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中科院量子力学历年试题详解phileasMay2,2012中科院量子力学历年试题详解[e-mail]目录返回目录说明..............................................v参考资料...........................................v致谢..............................................vi1试题11.12011...........................................21.22010...........................................31.32009...........................................41.42008...........................................51.52007A..........................................61.62007B..........................................71.72006...........................................81.82006甲A........................................91.92006甲B........................................101.102006乙A........................................111.112006乙B........................................121.122005...........................................131.132004...........................................141.142001理论型.......................................152详解172.12011...........................................17iii目录中科院量子力学历年试题详解2.22010...........................................232.32009...........................................292.42008...........................................332.52007A..........................................372.62007B..........................................422.72006...........................................462.82006甲A........................................512.92006甲B........................................552.102006乙A........................................592.112006乙B........................................622.122005...........................................652.132004...........................................692.142001理论型.......................................71A四川大学量子力学入学试题73A.12010试题........................................73A.22009试题........................................75A.32010解答........................................77A.42009解答[e-mail]目录返回目录中科院量子力学历年试题详解说明•大部分都是自己解过的，难免有误，欢迎批评指正！•我的E-mail：[e-mail]。•为了把问题说清楚，解得有些复杂，考试不必这样。•文档又下角的“返回”键有些阅读器不支持，一般用Adobe阅读器打开有效！•曾书和曾题集是出题宝典，各个旮旯都要清楚，最经典的例子就是2009年第三题。•我未经授权擅自使用了方正徐静蕾字体，如要求，我会立即删除！•生成本文档用的操作系统是Ubuntu，软件是TEX2011、TEXworks，字体是文鼎、文泉的。•本文档是双页模式。所以有空白页，方便打印看。•这份文档里还有很多问题和错误，因为现在空余时间不多，故先发布给大家。欢迎交流学习！参考资料•1990-2010量子力学试题及参考答案集-中国科学院（使用版）–Schrödinger’sKitten【主要试题来源，及参考，感谢无私奉献！】•陈鄂生量子力学习题与解答【是“量子力学基础教程”（陈鄂生，山东大学出版社，2007）的配套书。也绝版了，淘宝有卖。收录了很多大学研究生入学考试的题目。是主要试题来源，及参考！】•物理学大题典（卷6量子力学）/张永德主编.–北京：科学出版社；合肥：中国科学技术大学出版社，2005【内容丰富！前身是，美国物理试题与解答量子力学第六卷，这个早就绝版了，不必苦苦寻找这个了，看《题典》就行了。】•量子力学习题精选与剖析（第三版）/钱伯初，曾谨言著.–3版.北京：科学出版社，2008【简称《曾题集》】•量子力学学习指导/张鹏飞，阮图南，朱栋培，吴强编著.–合肥：中国科学技术大学出版社，2008.4（2009.8重印）【简称《指导》】•量子力学卷I/曾谨言著.—4版.–北京：科学出版社，2007【简称《曾书》】[e-mail]目录返回目录中科院量子力学历年试题详解致谢•感谢我的堂兄，是他在我电脑被偷后送给我电脑！•感谢ClerkMa，是他在我的LATEX的使用上提供了许多帮助！•感谢Schrödinger’sKitten无私发布其文档，他的文档是本文档的重要来源、参考、动力！•感谢Diracchen提供他自己的11解答！•感谢Ubuntu，TEX2011，TEXworks，文鼎字体，文泉字体；没有这些开源免费项目，本文档也是很难实施的。献给我的父母和我的妹妹[e-mail]目录返回CHAPTER1试题•数学形式（或表述、符号）也重要数学上选好何种形式对问题的简化也是挺重要的。好的数学形式，能突出问题的重点，在繁杂的数学公式中，能提供好的思路。所以证明过程中，在步骤上应以突出重点与思路为主，其他的旁支的结论可以另外证明后，直接引用。例如，在位力定理的证明过程中，h[~r
~p;p2]i;h[~r
~p;V(r)]i，这种步骤中小证明应该单独拿出。另一个比较鲜明的例子见：2006年甲B第二题。就符号而言，狄拉克符号堪称经典。11.1.2011中科院量子力学历年试题详解1.12011一、（1）氢原子基态的能量为13:6V，那么第一激发态的氢原子电离能为：（）A:13:6eVB:3:9eVC:7:8eVD:2:5eV（2）普朗克常数h的数值为：（）A:1:051034B:6:631034C:1:051034J·SD:6:631034J·S（3）A、B为厄米算符，那么下列各选项为厄米算符的是：（）A:12(BAAB)B:i2(BAAB)C:AB+iBAD:i2(BA+AB)（4）对于中心力场，下列各式正确的是:（）A:∫10(r)r2dr=1B:∫10(r)4r2dr=1C:∫10Rl(r)r2dr=1D:∫10Rl(r)4r2dr=1其中：r=Rl(r)r（5）经典力学中有~L=~r~p=~pr，那么在量子力学中~L=~r~p=~pr是否也成立。请说明理由。（6）在(~S2;Sz)的共同的本征态中，写出Sx;Sy的矩阵表示，并说明是否可以找到这样的一个表象，使得Sx;Sy;Sz在该表象中的矩阵表示均为实矩阵，说明理由。（7）写出氢原子、一维简谐振子、一维无限深势阱的能级，并用示意图表示。（8）两个非全同粒子处于态(x1;x2)，求出一个粒子处于p01;p001之间，另一个粒子处于x02;x002之间的几率。二、已知^pr=12(~rr
~p+~p
~rr)（1）^pr是否为厄米算符，为什么？（2）写出^pr的算符表示。（3）求出[^r;^pr]=？三、（300）有一质量为m的粒子在半径为R的圆周上运动，现加一微扰：H0=V(')=V1;'0;V2;0';0;其他其中，求对最低两能级的一级修正。四、（300）一粒子在一维无限深方势阱(0xa)中运动，时间t=0时处在基态。此时加入一个高为V0，宽为b(ba)，中心在a2的方势垒微扰。求t0(t00)时撤去微扰，体系处于前三个激发态的概率。五、在(l2;lz)的共同表象中，粒子处于Y20态，求Lx的可能值及相应的几率。[e-mail]2目录返回CHAPTER1.试题中科院量子力学历年试题详解1.22010一、（1）设^A;^B与Pauli算符对易，证明：(~
~A)(~
~B)=~A
~B+i~
(~A~B)（2）试将(^I+^x+i^y)12表示成^I;^x;^y;^z的线性叠加，^I为单位算符。二、设一维谐振子的初态为(x;0)=cos2'0(x)+sin2'1(x)，即基态与第一激发态的叠加，其中为实参数：（1）求t时刻的波函数(x;t)；（2）求t时刻粒子处于基态及第一激发态的概率；（3）求t时刻粒子的势能算符^V=m!22x2的平均值；（4）求演化成(x;t)所需的最短时间tmin。三、设基态氢原子处于弱电场中，微扰哈密顿量为：^H=0;t0zetT;t0其中;T为常数（1）求很长时间后(tT)电子跃迁到激发态的概率，已知基态中a为玻尔半径；已知基态：100(~r)=R10(r)Y00(;')=1p42a32era210(~r)=R21(r)Y10(;')=√34cos1(2a)32rp3aer2a（2）基态电子跃迁到下列哪个激发态的概率等于零？简述理由。(a)200(b)211(c)21;1(d)210四、两个质量为m的粒子处于一个边长为abc的不可穿透的长盒子中，求下列条件下，该体系能量最低态的波函数（只写出空间部分）及对应能量。（1）非全同粒子（2）零自旋全同粒子（3）自旋为12的全同粒子五、粒子在一维无限深势阱中运动。设该体系受到^H=(xa)的微扰作用：（1）利用微扰理论，求第n能级精确到二级的近似表达式；（2）指出所得结果的适用条件。[e-mail]3目录返回1.3.2009中科院量子力学历年试题详解1.32009一、（300）已知在(l2;lz)的表象中，lx=~p2010101010求：（1）lx的本征值和相应的本征函数；（2）ly的矩阵表示。二、已知一粒子处于一维谐振子势场中运动，势能为V(x)=12kx2(k0)，求：（1）粒子的基态本征函数0(x)；（2）若势场突然变为V0(x)=