第5章力法-3

一、简化的前提条件结构必须具有对称性。所谓结构的对称性，是指结构的几何形状、支承情况以及杆件刚度均对于某一轴线是对称的。EI1EI1EI2EI2EI1EI1EI1EI1EI2EI2EI3对称轴对称轴Ⅰ对称轴Ⅱ§5-4对称性的利用若一个结构的超静定次数为n，则在荷载作用下其力法方程为：二、简化的主要目标111122111P211222222P1122P1122P0000iinniinniiiiiinninnniinnnnXXXXΔXXXXΔXXXXΔXXXXΔ在上列方程中，主系数δii恒大于零，副系数δij（i≠j）则可能大于零、等于零或小于零。若能使全部副系数δij等于零，则方程组解耦，力法方程变为：1111P2112P11P00...0nnXXX即使不能使全部副系数等于零，若能使大部分副系数和自由项等于零，则力法计算也将大大简化。所以力法简化的主要目标是：使典型方程中尽可能多的副系数以及自由项等于零，从而使典型方程成为独立方程或少元联立方程。其关键都在于选择合理的基本结构，以及设置适当的基本未知量。用力法解对称结构有两种方法：选取对称的基本结构、选取半结构。力法的典型方程为：1111221331P2112222332P3113223333P000XXXXXXXXX二、简化的方法一——选取对称的基本结构1.简化副系数计算图示对称的三次超静定刚架中，沿对称轴上梁的中间截面切开，所得基本结构是对称的。EI1EI2EI2ABCDFP对称轴基本结构基本体系FPX1X2X2X300P2222121P1212111ΔXXΔXX0P3333ΔX当取对称的基本结构且基本未知力为对称的和反对称时，力法方程将分解为独立的两组：一组中只包含对称未知力X1和X2；一组中只包含反对称未知力X3。X1=11M图X2=1图2MX3=1X3=13M图1111221331P2112222332P3113223333P000XXXXXXXXX13＝31＝023＝32＝000P2222121P1212111ΔXXΔXX0P3333ΔX对称荷载——对称轴两边的力大小相等，将结构绕对称轴对折后其作用位置和方向均相同的力；反对称荷载——对称轴两边的力大小相等，将结构绕对称轴对折后其作用位置相同但方向相反的力。（a）EI2EI2EIq/2q/2111111（b）（a）q/22EIEIq/22EI2.简化自由项计算(1)对称荷载作用下3P0Δ反对称未知力X3=0，只需计算对称未知力X1和X2。FP/2FP/2MP图FP/2FP/2X1X2X2X1（X3=0）00P2222121P1212111ΔXXΔXX0P3333ΔXX3=1X3=13M图结构的反力、内力和变形对称对称结构上作用对称荷载反对称未知力为零仅有对称的荷载、未知力作用对称荷载在对称结构中只引起对称的反力、内力和变形。(2)在反对称荷载作用下，基本结构的荷载弯矩图和变形图是反对称的。弯矩图MP是反对称的。1P0Δ2P0ΔFP/2FP/2MP图FP/2FP/2X3X3（X1=0，X2=0）对称未知力：X1=0，X2=0结构的反力、内力和变形反对称对称结构上作用反对称荷载对称未知力为零仅有反对称的荷载、未知力作用反对称荷载在对称结构中只引起反对称的反力、内力和变形。小结：（1）对称荷载在对称结构中只引起对称的反力、内力和变形。对称轴上反对称的未知力等于零，而只有对称未知力。（a）EI2EI2EIq/2q/2111111（b）（c）M1FQ1N1FMQ1F1N1F（2）反对称荷载在对称结构中只引起反对称的反力、内力和变形。对称轴上对称的未知力等于零，而只有反对称未知力。（a）q/22EIEIq/22EI（b）111111MFQ1FN1（c）1M1Q1FN1F内力是反对称的，即作出的弯矩图和轴力图是反对称的，剪力图是正对称的。（3）当对称结构上作用任意荷载时在弹性范围内，作用在对称结构上的任何荷载（图b）都可分解为两组：一组是对称荷载（图c），另外一组是反对称荷载（图d），分别计算，然后叠加。（a）对称轴EI2EI1EI2l/2l/2（b）FPa（c）aFP2FP2a（d）aaFPFP22=+例5-5利用对称性计算图示刚架，并绘弯矩图。解：1）选取对称的基本结构2）力法方程1111P0X3）计算系数和自由项绘单位弯矩图和荷载弯矩图111P212112(222242)23321896456233EIEIEIEI（）1P11189638kN1123EIXEI4）求多余未知力5）最后弯矩图M=M1X1＋MP变形图变形图四、简化方法之二——选取等效的半结构1.奇数跨对称结构FPACABCFPFPCVCH=0qC=0ABCFPFPCHCV=0qCqCFPAC2.偶数跨对称结构若忽略杆件的轴向变形，在对称轴上的C点不可能产生水平线位移、竖向线位移和转角，说明水平方向、竖直方向移动和转动均受约束。中间柱不变形，只有轴力，弯矩和剪力为零。因此，取半边结构后的点为固定端。FPFPFPCFPFPEIFPFPEI/2EI/2FPEI/2FPFPEI/2EI/2FQ例：M/2P/2例5-6已知条件如图a所示，EI=常数，作M图。（a）6m5m5m20KNABCDEFBADC10KNFE（b）10KNBA（c）CD10KNEF10KNM=010KN（d）（e）10KN1X=11X（f）3331M图10KN5050100（g）PM图(kN·m)解:(1)利用对称性简化(2)反对称荷载作用下半结构的内力计算1111P0XEIEI6335323323321111EIEIP67533231002135502111111110.71kNPX(3)根据对称性作原结构的弯矩图1PMMXM(kN·m)反（h）图M67.865017.8632.1432.14图（i）M67.8617.865017.8632.1432.1467.8650(kN·m)=11X（f）3331M图10KN5050100（g）PM图(kN·m)