFtC,ftdt1(),fxdxFxC+若则若对结论作复合函数的求导计算，则可知其正确性。例1求1.1dxx解,tx令2,xt2,dxtdt11dxx21tdtt1121tdtt121dxdtt2ln1.ttC则于是2ln1.xxC例2求解.11dxexxet1令21,xet则,122dtttdxdxex11dtt122dttt11111ln1ln1ln1tttCCt.11ln2Cxex,1ln2tx11ln11xxeCe说明当被积函数含有两种或两种以上的根式时，可采用令（其中为各根指数的最小公倍数）lkxx,,ntxn例3求.)1(13dxxx解令6tx,65dttdxdxxx)1(13dtttt)1(6235dttt2216dttt221116dtt21116Ctt]arctan[6.]arctan[666Cxx三、分部积分法由导数公式vuvuuv)(积分得:xvuxvuuvdd分部积分公式xvuuvxvudd或uvvuvudd分部积分法一般用于是解决两种不同类型函数乘积的不定积分问题的.例1.求.dlnxxx解:令,lnxuvx则1,dudxx221xv原式=xxln212xxd21Cxxx2241ln21uvdxuvuvdx分析：被积函数xlnx是幂函数与对数函数的乘积,采用分部积分.例2求积分.cosxdxx解（一）令,cosxudvdxxdx221xdxxcosxdxxxxsin2cos222显然，选择不当，积分更难进行.vu,解（二）令,xudvxdxdxsincosxdxxcosxxdsinxdxxxsinsin.cossinCxxx分析：被积函数xcosx是幂函数与三角函数的乘积,采用分部积分.uvdxuvuvdx(1)v要容易求出;(2)要比vduudv容易积出.ddudvuvvduuvxuvuvx或分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择,uv,uv一般来说，选取的原则是：解题技巧：分部积分法求不定积分的关键是要确定u，由计算的经验，可以得出以下顺序：“反（反三角函数）、对（对数函数）、幂（幂函数）、指（指数函数）、三（三角函数）”，当两种不同类型函数相乘求积分时，按以上顺序，排序在前的函数作为u.即把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三”的顺序,前者为后者为u.v例3.求解:令,arccosxu1v,则,211xuxv原式=xxarccosxxxd21xxarccos)1d()1(222121xxxxarccosCx21uvdxuvuvdx例4求arctan.xxdx解设u=arctanx,v′=x,则21arctanarctan()2xxdxxdx22211arctan221xxxdxx22111arctan1221xxdxx211(1)arctan.22xxxC“反对幂指三”前者为后者为u.vuvdxuvuvdx2211,12dudxvxx例5求ln.xdx解设u=lnx,dv=dx,则1,,dudxvxxlnxdx于是“反对幂指三”前者为后者为u.vuvdxuvuvdx11xnxxdxxlnxxxC例6求2sin.xxdx22sin(cos)xxdxxdx2cos2cosxxxxdx2cos2sinxxxdx2cos2(sinsin)xxxxxdx2cos2sin2cos.xxxxxC设u=x2,,则du=2xdx,v=-cosx,于是解：sinvx¢=uvdxuvuvdx例7求sin.xexdxsinsinxxexdxxde解sincosxxexexdxsincosxxexxdesincossin.xxxexexexdx上式最后一项正好是所求积分,移到等式左边然后除以2,可知exsinx的一个原函数为1(sincos),2xexx1sin(sincos).2xxexdxexxC于是uvdxuvuvdx说明:分部积分题目的主要类型:1)直接分部化简积分;2)分部产生循环式,由此解出积分式;(注意:两次分部选择的u,v函数类型要一致,解出积分后加C)不定积分计算练习题51.d.xexò12.d.12xx-ò13.d.lnxxxò2114.sind.xxxò728.tansecd.xxxò()22arctan6.d.1xxx+òarcsin2107.