第五章：弯曲内力

第五章：弯曲内力弯曲内力余辉[e-mail]弯曲内力一、工程实例§5-1引言弯曲内力二、基本概念工程中的梁，其横截面一般具有一竖向对称轴，该轴与梁的轴线一起构成梁的纵向对称面。当梁上所有的外力均作用在纵向对称面内时，变形后梁的轴线弯成一条位于纵向对称面内的平面曲线，这种弯曲称为平面弯曲。◆受力特点：◆变形特点：外力垂直于其轴线或外力偶作用在其轴线所在平面内。变形时杆件的轴线由直线弯成曲线。1.弯曲变形的特点3.平面弯曲2.梁：以弯曲为主要变形的杆件。弯曲内力梁的轴线ABFRBFRAF1qMe梁变形后的轴线与外力在同一平面内纵向对称面弯曲内力4.梁的计算简图◆梁的简化：通常以梁的轴线代替◆载荷类型：集中力、分布载荷、集中力偶◆支座类型：FRAAAA(2)活动铰支座A(1)固定铰支座FRAyAFRAx弯曲内力(3)固定端A5.静定梁的基本形式◆简支梁◆外伸梁◆悬臂梁FRAyFRAxMAA弯曲内力起重机大梁为No.25a工字钢,如图所示,梁长L=10m,单位长度的重量为38kg/m,起吊重物的重量为100kN,试画起重机大梁的计算简图.q=38kN/mF=100kN弯曲内力梁的支座反力计算举例。[例5-1]试求图示简支梁A、B支座处的约束反力。ABF1m1m解:(1)取梁AB为研究对象(2)作受力图(3)列平衡方程0,xFR0AxF0,yFRRBAyFFF0,AMR210BFFABF1m1mRAyFRBFRAxF§5-2梁的支座反力弯曲内力(4)解方程，得R2BFFR2AyFF[例5-2]试求图示外伸梁B支座处和C支座处的约束反力。解:(1)取外伸梁AC为研究对象(2)作受力图(3)列平衡方程lAB2lqC0,xFR0AxFlAB2lqCRBFRCxFRCyF弯曲内力0,yFRR302BCyFFql0,CMR33024BqllFlR98BFqlR38CyFql(4)解方程，得lAB2lqCRBFRCxFRCyF弯曲内力[例5-3]试求图示悬臂梁A支座处的约束反力。解:(1)取悬臂梁AB为研究对象(2)作受力图(3)列平衡方程lAFBM0,xF0,yF0,AMR0AxFR0AyFF0AMFlM(4)解方程，得RAyFFAMMFllAFBMRAxFRAyFAM弯曲内力一、梁横截面上的内力AB2F3F1FyxannxASFM1FyxannxRAFB2F3FSFnnMRBF图示简支梁受集中力F1、F2和F3的作用，试分析距A端为x的横截面上的内力。求梁横截面上内力——截面法SR1AFFFR1AMFxFxa,0yF,0CM◆梁横截面上内力——1.剪力FS:与横截面相切的内力，其在数值上等于截面左侧所有横向外力的代数和；§5-3剪力和弯矩弯曲内力二、剪力和弯矩的正负号规定◆剪力FS符号：SFSFnnnnSFSFn-n截面的左段相对右段向上错动时，n-n截面上的剪力规定为正值。或剪力以使其对所作用的微段梁内任意一点的矩顺时针转向为正，即“顺转向为正”。反之为负。即n-n截面的左段相对右段向下错动时，n-n截面上的剪力规定为负值。或剪力以使其对所作用的微段梁内任意一点的矩逆时针转向为负，即“逆转向为负”。2.弯矩M:位于纵向对称面内的内力偶矩，弯矩M在数值上等于截面左侧所有外力对截面形心的矩的代数和。3.剪力FS和弯矩M也可用截面右侧的外力来直接计算。弯曲内力◆弯矩M符号：即以使其作用的微段梁产生凹变形的弯矩规定为正，即“凸向下为正”。nnnnnnMnnnnnnMMM使横截面上部受压、下部受拉的弯矩为正。反之为负。即以使其作用的微段梁产生凸变形的弯矩规定为负，即“凸向上为正”。弯曲内力三、用截面法计算指定截面的剪力和弯矩1.在指定截面处假想的将梁截开，取其中的任一段为研究对象；2.画出所选梁段的受力图，受力图中的剪力FS和弯矩M应假设为正；3.由平衡方程求出剪力FS；0yF4.由平衡方程求出弯矩M，其中C为指定截面的形心。0CM弯曲内力[例5-4]图示悬臂梁，受集中力F和集中力偶Me=Fl的作用，试计算截面1–1、2–2、3–3上的剪力与弯矩。其中1–1截面无限接近于A截面、2–2截面无限接近于B截面、3–3截面无限接近于C截面。2lACeM2l112233FCMRCFByx解：（1）计算支座反力0,yFR0CFF0,CMe0CMMFl求得RCFF0CM弯曲内力（2）计算1–1截面处的剪力和弯矩2lACeM2l112233FCMRCFByxS1FA1MF110,yFS10FF110,M10MF求得S1,FF10MF（3）计算2–2截面处的剪力和弯矩0,yFS20FF220,M202lMFS2FA2l2MF22求得S2,FF212MFl弯曲内力2lACeM2l112233FCMRCFByx（4）计算3–3截面处的剪力和弯矩0,yFS3R0CFF330,MR30CCMFMS3RCFFF30CMM求得S3FC3MRCF33CM弯曲内力1mAB1m10kNCRBFRCF1m20kNmDDAyx解：（1）计算支座反力0,BMR2101200CF0,yFRR100BCFFR15kNCFR5kNBF求得[例5-5]图示外伸梁AC承受10kN的集中力和的集中力偶的作用，试求横截面A+、D-与D+的剪力和弯矩。其中A+代表距A无限近并位于其右侧的截面、D-则代表距D无限近并位于其左侧的截面。20kNm弯曲内力1mAB1m10kNCRBFRCF1m20kNmDDAyx（2）计算截面A+处的内力0,yFS0AFS0,AF0,iAMF200AM20kNmAM求得SAFAAM20kNmA（3）计算截面D-处的内力1mAB1mRBFSDF20kNmDDMA0,yFRS0BDFF0,DMR1200DBMFRS5kN,BDFF15kNmDM求得弯曲内力（4）计算截面D+处的内力SDFCRCF1mDMD1mAB1m10kNCRBFRCF1m20kNmDDAyx0,yFSR0DCFF0,DMR10DCMFSR15kNDCFF15kNmDM求得弯曲内力练习题：简支梁受载如图，试求图中各指定横截面上的剪力和弯矩。qaF40204qaMqa2aa支座反力：qaFqaFBA5,31-1截面：0,311MqaFS2-2截面：2224,qaMqaFS3-3截面：2334,3qaMqaFS4-4截面：24421,4qaMqaFS5-5截面：6-6截面：0,566MqaFS255294qaMqaFs弯曲内力总结：求梁指定横截面上剪力和弯矩的规律：1、对水平梁的某一指定横截面来说，其左侧(或右侧)所有向上(下)的外力将产生正的剪力，反之即产生负的剪力。2、对水平梁的某一指定横截面来说，无论其左侧或右侧，所有向上的外力都将产生正的弯矩，向下的外力产生负的弯矩。3、在集中力作用处，剪力值有突变，且(以向上为正)。0FFs0F4、在集中力偶作用处，弯矩值有突变，且(以顺时针为正)。0MM0M弯曲内力四、计算剪力和弯矩的简便方法1.剪力FS等于截面一侧与截面平行的所有外力的代数和。其中若对截面左侧所有外力求和，则外力以向上为正；若是对截面右侧所有外力求和，外力则以向下为正。2.弯矩M等于截面一侧所有外力对该截面形心矩的代数和。对于外力，无论是位于截面左侧还是右侧，只要向上，对截面形心的矩都取正值，向下则取负值。至于外力偶，若位于截面左侧，则以顺时针为正；若在右侧，则以逆时针为正。即“左上右下”外力为正值。即“左顺右逆”外力偶为正值。弯曲内力[例5-6]一简支梁，在CD段内受均布载荷作用，如图所示。试求跨中截面E的弯矩和C截面的剪力。612.510NmqED400mmAC830mmqBRAFRBF830mm400mmyB解：（1）计算支座反力6RR510NBAFF由对称性易得支座反力为（2）计算指定截面上的剪力和弯矩6SR510NyCAFFF6R0.40.830.43.1510Nm2EEAMMFq截面C：看左侧求其剪力截面E：看左侧求其弯矩弯曲内力[例5-7]一悬臂梁，在一半长度上受均布载荷作用，如图所示。试求1–1、2–2和3–3截面上的内力。2kNmq1mAB2mq1RAFAM1m12233CDyx解：（1）计算支座反力0,yFR20AFq0,AM230AMq求得R4kN,AF12kNmAM（2）计算指定截面上的剪力和弯矩1–1截面：看左侧求其剪力和弯矩S1R4kNAFF112kNmAMM弯曲内力1mAB2mq1RAFAM1m12233CDyx2–2截面：看左侧求其剪力和弯矩3–3截面：看右侧求其剪力和弯矩S2R4kNAFF2R24kNmAAMFMS312kNFq310.51kNmMq此题也可以不求约束反力，各截面的内力都由截面右侧的外力进行计算。弯曲内力2mAB1m2kNmqD2kNFERBFRAF1m2mC8kNmeMyx[例5-8]一外伸梁，所受载荷如图所示。试求截面C、截面B-和截面B+的剪力和弯矩。解：（1）计算支座反力0,yFRR20BAFFFq0,AMeR23460BMqFF求得R4kN,AFR2kNBF（2）计算指定截面上的剪力和弯矩C截面：看左侧求其剪力和弯矩SR2kNyCAFFFeR22kN2m8kNm=4kNmCOAMMFM弯曲内力B-、B+截面：看右侧求其剪力和弯矩2mAB1m2kNmqD2kNFERBFRAF1m2mC8kNmeMyxRS2kN4kN2kNBBFFF=-2m=2kN2mkNmBMF=-4SkN2BFF2mkNmBMF=-4注：对此例中截面B处的剪力进行比较，发现：在集中力作用的截面处，剪力值有突变，突变值就等于该集中力值。弯曲内力一、剪力方程和弯矩方程若以沿梁轴线的横坐标x表示横截面的位置，则横截面上的剪力和弯矩可以表示为x的函数,这两个函数数学表达式分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。1.剪力方程SSFFxMMx2.弯矩方程§5-4剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图弯曲内力◆以x为横坐标，以弯矩M为纵坐标，绘制所得的图形称为弯矩图；xM(x)M图的坐标系O◆剪力为正值画在x轴上侧,负值画在x轴下侧。◆弯矩为正值画在x轴上侧,负值画在x轴下侧。二、剪力图和弯矩图◆以x为横坐标，以剪力FS为纵坐标，绘制所得的图形称为剪力图；xFS(x)FS图的坐标系O弯曲内力[例5-9]如图所示，简支梁AB在截面C处受到集中载荷F作用。试建立梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。xbAClFBRAFRBFaxy解：（1）计算支座反力0,AMR0BFlFa0,BMR0AFbFl求得R,BFaFlRAFbFl（2）列剪力方程和弯矩方程AC段和CB段的剪力方程、弯矩方程不同，必须分段列出。弯曲内力以梁的左端为坐标原点AC段0xaSRAFbFxFlRAFbMxFxxlxbAClFBRAFRBFaxyCB段axlSRAFbFaFxFFFllRAFaMxFxFxalxl（3）作剪力图和弯矩图SFFblFalxFablxM结论：在集中力作用处，剪力图有突变，而弯矩值没有变化，但弯矩图在该截面处发